Chuyên đề Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

 Hướng dẫn HS giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
 1. Tên chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và 
 tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
 2. Thực trạng giáo dục của nhà trường :
 Trong nhiều năm đứng lớp giảng dạy, chuyên đề về tỉ lệ thức và tính chất của 
dãy tỉ số bằng nhau đã là niềm đam mê của tôi. Tuy nhiên khi đi sâu vào giảng dạy, 
tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng với các phép tính trong tỉ lệ thức và đặc biệt là 
một số học sinh yếu về toán thì cảm thấy khó khăn, cảm thấy sợ khi làm bài tập về tỉ 
lệ thức. Bức xúc trước suy nghĩ của một số học sinh, tôi đã dành thời gian nghiên 
cứu các tài liệu trong sách giáo khoa cũng như sách tham khảo để tìm ra những 
dạng bài tập cơ bản nhất, những phương pháp giải đơn giản nhất để học sinh hứng 
thú hơn trong việc học tập và nâng cao kết quả học tập của mình.
 Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và 
dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỉ lệ 
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết 
được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại 
lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta 
giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng 
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính 
chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả 
năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
 Với những lý do trên đây và với kinh nghiệm giảng dạy của mình tôi xin trình 
 bày chuyên đề “Bồi dưỡng học sinh yếu một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính 
 chất của dãy tỉ số bằng nhau” trong Đại số lớp 7, và một số giải pháp để việc 
 giải toán về tỉ lệ thức đạt hiệu quả cao.
 3. Đối tượng học sinh, dự kiến số tiết dạy:
 - Đối tượng học sinh: Học sinh khối 7
 - Dự kiến số tiết dạy: 10 tiết
 4. Hệ thống (Phân loại, bài tập đặc trưng) các dạng bài tập đặc trưng của 
 chuyên đề:
 - Dạng toán 1: Nhận dạng tỉ lệ thức.
 - Dạng toán 2: Tìm một số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức.
 - Dạng toán 3: Tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
 - Dạng toán 4: Tìm ba số chưa biết khi biết dãy tỉ số bằng nhau của chúng và 
 tổng hoặc hiệu của chúng.
 - Dạng toán 5: Tìm các số chưa biết khi biết dãy tỉ số bằng nhau của chúng và 
 một đẳng thức liên hệ giữa các số.
 - Dạng toán 6: Các bài toán về chia tỉ lệ.
 1
 TRƯỜNG THCS TAM HỒNG Hướng dẫn HS giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
 7 21 7 4 2
 a) +Cách 1: : = . = 
 2 4 2 21 3
 14 2
 = Vậy ta có tỉ lệ thức:3,5 : 5,25 = 14 : 21
 21 3
+Cách 2: Xét tích: 3,5. 21 = 73,5
 và 5,25. 14 = 73,5
Vậy ta có thể lập được tỉ lệ thức từ các tỉ số trên.
 2 1 −6 1
 b) + Cách 1: Ta có: = và=
 4 2 −12 2
 Vậy ta có tỉ lệ thức: 2: 4 = -6 :(-12).
+ Cách 2: Ta có: 2. (-12) = -24 và 4.(-6) = -24
Vậy ta có thể lập được tỉ lệ thức từ các tỉ số trên.
*Bài tập 2: Từ các tỉ số sau có lập được tỉ lệ thức không?
 2
a) 15: 25 và 35: 105 b) −7: 4 và 0,9 : (-0,5)
 3
Lời giải:
Làm tương tự bài tập 1.
*Một số bài tập tự luyện:
Bài 1: Từ các tỉ số sau có lập được tỉ lệ thức không?
 8 1 2 1
 a) 4 : 8 và : 16 b) −3 : 7 và −2 : 7 
 10 10 2 5 5
Bài 2: Từ các tỉ số sau có lập được tỉ lệ thức hay không?
 3 2
 a) 6,51 : 15,19 và 6: 14 b) 39 : 52 và 2,1 : 3,5.
 10 5
 6.2. Dạng toán 2: Tìm một số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức.
 Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
 a c b.c a.d a.d 
 Nếu   a.d  b.c  a  ;b  ; c  
 b d d c b
 Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, 
 muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
*Bài tập 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau : 
 2 : x = 4 : 10
 2 4 10.2
 = => 푥 = = 5
 푥 10 4
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn 
như sau :
 3
 TRƯỜNG THCS TAM HỒNG Hướng dẫn HS giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
 Với loại bài tập này khi dạy cho học sinh yếu trước tiên giáo viên cần 
 nhắc lại cho học sinh các kiến thức về nhân một số với một tổng hoặc một 
 hiệu, quy tắc chuyển vế, cộng trừ số nguyên, phân số...
 • Một số bài tập tự luyện tập:
Bài 1: Tìm x, biết:
 5 15 푥 −2 21 푥
 a) = b) = c) =
 푥 2 20 8 25 −35
Bài 2: Tìm x, biết:
 푥 −2 15 푥 푥+2 3
 a) = b) = c) =
 −8 푥 푥 15 27 푥+2
Bài 3: Tìm x, biết:
 푥−1 3−푥 15+푥 푥+10
 a)= b) = 
 3 2 5 3
 6.3. Dạng toán 3: Tìm hai số khi biết tổng(hoặc hiệu) và tỉ số của 
 chúng.
Phương pháp:
 Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
 푥 푦
Tìm các số x, y thoả mãn = (1) và x + y = d (2)
 푎 푏
( trong đó a, b, c, a+b  0 và a, b, d là các số cho trước)
 푥 푦
 + Cách giải 1: Đặt = = 푘 => 푥 = 푎푘; 푦 = 푏푘 thay vào (2)
 푎 푏
 푑
Ta có k.a + k.b = d => k.(a+b) = d. Do đó : 푘 =
 푎+푏
 푎푑 푏푑
Từ đó tìm được: 푥 = ; 푦 =
 푎+푏 푎+푏
+Cách giải 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 푥 푦 푥 + 푦 푑
 = = = 
 푎 푏 푎 + 푏 푎 + 푏
 푎푑 푏푑
Từ đó suy ra: 푥 = ; 푦 = 
 푎+푏 푎+푏
*Bài tập 1: Tìm hai số x, y biết:
 푥 푦 푥 8
a) = và 푥 + 푦 = 30 b)= và 푥 − 푦 = −10
 3 7 푦 9
Lời giải:
 푥 푦 푥+푦 30 
+Cách 1: a) Ta có: = = = = 3
 3 7 3+7 10
Vậy: x = 3.3 = 9; y = 7.3 = 21.
 5
 TRƯỜNG THCS TAM HỒNG Hướng dẫn HS giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
+Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 푥 푦 푧 푥 + 푦 − 푧4
 = = = = = −2
 2 3 7 2 + 3 − 7 −2 
Từ đó suy ra: x = -4; y = -6; z = -14
 푥 푦 푧 
+Cách 2: Đặt = = = 푘 => 푥 = 2푘; 푦 = 3푘; 푧 = 7푘
 2 3 7
Vì x + y – z = 4 nên ta có: 2k + 3k – 7k = 4 => -2k = 4 => k = -2. 
Vậy x = 2.(-2) = -4 ; y = -6 ; z = -14.
 6.5. Dạng toán 5: Tìm các số chưa biết biết dãy tỉ số bằng nhau của 
 chúng và một đẳng thức liên hệ giữa các số.
 Với dạng toán này thì giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy được về dãy tỉ số 
 bằng nhau vẫn được giữ nguyên như dạng toán 3 và dạng toán 4, nhưng về 
 điều kiện đẳng thức liên hệ giữa các số chưa biết thì phần hệ số của các số thì 
 khác 1 hoặc -1. Ta có một số ví dụ sau đây:
 *Bài tập 1: Tìm các số x, y biết:
 푥 푦 푥 푦
 a) = và 2x + y = 14 b) = và - x + 3y = -22
 2 3 4 5
 Lời giải:
 a)
 +Cách 1: Ta thấy hệ số của x trong đẳng thức 2x + y = 14 là bằng 2, do vậy ta 
 biến đổi như sau:
 푥 푦 2푥 푦
 Từ = => = 
 2 3 4 3
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 2푥 푦 2푥 + 푦 14
 = = = = 2
 4 3 4 + 3 7
 Từ đó suy ra: x = 4; y = 6
 푥 푦 
 +Cách 2: Đặt = = 푘 => 푥 = 2푘; 푦 = 3푘
 2 3
 Vì 2x + y = 14 nên ta có: 2.2k + 3k = 14 => 4k + 3k = 14=> 7k = 14 => k = 2 
 Vậy x = 2.2 =4 ; y = 3.2 = 6
 b) Cách giải tương tự như phần a) nhưng nhân 3 đối với y
*Bài tập 2: Tìm các số x, y, z biết:
푥 푦 푧
 = = và 2x + 3y – z = 18
 2 3 4
Lời giải:
 푥 푦 푧 2푥 3푦 푧 
+Cách 1: Từ = = => = = 
 2 3 4 4 9 4
 7
 TRƯỜNG THCS TAM HỒNG Hướng dẫn HS giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
 -Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết.
 -Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện theo đề bài cho.
 -Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết.
 -Bước 4: Kết luận.
Sau đây là một số bài tập minh họa cho dạng toán:
*Bài tập 1. Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của 
tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Trước khi vào lời giải giáo viên cần có câu hỏi nhắc lại công thức tính chu vi của 
một tam giác là gì? Vì những em đó thường không nhớ công thức cũ.
+Lời giải:
 Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm, a, b, c  0 ) 
 Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a + b + c = 22
 a b c
 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có   
 2 4 5
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có
 a b c a  b  c 22 
      2
 2 4 5 2  4  5 11
 Suy ra
 a 
  2  a  4
 2
 b 
  2  b  4
 4
 c 
  2  c  10
 5
 Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Ta thấy trong bài toán trên có 2 điều kiện là “ Chu vi tam giác bằng 22cm” và điều 
kiện “ các cạnh của nó tỉ lệ với các số 2;4 5” có thể thay điều kiện ( 2) như sau : 
biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3. Khi đó ta có được
 c-a=3
Và yêu cầu học sinh giải bài toán đó.
* Bài tập 2: T×m c¸c c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhËt biÕt tØ sè hai c¹nh lµ 2/3 vµ 
chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ 60m.
Giải:
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y (m)
 푥 2
Theo đề bài ta có:= và 푥 + 푦 = 30
 푦 3
 푥 2 푥 푦
Từ = => = 
 푦 3 2 3
 9
 TRƯỜNG THCS TAM HỒNG