Chuyên đề Bất đẳng thức

 Chương 2
 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lí luận:
2.1.1. Định nghĩa bất đẳng thức: 
 Bất đẳng thức là hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b), a gọi là vế 
trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức. 
 Ta có: a > b  a - b > 0 
 a < b  a - b < 0
 a ≥ b  a - b ≥ 0 
 a ≤ b  a - b ≤ 0
2.1.2. Các tính chất của bất đẳng thức: 
 - Nếu a > b thì b < a
 - Nếu a > b và b > c thì a > c 
 - Nếu a > b thì a + c > b + c
 - Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
 - Nếu a > b và c b - d 
 - Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc 
 - Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc 
 - Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd
 - Nếu a > b > 0 thì an > bn (nN) 
 - Nếu a > b thì a2n+1 > b2n+1 (nN) 
 1 1
 - Nếu a > b và ab > 0 thì  
 a b
 - Nếu m > n > 0 thì:
 a > 1  am > an
 a = 1  am = an
 0 < a < 1  am < an
 1 2.1.4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức: 
 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D.
 - Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều 
kiện sau đồng thời được thoả mãn:
 + f(x)  M với  x  D
 + Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = M. 
 Kí hiệu: max f(x) = M
 - Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu hai điều 
kiện sau đồng thời được thoả mãn:
 + f(x)  m với  x  D
 + Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m. 
 Kí hiệu: min f(x) = m
2.1.5. Các bước giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức:
 Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức f(x)  m (hoặc f(x)  M) với x  D.
 Bước 2: Chỉ ra giá trị x0  D để f(x0) = m (hoặc f(x0) = M).
 Bước 3: Kết luận. 
Chú ý: Nếu chỉ chứng minh được f(x)  m hoặc f(x)  M thì chưa đủ để kết luận 
về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. 
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 
*Cách giải sai: 
Ta có: (x - 1)2  0 (1)
 (x - 3)2  0 (2)
 A  0 nhưng không thể kết luận được min A = 0 vì dấu “=” không xảy ra 
đồng thời ở hai bất đẳng thức (1) và (2).
*Cách giải đúng:
 Ta có: f(x) = x2 - 2x + 1 + x2 - 6x + 9 = 2(x2 - 4x + 2 ) = 2(x - 2)2 + 2  2
Vậy min A = 2  x - 2 = 0  x = 2
 3 2(a2 + b2) - (a + b)2 = 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ≥ 0
Do đó: 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 hay (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
* Dùng phép biến đổi tương đương:
 Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng 
thức đúng. 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
Giải: Ta có: (a + b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
  a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 0
  2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
  (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) ≥ 0
  (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (hiển nhiên)
Vậy (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a 2  b2  c2  d 2  (a  c)2  (b  d)2 (1)
Giải: 
Ta có: 
 a 2  b2  c2  d2  (a  c)2  (b  d)2
  a 2  b2  2 (a 2  b2 )(c2  d2 )  c2  d2  (a  c)2  (b  d)2
  (a 2  b2 )(c2  d2 )  ac  bd (2)
Nếu ac + bd < 0 thì (2) luôn đúng.
Nếu ac + bd ≥ 0 thì: 
 (2)  (a 2  b2 )(c2  d2 )  a 2c2  b2d2  2acbd
  a 2c2  a 2d2  b2c2  b2d2  a 2c2  b2d2  2acbd
  a 2d2  b2c2  2.ad.bc  0
  (ad  bc)2  0 (hiển nhiên)
Vậy a 2  b2  c2  d 2  (a  c)2  (b  d)2
 5 1 1 1
Nhân hai vế của bất đẳng thức x + y + z ≤ 6 với    0 , ta được: 
 x y z
  1 1 1   1 1 1 
 (x + y + z)     6   
  x y z   x y z 
  x y   y x   x z   1 1 1 
  3              6   
  y x   z y   z x   x y z 
  x y   y x   x z 
Vì x, y, z > 0 nên     2 ;     2 ;     2
  y x   z y   z x 
  1 1 1 
Do đó: 6    ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
  x y z 
 1 1 1 3
Vậy   
 x y z 2
Ví dụ 3: Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)
 Chứng minh rằng: a + b + c ≤ 2 ab  bc  ca 
Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)
  a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≤ 0
  a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca ≤ 4ab
  (a + b - c)2 ≤ 4ab  a + b - c ≤ 2 ab
Tương tự: b + c - a ≤ 2bc ; c + a - b ≤ 2 ca
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 
 a + b + c ≤ 2 ab  bc  ca 
* Dùng các bất đẳng thức cơ bản:
 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức 
Bu-nhi-a-côp-xki, ... để biến đổi và suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a + b + c ≥ ab  bc  ca
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a + b ≥ 2ab 
 b + c ≥ 2bc 
 7 * Phương pháp phản chứng:
 Giả sử cần phải chứng minh một bất đẳng thức nào đó là đúng, ta hãy giả 
sử bất đẳng thức đó sai rồi vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài 
để suy ra điều vô lí (trái với giả thiết, mâu thuẫn với nhau). Từ đó suy ra bất 
đẳng thức cần chứng minh là đúng.
 a  b  c  0
 
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c thoả mãn: ab  bc  ca  0 
 
 abc  0
 Chứng minh rằng: a > 0, b > 0, c > 0. 
Giải:
Giả sử a  0.
 + Nếu a = 0 thì abc = 0. Vô lí!
 + Nếu a < 0:
 Từ abc > 0  bc 0  ab + ac > 0 
  a(b + c) > 0
 Mà a < 0  b + c < 0
 Do đó: a + b + c 0!
Vậy a > 0.
Chứng minh tương tự ta có: b > 0, c > 0. 
Ví dụ 2: Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng 
thức sau là sai: 
 1 1 1
 a1 b ; b1 c ; c1 a 
 4 4 4
Giải:
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng.
 1 1 1
Ta có: a1 b ; b1 c ; c1 a 
 4 4 4
 1
  a1 b b1 c c1 a  (1)
 64
 9 Bài 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
 ab bc ca
 a)    a  b  c
 c a b
 a 2 b2 c2
 b)    a  b  c
 b c a
 a3 b3 c3
 c)    ab  bc  ca
 b c a
 a 2 b2 c2 a b c
 d)     
 b2 c2 a 2 b c a
Giải:
 ab bc ab bc
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:   2 .  2b
 c a c a
 bc ca bc ca
   2 .  2c
 a b a b
 ab ca ab ca
   2 .  2a
 c b c b
 ab bc ca
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:    a  b  c
 c a b
 a 2 a 2
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  b  2 .b  2a
 b b
 b2 b2
  c  2 .c  2b
 c c
 c2 c2
  a  2 .a  2c
 a a
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
    a  b  c  2(a  b  c) hay    a  b  c 
 b c a b c a
 a3 a3
c) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  ab  2 .ab  2a 2
 b b
 b3 b3
  bc  2 .bc  2b2
 c c
 c3 c3
  ca  2 .ca  2c2
 a a
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 
 11 Tương tự: b2c + b2a ≥ 2b2 ca ; c2a + c2b ≥ 2c2 ab
Do đó: ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 2(a2 bc  b2 ca  c2 ab )
Mặt khác: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ; b3 + c3 ≥ bc(b + c) ; c3 + a3 ≥ ca(c + a)
  2(a3 + b3 + c3) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
Vậy a3  b3  c3  a 2 bc  b2 ca  c2 ab
c) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
 (a  b  c)2  a 2  b2  c2  2ab  2bc  2ca
 ab  bc bc  ca ca  ab
  (a2  bc)  (b2  ca)  (c2  ab)    
 2 2 2
  2a bc  2b ca  2c ab  b ca  c ab  a bc  3(a bc  b ca  c ab)
 1
Vậy a bc  b ca  c ab  (a  b  c)2
 3
Bài 4: Cho a, b  1. Chứng minh rằng: a b 1  b a 1  ab
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
 a.(b 11) ab
 a b 1  a (b 1).1  
 2 2
 ab
Tương tự: b a 1 
 2
 ab ab
Do đó: a b 1  b a 1    ab
 2 2
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
 a b c 3
 a)   
 1 a 2 1 b2 1 c2 2
 1 1 1 a  b  c
 b)   
 a 2  bc b2  ca c2  ab 2abc
Giải:
 a 1
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 a 2  2 1.a 2  2a 
 1 a 2 2
 b 1 c 1
Tương tự:  ;  
 1 b2 2 1 c2 2
 13