Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ

 CHUYÊN ĐỀ: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Giáo viên thực hiện: ĐẶNG THỊ THU HƯƠNG 
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Liên Châu
Tên chuyên đề : Những hằng đẳng thức đáng nhớ.
Đối tượng học sinh: HS yếu, kém lớp 8
 -----------------------------------------
I. THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG GIÁO DỤC CỦA ĐƠN VỊ NĂM HỌC 
2018 – 2019.
Năm học 2018 – 2019 chất lượng giáo dục của trường THCS Liên Châu đứng trong 
tốp đầu của huyện Yên Lạc và tỉnh Vĩnh Phúc. Tuy vậy nhà trường vẫn còn rất 
nhiều thi trượt lớp 10 THPT, nhiều học sinh yếu kém phải thi lại và còn có 2 em 
học sinh bị lưu ban.
Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng học sinh học yếu kém chẳng hạn như:
 1. Về phía học sinh:
- Do chưa nhận thức được nhiệm vụ học tập.
- Do chưa hứng thú với môn học.
- Kiến thức bị hổng do học sinh lười học. 
- Do khả năng tiếp thu chậm. 
- Do thiếu phương pháp học tập phù hợp.
- Do kinh tế gia đình khó khăn; Bố mẹ đi làm ăn xa nên điều kiện học tập thiếu 
thốn về cả vật chất, tình cảm cũng như thời gian, dẫn đến kết quả học tập theo đó bị 
hạn chế.
- Do học sinh tiếp cận và đam mê các hoạt động của các mạng xã hội, cha mẹ học 
sinh cũng không có thời gian kiểm soát được chặt chẽ...
 2. Về phía giáo viên:
- Do phương pháp dạy học chưa phù hợp, chưa gây hứng thú học tập cho học sinh
- Do phương tiện dạy, thiết bị dạy học chưa đầy đú.
-Do nội dung kiến thức, hệ thống câu hỏi và bài tập chưa phù hợp cho từng đối 
tượng học sinh...
Là một giáo viên dạy Toán tôi luôn cố gắng tìm các giải pháp để khắc phục tình 
trạng học sinh học yếu kém, làm sao để học sinh có hứng thú học tập môn Toán và 
tôi thấy rằng một trong những giải pháp quan trọng đó là đổi mới phương dạy học 
và nội dung bài dạy phải phù hợp từng đối tượng học sinh.
 1 1) Một số công thức về lũy thừa của một số hữu tỉ
 * xn = x.x....x (n thừa số x, nN) 
 *xn . xm = xn + m ( x  Q ; m,nN) 
 *(xn)m = xn . m( x  Q ; m,nN) 
 *(x . y)n = xn . yn ( x,y  Q ; m,nN) 
 n n
 n n n  x  x
 *(x : y) = x : y hay    n
  y  y
 ( x,y  Q, y ≠ 0 ; nN)
2) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
*Bình phương của một tổng: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1) 
(Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số 
thứ nhất nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.)
Ví dụ: (x+2)2 = x2 +2.x.2+22 =x2+4x+4
*Bình phương của một hiệu: (A-B)2 = A2-2AB+B2 (2) 
(Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ 
nhất nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.)
Ví dụ: (x-1)2 = x2 -2.x.1+12 =x2-2x+1
* Hiệu hai bình phương: A2-B2 = (A+B)(A-B) (3)
(Hiệu hai bình phương bằng tổng hai số đó nhân hiệu hai số đó.)
Ví dụ: x2 – 32 = (x+3)(x-3)
*Lập phương của một tổng: (A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3 (4)
(Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng 3 lần tích bình
 phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương
 số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.) 
Ví dụ: (x+2)3 = x3+3x2.2+3x.22+23 = x3+6x2+12x +8
*Lập phương của một hiệu: (A-B)3= A3-3A2B+3AB2-B3 (5)
(Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ 3 lần tích bình
 phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương
 số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.) 
Ví dụ: (x-1)3 = x3+3x2.1+3x.12+13 = x3-3x2+3x -1
* Tổng hai lập phương: A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2) (6)
 3 Cách 2: Dùng hằng đẳng thức số 1
(x+3)2 = x2+2.x.3+32 = x2+6x+9
Nhận xét: Cách 2 nhanh, gọn và dễ hơn.
GV: Từ đó cho HS thấy được lợi ích của hằng đẳng thức số 1 trong giải toán.
Hoạt động 5:GV: đưa ra bài tập áp dụng để HS thực hiện
-Tương tự giáo viên cho học sinh hình thành các hằng đẳng thức 
Chú ý:
GV : Nên sử công nghệ thông tin để soạn giảng giúp bài giảng sinh động, dễ hiểu 
hơn
GV: Viết A, B bằng hai màu khác nhau.
GV: Cho học sinh phát biểu các hằng đẳng thức bằng lời và quan sát kĩ từng hẳng 
đẳng thức để phát hiện những đặc điểm để nhớ hằng đẳng thức chẳng hạn:
 +Hằng đẳng thức số 1, 2: Chỉ khác nhau về dấu
 +Hằng đẳng thức số 4, 5: Khác nhau về dấu, bậc của A giảm dần thì bậc của 
B tăng dần
 +Hằng đẳng thức số 6, 7: Khác nhau về dấu.
GV: Hướng dẫn học sinh có thể tự chế nhạc hoặc thơ để dễ thuộc hằng đẳng thức
Ví dụ: (nháy chuột phải và click vào Open Hyperlink để nghe)
C. HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG VÀ PHƯƠNG PHÁP 
GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CHUYÊN ĐỀ.
Dạng 1: Nhận biết các hằng đẳng thức
1. Hằng đẳng thức số 1: (A+B)2 = A2+2AB+B2 
Ví dụ 1: Tính 
 1
 a) (x+ 4)2 b)( 4x  y )2
 2
Phương pháp:
a) GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết (x+ 4)2 là vế trái hằng đẳng thức số 1trong đó 
A=x; B =4
GV: Hướng dẫn HS viết (x+ 4)2 =x2+2.x.4+42
GV: Hường dẫn HS trình bày lời giải 
Lời giải: 
(x+ 4)2 =x2+2.x.4+42 = x2+8x+16
 5 a) x4  4x2  4 ; b)x2 + 16 + 8x ; c)9x2  30x  25
 1
d)x2+12x+36; e)4x2+12xy+9y2 ; f) x2  x 
 4
Lời giải:
a) x4  4x2  4 = (x2)2 + 2.x2.2 + 22 = (x2 +2)2
b)x2 + 16 + 8x =x2 +2x.4 +42 = (x+4)2
c)9x2  30x  25 =(3x)2 +2.3x.5 +52 = (3x+5)2
d)x2+12x+36=x2 +2x.6 + 62= (x+6)2
e)4x2+12xy+9y2 = (2x)2+ 2.2x.3y +(3y)2 =(2x+3y)2
 2 2
 2 1 2 1  1   1 
f) x  x   x  2.x.      x  
 4 2  2   2 
2. Hằng đẳng thức số 2: (A-B)2 = A2-2AB+B2 
Ví dụ 1: Tính
 a) (2 –x)2 b) ( 2x  3y2 )2
Phương pháp:
a)GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết (2-x )2là vế trái hằng đẳng thức số 2 trong đó 
A=2; B =x
GV: Hướng dẫn HS viết (2-x)2 =22-2.2.x+x2
GV: Hường dẫn HS trình bày lời giải 
Lời giải: (2-x)2 =22-2.2.x+x2 = (2-x)2
b)GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết ( 2x  3y2 )2là vế trái hằng đẳng thức số 2 trong 
đó A=2x; B =3y2
Dùng hình vuông, tròn để thay thế cho biểu thức A, B học sinh sẽ tránh nhầm : 
 ( 2x - 3y2 )2 = 2x 2 - 2. 2x . 3y2 + 3y2 2 = 4x2-12xy2+9y4
Lời giải: (2x-3y2 )2 =(2x)2- 2.2x.3y2+(3y2)2=4x2-12xy2+9y4
Ví dụ 2 : Viết tổng sau thành tích : x2 -8x+16
GV : +Cho HS dự đoán bài toán có dạng hằng đẳng số 2
 + Cho HS xác định A=x, B=4
 +Cho HS kiểm tra xem 2AB =2.x.4 có bằng 8x không ? nếu bằng thì 
x2 -8x+4 là vế phải của hằng đẳng thức số 2
Lời giải: x2 -8x+16 =x2 -2.x.4+42 =(x-4)2 
 7 a) (3x-1)(3x+1); b) (5x-3y)(5x+3y); c)(3x2-y)(3x2+y)
 1 1 3 3 3 3
d) (2x+ )(2x- ); e) (5x+ )(5x- ); f) ( x+2)( x-2)
 2 2 2 2 4 4
 y y
e) (x+ )(x- ); f) (2x+1-y)(2x+1+y); h)(x+y+2)(x+y-2)
 2 2
Bài 8: Viết biểu thức sau thành tích: 
a) 25x2 – 49; b)x2 – 1 c) x2 - 3
 1
d) x4 -81; e) x2 – 1 f) (4x2)2 – y2
 4
g)(2x+3)2 – (3x-1)2 ; h) (x+2y)2 – x2 ; i) (3x2-1) -16
 2 2
k) a2  b2   a2  b2  ; l) - 4x2 + 9
4. Hằng đẳng thức số 4: (A+B)3 = A3 +3A2B+ 3AB2+B3
Ví dụ 1: Tính (x+2)3
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 4
 + Cho HS xác định (x+2)3 là vế trái của hằng đẳng thức số 4, trong đó A=x, 
B=2 
 +Cho HS viết (x+2)3 thành x3 + 3x2.2+3x.22+23 
Lời giải: (x+2)3=x3 + 3x2.2+3x.22+23 = x3+6x2+12x+8 
Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 9x2 + 27x + 27
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 4
 + Cho HS xác định x3 + 9x2 + 27x + 27 có thể vế trái của hằng đẳng thức số 
4 trong đó A=x, B=3 và 
 +Cho HS kiểm tra xem 3A 2 B =3.x2.3 và 3AB2 =3x.32 có bằng 9x 2 và 27x 
không? nếu bằng thì x3 + 9x2 + 27x + 27 đúng là vế phải của hằng đẳng thức số 4
Lời giải: x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3+3.x2.3 +3x.32 + 33 = (x+3)3
Bài tập vận dụng:
Bài 9: Tính: 
 9 Ví dụ 1: Tính (x + 3)(x2 - 3x + 9)
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 6
 + Cho HS xác định A=x, B=3 và (x + 3)(x2 - 3x + 9) là vế trái của hằng đẳng 
thức số 6
Lời giải: (x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = x3+33 =x3 +27
Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 8
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 6
 + Cho HS xác định A=x, B=2 và x3 + 8 là vế trái của hằng đẳng thức số 6
Lời giải: x3 + 8 =(x+2)(x2+x.2+22) =(x+2)(x2+2x+4) 
Bài tập vận dụng:
Bài 13: Tính: 
a)( x+2y)(x2 - 2xy + 4y2) ; b) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)
c)(x+1)(x2-x+1) ; d)(x+ 3 )(x2- 3 x+ 9 ) 
 2 2 4
Bài 14: Viết tổng sau thành tích: 
 1 1
a)  x3 ; b) x3 + 125 c) (x+4)3+64 d) y3  27x3
 27 8
7. Hằng đẳng thức số 7: A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2)
Ví dụ 1: Tính (x + 3)(x2 - 3x + 9)
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 6
 + Cho HS xác định A=x, B=3 và (x + 3)(x2 - 3x + 9) là vế trái của hằng đẳng 
thức số 6
Lời giải: (x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = x3+33 =x3 +27
Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 8
GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 6
 + Cho HS xác định A=x, B=2 và x3 + 8 là vế trái của hằng đẳng thức số 6
Lời giải: x3 + 8 =(x+2)(x2+x.2+22) =(x+2)(x2+2x+4) 
Bài tập vận dụng:
 11 Bài 18. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)(2x+3)(4x2 -6x+9) -2( 4x3 -1);
b)(x+3)3 – (x+9)(x2+27)
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức :
Phương pháp: Để tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến ta:
 +Sử dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức (nếu có thể)
 +Thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn
 +Thực hiện phép tính 
 +Trả lời
Ví dụ : a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = 2
GV: +Cho HS nhận thấy được biểu thức A có thể dùng hằng đẳng thức để viết gọn
 + Sau khi viết gọn ta thay x= 2 vào biểu thức rút gọn 
 + Thực hiện phép tính rồi trả lời 
Lời giải: Ta có: A= 49x2 – 56x + 16 = (7x – 4)2 
Thay x = 2 ta được A = (7.2 – 4)2 = 102 = 100
Vậy với x= 2 thì A = 100
b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 , với x = - 2
Lời giải:
Ta có: B = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x + 2)3 
Thay x = -2 ta được B = [3.(-2) + 2]3 = (-4)3 = - 64
Vậy với x=- 2 thì A = -64
Bài tập vận dụng:
Bài 18. Tính nhanh :
 a) 892 + 112 + 22.89 b) 732 + 232 – 46.73
 c) 9762 – 9752 + 9752 – 9742 d) 9502 - 8502 
Bài 19. Tính giá trị của các biểu thức:
Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức:
 a) A= x2 +2xy+y với x+y = 2; 
 13