Chuyên đề Phương trình bậc 2

 PHẦN I:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
 (Các em nghiên cứu cách giải các dạng bài tập và vận dụng làm các bài tập 
 cho trong phần này+Xem các VD mẫu và làm bài tập trong sách học tốt toán 
 9 từ trang 61 đến trang 84)
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:
 ax2  bx  c  0
Trong đó x là ẩn: a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số a  0
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
 Phương trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0)
   b2  4ac
*) Nếu   0 phương trình có hai nghiệm phân biệt :
 b   b  
 x  ;x 
 1 2a 2 2a
*) Nếu   0 phương trình có nghiệm kép : 
 b
 x  x 
 1 2 2a
*) Nếu   0 phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn:
 Phương trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0) vµ b  2b'
  '  b'2  ac
*) Nếu  '  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b'  ' b'  '
 x  ;x 
 1 a 2 a
*) Nếu   0 phương trình có nghiệm kép : 
 b'
 x  x 
 1 2 a
*) Nếu   0 phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi – et và ứng dụng:
1. Định lý Viet
 2
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax  bx  c  0(a  0) thì : 
  b
 x  x  
  1 2 a
 
 c
 x x 
  1 2 a
2. Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương 
trình X2 - SX + P = 0 (§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ S2  4P  0 ) (Định lý Viét đảo)
3. NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax2  bx  c  0(a  0) cã hai nghiÖm : 
 c
 x 1;x 
 1 2 a 25  25  q  0  q  50
 50 50
 T ừ x1x2  50 suy ra x2    10
 x1 5
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x2 11 và theo VI-ÉT ta có 
 x1  x2 11 x1  9
 x1  x2  7 , ta giải hệ sau:   
 x1  x2  7 x2  2
 Suy ra q  x1x2  18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  2x2 và theo VI-ÉT ta có 
 x1x2  50 . Suy ra
 2 2 2 x2  5
 2x2  50  x2  5   
 x2  5
 Với x2  5 th ì x1  10
 Với x2  5 th ì x1 10
Dạng 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2
Ví dụ : Cho x1  3; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S  x1  x2  5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có  vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
 P  x1x2  6
 x2  Sx  P  0  x2  5x  6  0
Bài tập áp dụng: 
 1. x1 = 8 vµ x2 = -3
 2. x1 = 3a vµ x2 = a
 3. x1 = 36 vµ x2 = -104
 4. x1 = 1 2 vµ x2 = 1 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của 
một phương trình cho trước:
 2
V í dụ: Cho phương trình : x  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương 
 1 1
trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x2  và y2  x1 
 x1 x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
 1 1  1 1  x1  x2 3 9
 S  y1  y2  x2   x1   (x1  x2 )      (x1  x2 )   3 
 x1 x2  x1 x2  x1x2 2 2
 1 1 1 1 9
 P  y1 y2  (x2  )(x1  )  x1x2 11  2 11 
 x1 x2 x1x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2  Sy  P  0
 9 9
 hay y2  y   0  2y2  9y  9  0
 2 2
Bài tập áp dụng: 2 x1  4
 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x  5x  36  0  
 x2  9
 Do đó nếu a =  4 thì c = 9 nên b =  9
 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a  b2  a  b2  4ab  a  b2  a  b2  4ab 169
 2 2 a  b  13
  a  b 13  
 a  b 13
*) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1  4
 x 13x  36  0  
 x2  9
 Vậy a = 4 thì b = 9
*) Với a  b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1  4
 x 13x  36  0  
 x2  9
 Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a  b  11
 2 2 2 2 2 2 
T ừ: a + b = 61  a  b  a  b  2ab  61 2.30 121 11  
 a  b 11
*) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
 2 x1  5
 x 11x  30  0  
 x2  6
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
*) Nếu a  b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
 2 x1  5
 x 11x  30  0  
 x2  6
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ : Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6
Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2  3x  6  0
   32  4.1.6  9  24  15  0 
 Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài
* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
 S 2  4P  32  4.6  9  24  15  0 nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài 
mà chưa cần lập phương trình
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20
Bài 2: Tìm hai số x, y biết:
 a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66
Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x2  y2  25; xy 12 Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm
Bài tập áp dụng:
 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2  8x 15  0 Không giải phương trình, hãy tính
 2 2 1 1  8 
 1. x1  x2 (34) 2.   
 x1 x2 15
 x1 x2  34  2
 3.    4.  x1  x2  (46)
 x2 x1 15 
b) Cho phương trình : 8x2  72x  64  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1  9  2 2
 1.    2. x1  x2 (65)
 x1 x2  8 
c) Cho phương trình : x2 14x  29  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 14  2 2
 1.    2. x1  x2 (138)
 x1 x2  29 
d) Cho phương trình : 2x 2  3x 1  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 1 x 1 x
 1.  (3) 2. 1  2 (1)
 x1 x2 x1 x2
 2 2 x1 x2  5 
 3. x1  x2 (1) 4.   
 x2 1 x1 1  6 
 2
e) Cho phương trình x  4 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
 2 2
 6x1 10x1x2  6x2
 Q  3 3
 5x1x2  5x1 x2
 6x2 10x x  6x2 6(x  x )2  2x x 6.(4 3)2  2.8 17
HD: Q  1 1 2 2  1 2 1 2  
 3 3 2 2
 5x1x2  5x1 x2 5x x  x  x  2x x  5.8(4 3)  2.8 80
 1 2  1 2  1 2   
Dạng 6. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI 
THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1; x2 ( a  0;  0 )
+ Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
 - Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm(là 1 trong 2 hệ thức 
 trên)
 - Nếu S và P chứa tham số thì dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 
 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
 2
Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x  2mx  m  4  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên 
hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m  x1  x2  2(1)
 x1  x2  m  2 
  
   x1x2 1
 x1.x2  2m 1 m  (2)
  2
Từ (1) và (2) ta có:
 x x 1
 x  x  2  1 2  2 x  x   x x  5  0
 1 2 2 1 2 1 2
2. Cho phương trình : x2  4m 1 x  2m  4  0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m 1)2  4.2(m  4) 16m2  33  0 do đó phương trình đã cho luôn 
có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1  x2  (4m 1) 4m  (x1  x2 ) 1(1)
    
 x1.x2  2(m  4) 4m  2x1x2 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
 (x1  x2 ) 1  2x1x2 16  2x1x2  (x1  x2 ) 17  0
Dạng 7.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU 
THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
 - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 
 0 và   0)
 - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là 
tham số).
 - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2  6m 1 x  9m  3  0
 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
 m  0 m  0 m  0 m  0
  2      
  '  9 m2  2m 1  9m2  27  0  '  9 m 1  0 m  1
  '  3m  21  9(m  3)m  0       
  6(m 1)
 x  x 
  1 2 m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:  v à t ừ gi ả thi ết: x1  x2  x1x2 . Suy ra:
 9(m  3)
 x x 
  1 2 m
 6(m 1) 9(m  3)
   6(m 1)  9(m  3)  6m  6  9m  27  3m  21  m  7 
 m m
 (thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  2m 1 x  m2  2  0 .
 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2  5 x1  x2   7  0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
  '  (2m 1)2  4(m2  2)  0
  4m2  4m 1 4m2 8  0