Chuyên đề Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
 Phần I: mở đầu
 I. Lý do chọn đề tài:
 - Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức 
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ 
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết 
được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại 
lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta 
giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng 
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính 
chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả 
năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
 Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỷ 
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
 II. Phạm vi nghiên cứu:
 1. Phạm vi của đề tài:
 Chương I, môn đại số lớp 7
 2. Đối tượng: 
 Học sinh lớp 7 THCS.
 3. Mục đích:
 a) Kiến thức.
 - Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng 
nhau như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán 
chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số 
bằng nhau.
 b) Kỹ năng:
 HS có kỹ năng tìm số hạng chưa biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ 
lệ.
 c) Thái độ:
 HS có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính 
toán.
 1 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
 b) Bài tập:
 Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
 - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
  x.9,36  0.52.16,38
 0,52.16,38
  x   0,91
 9,36
 Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ 
 khó hơn như sau :
  1  2 3 2
 a) x : 1 :
  3  3 4 5
 1 2
 b) 0,2 :1  : 6x  7
 5 3
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
 x 60
 
 15 x
 x 60
 
 15 x
 Giải : từ  x.x  15.60
  x2  900
  x2  302
 Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta 
đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 
 x 1 60 x 1 9
  ; 
 15 x 1 7 x 1
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
 x  3 5
 
 5  x 7
Giải: 
Cách 1: từ
 x  3 5
    x  3.7  5  x.5
 5  x 7
  7x  21  25  5x
 12x  46
 5
  x  3
 6
 x  3 5 x  3 5  x
Cách 2: từ   
 5  x 7 5 7
 áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
 x  3 5  x x  3 5  x 2 1
    
 5 7 5  7 12 6
 x  3 1
    6 x  3  5
 5 6
 5 5
  x  3   x  3
 6 6
 3 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
 +Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
 x y z
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết   và x +y + z = 27
 2 3 4
Giải: Cách 1.
 x y z
Đặt    k  x  2k, y  3k, z  4k
 2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k  3k  4k  27  9k  27  k  3
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
 x y z x  y  z 27
      3
 2 3 4 2  3 4 9
  x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3 12
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
 x y z
 Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết   và 2x + 3y – 5z = -21
 2 3 4
Giải: 
 x y z
 - Cách 1: Đặt   =k
 2 3 4
 x y z 2x 3y 5z
 - Cách 2: Từ   suy ra  
 2 3 4 4 9 20
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 2x 3y 5z 2x  3y  5z 21
      3
 4 9 20 4  9  20 7
  x  6; y  9; z 12
 x y z
 Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết   và 2x2  3y2  5z2  405
 2 3 4
Giải:
 x y z
 - Cách 1: Đặt   =k
 2 3 4
 x y z
 - Cách 2: từ   
 2 3 4
 suy ra 
 x2 y2 z2
  
 4 9 16
 2x2 3y2 5z2
   
 8 27 90
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 2x2 3y2 5z2 2x2  3y2  5z2 405
      9
 8 27 90 8  27  90 45
Suy ra 
 5 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
 x  4 y  6 z 8
   và x +y +z =27
 2 3 4
Giải:
 x  4 y  6 z 8
 - Cách 1: Đặt   =k
 2 3 4
 - Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
 x  4 y  6 z 8
  
 2 3 4
 x  4  y  6  z 8 x  y  z 18 27 18
    1
 2  3 4 9 9
 x  4
  1 x  6
 2
 y  6
 1 y  9
 3
 z 8
 1 z 12
 4
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
 Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp : 
 a c
Để Chứng minh tỷ lệ thức :  Ta có các phương pháp sau :
 b d
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
 a c
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho 
 b d
trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính 
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức 
biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ 
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
 a c
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:  hãy suy ra tỷ lệ thức:
 b d
 a  b c  d
  .
 a c
Giải:
Cách 1: Xét tích a  bc  ac  bc(1) 
 ac  d   ac  ad(2)
 a c
Từ   ad  bc(3)
 b d
 7 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
 a  b bk  b bk 1 k 1
    ,b  0(1)
 a  b bk  b bk 1 k 1
 c  a ak  a ak 1 k 1
    a  0,(2)
 c  a ak  a ak 1 k 1
 a  b c  a
Từ (1) và (2) suy ra: 
 a  b c  a
- Cách 3: Ta có 
 2
 a  b aa  b a  ab bc  ab 2
   2  do,a  bc
 a  b aa  b a  ab bc  ab
 bc  a c  a
   a,b  0
 bc  a c  a
 a  b c  a
Do đó: 
 a  b c  b
 a  b c  a
Ngược lại từ  ta cũng suy ra được a2 = bc
 a  b c  b
 a  b c  a
Từ đó ta có bài toán cho  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì 
 a  b c  b
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc 
 a c a b a  b a  b
      
 b a c a c  a c  a
 a  b c  a
  
 a  b c  a
b) 
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
 = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
 a2  c2 c
 2 2 2 2  
Do đó (a + c )b = ( b + a )c b2  a2 b
 a c
- Cách 2: Từ a2 = bc  
 b a
 a c
Đặt   k suy ra a = bk, c = ak = bk2 
 b a
Ta có
 2 2 2
 a2  c2 b2k 2  b2k 4 b k 1 k 
    k 2 ,b  0
 b2  a2 b2  b2k 2 b2 1 k 2 
 c k 2b
   k 2
 b b
 a2  c2 c
 
Do đó: b2  a2 b
 9 Một số bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
 x y z
 Từ (1) và (2) suy ra:  
 a b c
 x y z
Bài tập 5:Cho   .Chứng minh rằng 
 a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
 a b c
   (với abc  0 và các mẫu đều khác 0)
 x  2y  z 2x  y  z 4x  4y  z
Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
 x y z 2y x  2y  z x  2y  z
      (1)
 a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 4a  2b  2c a  2b  c  4a  4b  c  4a  2b  2c 9a
 x y z 2x 2x  y b 2x  y  z
      (2)
 a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 2a  4b  c 2a  4b  c  2a  b  c  (4a  4b  c) 9b
 x y z 4x 4y
    
 a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 4a  8b  4c 8a  4b  4c
 4x  4y  z 4x  4y  z
   (3)
 4a  8b  4c  (8a  4b  4c)  4a  4b  c 9c
 x  2y  z 2x  y  z 4x  4y  b
Từ (1),(2),(3) suy ra   suy ra 
 9a 9b 9c
 a b c
  
 x  2y  z 2x  y  z 4x  4y  z
 Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phương pháp giải
 Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
 Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
 Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết 
 Bước 4:Kết luận.
2.Bài tập
 Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 
 22 cm
 và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
 Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c  0 )
 Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
 a b c
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có  
 2 4 5
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 
 a b c a  b  c 22
      2
 2 4 5 2  4  5 11
 Suy ra 
 11