Chuyên đề Phương trình bậc hai chứa tham số

 Chuyªn ®Ò : Ph­¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè
Bµi to¸n 1 : 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai cã chøa tham sè .
 Ph­¬ng ph¸p : XÐt c¸c tr­êng hîp cña hÖ sè a :
 - NÕu a = 0 th× t×m nghiÖm ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt .
 - NÕu a  0 th× tiÕn hµnh c¸c b­íc sau:
 + TÝnh biÖt sè (' ) .
 + XÐt c¸c tr­êng hîp cña (' ) ( NÕu (' ) chøa tham sè ).
 + T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh theo tham sè.
Bµi 1 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai ( m lµ tham sè ) sau :
 a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0
 b) x2 - 3mx + 2m2 - m - 1 = 0
 c) 3x2 - mx + m2 = 0
 d) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
 '
HDÉn : a/  = 9 ; x 1 = 3m + 2 , x2 = 3m - 4
 2
 b/  = (m + 2) : + m  -2 : x 1 = 2m + 1 , x2 = m - 1
 + m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp)
 c/  = -11m2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiÖm kÐp)
 + m  0 : PT v« nghiÖm.
 3 7
 d/ ' = m2 - 3m + 4 = (m - )2 + > 0 :
 2 4
 2 2
  3  7  3  7
 x 1 = m - 1 + m    ; x2 = m - 1 - m   
  2  4  2  4
Bµi 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
 (m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0
 3
HDÉn : * m =1 : x = 
 2
 * m  1 : ' = 2 - m
 + m > 2 : V« nghiÖm.
 + m = 2 : x = 2 (nghiÖm kÐp )
 m  2  m m  2  m
 + m < 2 : x  ; x 
 1 m 1 2 m 1
 Bµi 3 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
 (m - 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0
 HDÉn : + m = 1 : x =-1
  c 2m 1
 + m  1 :x =-1 ; x = 
 1 2 a 1 m
 Bµi 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
 x2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
 1 Bµi 9 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
 a) mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0
 b) (m2 - m)x2 + 2mx + 1 = 0
 3
 HDÉn : a/ + m = 0 : x = 
 2
 + m  0 : m  1
 b/ + m = 0 : V« nghiÖm.
 1
 + m = 1 : x =-
 2
 + m  0 , m  1 : ' 0  m > 0
Bµi 10 : Cho ph­¬ng tr×nh : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 
 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh :
 a) Cã nghiÖm kÐp .
 b) Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
 c) V« nghiÖm .
 m  4
 m  0
 HDÉn : a/    9
 ' 0 m 
  5
 m  4
 m  0
 b/    9
 ' 0 m  ,m  0
  5
 c/ + m = 0 : Cã nghiÖm.
 9
 + m  0 : ' 0   m  4
 5
Bµi 11 : 
 a) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña k ®Ó ph­¬ng tr×nh : 
 x2 - 4x + k = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ( k = 1; 2; 3 )
 b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn ©m cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh : 
 2x2 - 6x + m + 7 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ( m = -3; - 4; - 5; ......)
Bµi 12 : Cho ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
 (2m - 7)x2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0
 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.
 m  2
 2m  7  0 
 HDÉn :  2  1
 ' 2m  5m  2 m 
  2
 + Víi m = 2 : x = 3
 1
 + Víi m = : x = 1
 2
Bµi 13 : Cho ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0
 T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
 3 m  2 m  2
  
 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng m th× 2  1 17
 m  m 
  2m 1  4
 1 1 1
 + m =  ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x = 2   m  kh«ng tho¶ 
 2 2 2
m·n.
Bµi 19 : Cho ph­¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó 
 ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn. 
 HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0  x  1
 m 1 2
 * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0  x  1 ; x   1
 1 2 m 1 m 1
  m 1  1;2  m 1;0;2;3
Bµi 20 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 
 nghiÖm lµ 3 vµ -2.
 6m  3n  6 m  2
 HDÉn :   
 4m  3n  14 n  2
 1
Bµi 21 : T×m m, n ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ :
 2
 mx2 + (mn + 1)x + n = 0
 
 m  0 m  2
  
 HDÉn :   0   1
 n  
 m 1  2
   mn 1.  n  0
  4 2
Bµi 22 : X¸c ®Þnh c¸c sè m, n cña ph­¬ng tr×nh: x2 + mx + n = 0 sao cho c¸c nghiÖm 
cña 
 ph­¬ng tr×nh còng lµ m vµ n. 
HDÉn : *  = m2 - 4n ≥ 0  m  4n
 m  0 2
   PT : x  0
 x1  x2  m  n  m n  0
 *  
  
 x1.x2  m.n  n m  1 2
   PT : x  x  2  0
 n  2
Bµi to¸n 4 : 
Chøng minh ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã nghiÖm .
 Ph­¬ng ph¸p : 
 - C¸ch 1 : Chøng minh '  0 
 - C¸ch 2 : Chøng minh ac < 0
 5 Bµi 28 : CMR : NÕu ph­¬ng tr×nh cx2 + bx + a = 0 (1) cã nghiÖm 
 th× ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (2) còng cã nghiÖm .
 2
 HDÉn :  2 = b - 4ac = 1  0
Bµi 29 : CMR ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b :
 x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0
 HDÉn :  = (3a + b)2+ 8b 2  0
Bµi to¸n 5 :
 Chøng minh Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm .
 Ph­¬ng ph¸p : 
 - TÝnh c¸c biÖt sè 1; 2 .
 - Chøng minh 1   2  0 hoÆc 1. 2  0 ®Ó suy ra mét biÖt sè kh«ng ©m 
 (Chó ý kÕt hîp gi¶ thiÕt nÕu cã)
Bµi 30 : Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
 CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
 HDÉn : 1   2  26 > 0  cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 31 : Cho hai ph­¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) vµ ax2 + bx - c = 0 (2)
 CMR víi mäi a, b, c Ýt nhÊt 1 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm .
 2
 HDÉn : 1   2  2b  0  cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 32 : Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + (m - 1)x + m2 = 0 (1) vµ x2 + 2mx - m = 0 (2)
 CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
 2
 HDÉn : 1   2  (m + 1)  0  cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 33 : Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 - 3x - a - 2 = 0 (1) vµ x2 + ax + 1 = 0 (2)
 CMR víi mäi a trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn lu«n cã Ýt nhÊt 1 ph­¬ng tr×nh 
 cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
 2
 HDÉn : 1   2  (a +2) + 9 > 0  cã 1 biÖt sè lín h¬n 0 .
 m
Bµi 34 : Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + (m - 2)x + = 0 (1) 
 4
 vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
 CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
 HDÉn : 1  (m 1)(m  4) ;  2  16(1 m)(m  4)
 2 2
 1. 2  16(m 1) (m  4)  0  cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
 1 1
Bµi 35 : Cho b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n :   2 . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai 
 b c
ph­¬ng 
 tr×nh sau cã nghiÖm : x2 + 2bx + c = 0 vµ x2 + 2cx + b = 0 .
 7 x2 + (m - 2)x + 3 = 0
 2x2 + mx + (m + 2) = 0
 2
HDÉn : (m - 4)x 0 = m - 4 : + m = 4 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x + 2x +3 = 0 ( v« 
nghiÖm)
 + m  4 : x 0 = 1 ; m = -2 
Bµi 41 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
 2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1)
 6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2)
 HDÉn :
 * C¸ch 1 : m x0 = 4 : + m = 0 : hai ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm chung.
 4 8
 + m  0 : x = ; m = 4 hoÆc m = 
 0 m 3
 9  2x 2  5x
 * C¸ch 2 : (1)  m = (x  0) thay vµo (2) : 
 3x
 3
 4x2 - 10x + 6 = 0 ta cã x = 1 ; x = 
 1 2 2
 . x 1 = 1  m = 4 ( nghiÖm chung lµ 1)
 3 8 3
 . x =  m = ( nghiÖm chung lµ )
 2 2 3 2
Bµi 42 : Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2 ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
 2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1)
 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2)
 2x 2  2x 12
 HDÉn : (1)  m = (x  0) thay vµo (2) : 
 3x
 2
 x - 4x = 0 ta cã x 1 = 0 (lo¹i) ; x 2 = 4
 . x = 4  m = 3 ( nghiÖm chung lµ 4)
Bµi 43 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 2 ph­¬ng tr×nh : 
 x2 + x + m - 2 = 0 (1)
 x2 + (m - 2)x + 8 = 0 (2) cã nghiÖm chung.
 2x  x 2  8
 HDÉn : (2)  m = (x  0) thay vµo (1) :
 x
 x3 - 8 = 0  x = 2  m = - 4 (nghiÖm chung lµ 2)
Bµi 44: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó 2 ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
 2x2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1)
 6x2 - (2a - 3)x - 1 = 0 (2)
 6
 HDÉn : (11a - 6)x = 8 : + a = c¶ hai ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
 0 11
 6 8
 + a   x  khi ®ã :
 11 0 11a  6
 9