Chuyên đề Một số phương pháp xây dựng phương trình vô tỷ

 Sở giáo dục & đào tạo vĩnh phúc
 Phòng gd & đt vĩnh yên 
 Trường THCS Vĩnh yên
 =======o0o=======
Chuyên đề môn Toán:
 Một số phương pháp Xây dựng 
 Phương trình vô tỷ 
 Tác giả chuyên đề: 
 Nguyễn Thị Hồng Phương - Nguyễn Công Cao
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác : Tổ Khoa học -Tự nhiên
 Trường THCS Vĩnh Yên
 Phòng giáo dục & đào tạo thành phố Vĩnh Yên 
 Vĩnh Yên, tháng 12 năm 2011 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
 Phần thứ nhất: mở đầu
I. lý do chọn chuyên đề
1.Lý do khách quan:
 Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, 
có ứng dụng trong hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học 
giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học. Làm thế nào để học được toán, 
học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết 
được một cách dễ dàng. Với cương vị là một giáo viên toán, chúng tôi 
nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phương pháp tốt 
nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức 
một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
 2.Lý do chủ quan:
 Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở chúng 
tôi nhận thấy mảng phương trình vô tỷ được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 
9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, 
quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Bên cạnh đó là các nội dung bài 
tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các phương trình vô 
tỷ là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và 
đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.
 Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây 
nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình vô 
tỷ. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều 
năm giảng dạy. Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được 
trong chương trình bồi dưỡng giáo viên ,chúng tôi quyết định chọn 
chuyên đề “Một số phương pháp xây dựng phương trỡnh vô tỷ” 
 Qua chuyên đề ,chúng tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu 
hơn về vấn đề này, tự xây dựng được một số bài toán phương trình vô 
tỷ,làm tài liệu cho giảng dạy và học tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ 
dàng hơn trong việc giải phương trình vô tỷ. Qua nội dung này chúng tôi 
hy vọng học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát 
 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
 Phần thứ hai: nội dung chuyên đề 
A . Nội dung
I. cơ sở khoa học của chuyên đề
1.Cơ sở lí luận:
 Phương trình vô tỷ là một lớp bài toán có vị trí đặc biệt quan trọng 
trong chương trình bậc toán học phổ thông.Việc tìm phương pháp giải 
phương trình vô tỷ cũng như việc xây dựng phương trình vô tỷ mới là 
niềm say mê không ít người đặc biệt là những người dạy toán. Để đáp 
ứng nhu cầu giảng dạy và học tập .
 Vì vậy chúng tôi mạnh dạn xây dựng chuyên đề này với mong muốn 
trao đổi với các đồng chí về một số phương pháp xây dựng phương trình 
vô tỷ mới nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng cho học sinh. Đặc biệt là 
bồi dưỡng học sinh giỏi.
2.Cơ sở thực tiễn
 Trường THCS Vĩnh Yên ngoài việc đào tạo học sinh phát triển 
toàn diện theo mục tiêu đào tạo chung thì công tác bồi dưỡng học sinh 
giỏi là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của nhà trường. Bởi vậy nhà 
trường đã được UBND Thành phố, Phòng GD - ĐT Thành phố cho tuyển 
chọn các em học sinh giỏi trên toàn Thành phố. Tuy nhiên thực tiễn qua 
quá trình dạy học tôi nhận thấy phương trình vô tỷ có rất nhiều dạng và 
nhiều cách giải khác nhau.Người giáo viên ngoài việc nắm được các dạng 
phương trình và các phương pháp giải chúng cần phải biết xây dựng lên 
các đề toán khác nhau làm tài liệu giảng dạy tránh sao chép,cóp nhặt 
trùng lặp với các bài trong sách
 Vì vậy,chúng tôi viết chuyên đề này để chúng ta cùng tham khảo, 
góp ý kiến để đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học của bộ 
môn và hoàn thành nhiệm vụ giáo dục.
 5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
Vì x=1 không là nghiệm nên ta chia 2 vế cho x-1>0 .Ta được
 x2  x 1 x2  x 1
 2  5  3  0.
 x 1 x 1
 x2  x 1
Đặt t = (đk:t  3 2 3 ) 2t2-5t+3=0 t=1 và t=1,5 (loại do 
 x 1
phạm vào Đk =>phương trình vô nghiệm.
d)Bài tập áp dụng 
Giải các phương trình sau
 6
a) 3(x2+2x+2)-8(x+1) = x3  3x2  4x  2
 30
 3
b)x2-3x+1=  x4  x2 1 
 3
c) 2x2  6x 1  4x  5
d) x  5  x 1  6
 2
e) x  2004  x 1 1 x 
* Tổng quát và hướng dẫn sáng tạo.
 Một số dạng phương trình sau được giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa 
về phương trình bậc 2: 
- Dạng 1: af  x  b f  x  c  0 .
Chỉ dẫn: Đặt t  f  x
- Dạng 2: ax  b  cx  d  0 .
Chỉ dẫn: Đặt t  cx  d
- Dạng 3: A a  x  a  x   B a2  x2  C
Chỉ dẫn: Đặt t  x  x  a
- Dạng 4: A x  x2  a   B x2  x x2  a   C  0
Chỉ dẫn: t  x  x2  a .
 Đối với mỗi dạng tổng quát ta chọn các hệ số a, b, c, d, A, B... 
một cách thích hợp ta được một phương trình vô tỷ mới, biết đổi phương 
trình ở dạng tổng quát “một chút” để được phương trình khó hơn.
 2.2 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình đưa về dạng tích:
a) Phương pháp 
 7 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
 Gán các biểu thức chứa x cho A,B,C,D ta sẽ được phương trình vô tỷ 
giải bằng cách bình phương 2 vế. Điều đó đôi khi lại gặp khó khăn
 3 A  3 B  3 C  A  B  33 A.B  3 A  3 B   C 
và ta sử dụng pháp thế : 3 A  3 B  C ta được phương trình : 
 A  B  33 A.B.C  C
b)Xây dựng phương trình vô tỷ:
 Gán A=x+3.B=3x+1,C=4x ,D=2x+2 ta được phương trình vô tỷ sau: 
 x  3  3x 1  2 x  2x  2
c) Bài toán 3.Giải phương trình sau : x  3  3x 1  2 x  2x  2
Hướng dẫn: Đk x  0
 Để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp 
một chút .
Phương trỡnh giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trỡnh : 
 3x 1  2x  2  4x  x  3
Bình phương hai vế ta có: 6x2  8x  2  4x2 12x  x 1
Thử lại x=1 thỏa mãn
Nhận xét : Nếu phương trình : f  x  g  x  h x  k  x 
Mà có : f  x  h x  g  x  k  x , thì ta biến đổi phương trình về dạng : 
 f  x  h x  k  x  g  x sau đó bình phương giải phương trình 
d)Bài tập áp dụng 
Giải các phương trình sau
a) x  3  5  x  2 (2)
b) x 1  x  7  12  x 
c) x  x 1  x  4  x  9  0
d) x  6x  9  x  6x  9  6
e) 3x 15  4x 17  x  2
 9 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
Bài toán 6: Giải phương trình 12 x  2 x 1  3x  9
Hướng dẫn:
 Để giải được bài toán này học sinh phải biết biến đổi về phương trình 
trước khi khai triển để giải là cách tốt hơn cả.
2.4.4 Xây dựng phương trình vô tỷ hằng đẳng thức: A3 = B3 
a) Phương phỏp: Từ hằng đẳng thức A3 = B3(A-B)(A2+B2+AB)=0
b)Xây dựng phương trình vô tỷ
 Gán A,B là các biểu thức chứa căn ví dụ gán A=1+ 3 x 1 ,B=x .Từ 
phương trình (1+ 3 x 1 )3=x3 ta khai triển và thu gọn được bài toán mới 
c)Bài toán 7:Giải phương trình
 3( 3 x 1 + 3 (x 1)2 =x3-x
Hướng dẫn:
 Để giải được bài toán này học sinh phải biết biến đổi về phương trình 
ban đầu xây dựng. Phương trình này có nghiệm x=0;x=1;x=2
2.4.5. Xây dựng phương trình vô tỷ từ đẳng thức 
 A  B  C3  A3  B3  C3  3 A  BB  CC  A 
a) Phương phỏp: Từ hằng đẳng thức 
 A  B  C3  A3  B3  C3  3 A  BB  CC  A .Ta cú 
 A3  B3 C3   A BC3  A B ACBC  0
 A B
 
 B  C
 C  A
Từ nhận xột này ta cú thể tạo ra những phương trỡnh vụ tỉ cú chứa căn 
bậc ba . 
b)Xây dựng phương trình vô tỷ
 Gán A = 3 7x 1 ,B =  3 x2  x 8 ,C = 3 x2 8x 1 thì A3+B3+C3=8 ta 
được bài toán
c)Bài toán 8. Giải phương trình: 3 7x 1  3 x2  x  8  3 x2  8x 1  2
 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Xây dựng PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
 ******************************
 Nếu ta đoỏn trước được nghiệm thỡ việc dựng bất đẳng thức dễ dàng 
hơn, nhưng cú nhiều bài nghiệm là vụ tỷ việc đoỏn nghiệm khụng được, 
ta vẫn dựng bất đẳng thức để đỏnh giỏ được .
Một số phương trỡnh được tạo ra từ bất đẳng thức Bunhiacốpki:
 A C
 (AB+CD)2  (A2+C2)(B2+D2) . Dấu bằng xảy ra khi 
 B D
 b)Xây dựng phương trình vô tỷ :
 1 x
Gán A = 2 2 ; B = x 1; C = ; D = Ta xây dựng phương trình 
 x 1 x 1
 1 x 1 x
(2 2.  x 1. )2  (8  x 1).(  )
 x 1 x 1 x 1 x 1
 2 2
=>  9  x ta xây dựng phương trình vô tỷ
 x 1
 2 2
c)Bài toán 9. Giải phương trỡnh  x  x  9
 x 1
Giải: đk x  0
 2  2 
  2 2   2  1  x 
Ta cú :   x   2 2   x 1       x  9
 x 1    x 1 x 1 
      
 2 2 1 1
Dấu bằng    x 
 x 1 x 1 7
Bài toán 10. Giải phương trỡnh : 13 x2  x4  9 x2  x4 16
Giải: Đk: 1  x 1
 2
Biến đổi pt ta cú : x2 13 1 x2  9 1 x2   256
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
 2
 13. 13. 1 x2  3. 3. 3 1 x2   13  2713 13x2  3  3x2   4016 10x2 
 2
 2 2 16 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi: 10x 16 10x      64
  2 
 13