Báo cáo biện pháp Ứng dụng của tam thức bậc hai để giải một lớp phương trình vô tỷ

Phòng Giáo dục&Đào tạo Thành phố Vinh 
Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
Sáng kiến kinh nghiệm: 
 ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI 
ĐỂ GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH 
VÔ TỶ 
Môn: Toán học 
Nhóm tác giả: Hồ Thị Thúy Vinh 
 Ngô Quốc Chung 
 Tổ: Toán – Tin 
Vinh, tháng 3 năm 2020 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 2 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Bài toán phương trình vô tỷ và hệ phương trình vô tỷ thường xuất hiện trong các 
kỳ thi Toán của THCS, đặc biệt là các kỳ thi HSG, kỳ thi tuyển sinh vào lớp Chuyên 
toán và bài toán này thường là bài toán khó trong đề bài. Quá trình nghiên cứu về tam 
thức bậc hai chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng công thức nghiệm giải phương trình 
bậc hai để giải một lớp bài toán phương trình vô tỷ. Trong bài viết này chúng tôi sẽ 
trình bày phương pháp của mình với các ý tưởng đó. 
Có thể nói bài toán phương trình bậc hai có tầm quan trọng vô cùng lớn đối với 
chương trình Toán của THCS và THPT. Tam thức bậc hai có rất nhiều ứng dụng và 
đặc biệt nó là một trong số rất ít phương trình đa thức có công thức nghiệm. Trong quá 
trình nghiên cứu về phương trình vô tỷ chúng tôi đã phát hiện ra lớp phương trình dạng: 
( ) . ( ) ( ) ( ) 0af x b h x f x g x mà nếu vận dụng khéo léo công thức nghiệm của 
phương trình bậc 2 thì việc giải nó khá đẹp và mạch lạc. Bởi vậy chúng tôi lựa chọn 
đề tài “Ứng dụng của tam thức bậc hai để giải một lớp phương trình vô tỷ”. Chúng 
tôi sẽ tập trung vào khai thác các công cụ về căn thức, về công thức nghiệm của phương 
trình bậc hai để giải một lớp bài Toán phương trình vô tỷ. Các kiến thức được sử dụng 
trong phương pháp này khá quen thuộc đối với học sinh THCS. Các bài Toán phương 
trình vô tỷ chúng tôi đưa ra có thể đã được giải bằng phương pháp khác hoặc chưa có 
lời giải nhưng bằng cách vận dụng phương pháp bài viết đưa ra, sẽ có một lời giải đẹp 
đẽ và rõ ràng. Cụ thể chúng tôi đưa ra phương pháp ẩn phụ hóa căn thức để tạo thành 
một phương trình bậc hai với ẩn mới và chuyển các biểu thức chứa x thành tham số, từ 
đó chúng tôi sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để đưa về dạng 
phương trình căn thức quen thuộc để tìm nghiệm. Phương pháp này được gọi là 
“Phương pháp ẩn phụ một phần”, nghĩa là chúng tôi chỉ chuyển phần căn thức sang 
ẩn phụ còn các số hạng còn lại xem như là hằng số. 
Trong thực tế giảng dạy cho học sinh khá giỏi, các em tiếp thu khá tốt phương 
pháp này, từ đó có thể giải quyết nhiều bài toán tương tự, đặc biệt là các bài toán thi 
HSG cấp THCS. Quá trình tiếp thu phương pháp học sinh nhận thấy, việc vận dụng 
các kiến thức của căn thức và công thức nghiệm phương trình bậc hai nếu khéo léo sẽ 
cho hiệu quả giải Toán rất cao. Các công thức sử dụng hoàn toàn quen thuộc trong nội 
dung chương trình Toán của THCS. 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 3 
Trong khuôn khổ bài viết này, năng lực có hạn, thời gian hạn chế nên chúng tôi 
chỉ mới trình bày được lớp phương trình vô tỷ đã nêu trên. Hy vọng sắp tới khi tập 
trung hơn chúng tôi sẽ mở rộng phương pháp lên cho lớp phương trình chứa nhiều căn 
thức, và các phương trình căn bậc cao hơn. Chúng tôi cũng nghĩ rằng phương pháp này 
có khả năng giải quyết được một lớp phương trình vô tỷ, đó cũng sẽ là một trong những 
vấn đề mà chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu. 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 4 
II. NỘI DUNG: 
1. Cơ sở lý thuyết: 
1.1 Công thức nghiệm phương trình bậc 2 
Cho phương trình bậc hai 2 0ax bx c (a,b,c là các hằng số và a khác 0). Khi đó 
biệt số 2 4b ac , 
- Nếu >0 thì phương trình luôn có hai nghiệm 
1
2
2
2
bx
a
bx
a
. 
- Nếu =0 thì phương trình có một nghiệm x=-
2
b
a
. 
- Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm. 
Chú ý: Ở đây ta có thể sử dụng '2' b ac . Khi đó công thức nghiệm là: 
1
2
'
'
bx
a
bx
a
1.2 Một số phương trình căn thức cơ bản 
a. Dạng 1: 2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
b. Dạng 2: 
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
1.3 Phương pháp tham số hóa phương trình bậc 2 cho căn thức 
Bài toán: 
Giải phương trình ( ) . ( ) ( ) ( ) 0af x b h x f x g x (a, b là các hằng số, a 0). 
Phương pháp ẩn phụ một phần: Ta đặt ( )t f x . Ta được một phương trình bậc 
hai ẩn t: 
2 . ( ) ( ) 0at b h x t g x 
Xem b.h(x), ( )g x là các hệ số b, c của phương trình bậc hai với ẩn là t. Sau đó ta sẽ 
dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tính t theo các hệ số đó ta được 
phương trình t= u( )x ( ) u( )f x x là các dạng quen thuộc ở mục 1.2. 
Từ đó ta tìm được x. 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 5 
2. Bài tập áp dụng. 
Bài toán 1: Giải phương trình: 2 14 8 2 3x xx (1) 
Lời giải: 
Điều kiện 3
2
x . 
Ta có: (1) 22 3 62 3 24x x xx 0 
Đặt t= 2 3x (t 0). Khi đó: 
 (1) 2 2 6 2 04 xxt t (1’) 
2 2' 1 4 4 6 2 (4 3)x x x 
 (1’) 
2 2
2 1
t x
t x
2 3 2 2
2 3 2 1
x x
x x
Với 2 3 2 2x x 2
1
2 3 ( 2 2)
x
x x
 2
1
4 10 1 0
x
x x
1
5 21
4
5 21
4
x
x
x
5 21
4
x 
Với 2 3 2 1x x
2
1
2
2 3 (2 1)
x
x x
2
1
2
2 3 1 0
x
x x
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 6 
1
2
3 17
4
3 17
4
x
x
x
3 17
4
x 
Thử lại ta được các nghiệm của phương trình là: 3 17 5 21;
4 4
x x 
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp khử căn, hoặc phân tích thành nhân 
tử nhưng sẽ không cho lời giải ngắn gọn như phương pháp trên. 
Bài toán 2: (Trích đề thi HSG Huyện Yên Thành 2010 – 2011) Giải phương trình: 
2 9 20 2 3 10x x x (2) 
Lời giải: Điều kiện 10
3
x . 
(2) 23 10 2 3 10 6 10 0x x x x 
Đặt t= 3 10x ( t 0). Khi đó: 
(2) 2 22 6 10 0t t x x (2’) 
Ta có: = 2 6 9x x = - 2( 3)x 0, để phương trình (2’) có nghiệm thì: 
 = 0 2( 3)x =0 x=-3. 
Thử lại vào phương trình (2) thấy thỏa mãn. Suy ra x=-3 là nghiệm cần tìm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -3. 
Bài toán 3: (Đề thi HSG huyện Yên Thành 2011-2012) Giải phương trình: 
2 2 4 2 2 1x x x (3) 
Lời giải: 
Điều kiện căn thức có nghĩa: 1
2
x 
Khi đó: (3) 22 1 2 2 1 4 5 0x x x x 
Đặt t= 2 1x (t 0). Ta được: 
(3) 2 22 4 5 0t t x x (3’) 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 7 
Ta có: = 2 4 4x x = - 2( 2)x 0, để phương trình (3’) có nghiệm thì: 
= 0 2( 2)x =0 x=2. 
Thay x=2 vào phương trình (3) không thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Nhận xét: Ở Bài toán 2 và Bài toán 3 áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ cho căn thức ta được 
một phương trình bậc hai có 0 x, nên phương trình chỉ có nghiệm nếu = 0. Giải 
phương trình =0 ta tìm được nghiệm khá đơn giản, kết hợp với điều kiện ban đầu ta có 
ngay nghiệm cần tìm.. 
Bài toán 4: (Olympic 30/4/2013) Giải phương trình: 
23 8 48 24x x x x (4) 
Lời giải: 
Điều kiện 2 8 48 0x x 12 4x 
2
2 2 2
(4) 2 3 8 48 2 48 0
8 48 2 3 8 48 6 0
x x x x
x x x x x x x
Đặt 2 8 48t x x 0t . Ta có: 
2 22 3 6 0t x t x x 
2 2 3 3' 3 6 9
3 3 6
t x x
x x x
t x x
+ Với 2 8 48t x x x x 
 2 2
0
8 48
x
x x x
 2
0
2 8 48 0
x
x x
0
2 2 7 2 2 7
2 2 7
x
x x
x
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 8 
+Với 26 8 48 6t x x x x 
 2 2
6
8 48 ( 6)
x
x x x
 2
6
2 20 12 0
x
x x
6
5 31 5 31
5 31
x
x x
x
Thử lại thấy 5 31x và 2 2 7x là nghiệm của phương trình. 
Bài toán 5: (Đề thi HSG thành phố HCM năm 2013) Giải phương trình: 
 2 8 3 1 22 7 0x x x x (5) 
Lời giải: 
Điều kiện 1x . 
2
2
(5) 2 3 16 16 22 7 0
16 16 2 3 16 16 6 9 0
x x x x
x x x x x
Đặt t= 2 1x ( t 0). Ta được: 
2 22 3 6 9 0t x t x x (5’) 
Ta có: = 2 2( 3) ( 6 9)x x x = 0, vậy phương trình (5’) có nghiệm duy nhất là: 
 3t x 
2
3
16 16 3
16 16 6 9
x
x x
x x x
5x 
Thử lại ta thấy x=5 là nghiệm của phương trình. 
Bài toán 6: (TSĐH Khối B năm 2006) Giải phương trình: 
22 1 3 1 0x x x (6) 
Lời giải: 
Điều kiện 1
2
x . 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 9 
2
2
(6) 2 1 3 1 0
2 1 2 1 0
x x x
x x x x
Đặt 12 1 0,
2
t x t x . Ta được: 
2 2 0t t x x 
Ta có: 22 21 4 2 1x x x 
2 11
2
2 11 1
2
xt x
xt x
Với 2 1t x x x 
 2
0
2 1
x
x x
 1x 
Với 1 2 1 1t x x x 
 2
1
2 1 ( 1)
x
x x
 2
1
4 2 0
x
x x
1
2 2
2 2
x
x
x
2 2
2 2
x
x
Thử lại thấy 2 2x và 1x là nghiệm của phương trình. 
Nhận xét: Ở Bài toán này việc nhân -1 vào cả hai vế là cần thiết, từ đó khi tính giá trị của 
cho ta một bình phương của nhị thức bậc nhất. Cho nên việc chọn hệ số a sau khi đặt ẩn 
phụ là hết sức cần thiết, ta cần phải chọn khéo léo để là một bình phương của nhị thức 
bậc nhất. Từ đó việc tìm nghiệm khá đơn giản. 
Bài toán 7: (Toán học và Tuổi trẻ số 420) Giải phương trình: 
 24 14 11 4 6 10x x x (7) 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 10 
Lời giải: 
Điều kiện 5
3
x . 
2 2(7) 4 6 10 4 14 11 0 6 10 4 6 10 4 20 21 0x x x x x x x 
Đặt 6 10 0t x t . Ta có: 
2 2
22
4 4 20 21 0
' 4 4 20 21 2 5
2 2 5 2 3
2 2 5 2 7
t t x x
x x x
t x x
t x x
Với 2 3 6 10 2 3t x x x 
2
5
3
6 10 2 3
x
x x
2
5
3
4 6 1 0
x
x x
5
3
3 133 13
44
3 13
4
x
xx
x
Với 2 7 6 10 2 7t x x x 
2
7
2
6 10 2 7
x
x x
2
7
2
4 22 39 0
x
x x
 Vô nghiệm 
Vậy nghiệm của phương trình là: 13 3
4
x 
Bài toán 8: (HSG TP Vinh 2014-2015) Giải phương trình: 
2 2 2 2 1x x x (8) 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 11 
Lời giải: 
Điều kiện 1
2
x . 
 (8) 22 1 2 2 1 1 0x x x 
Đặt 2 1 0t x t . Ta có: 
2 2
2 2
2 1 0
' 1 1
1
1
t t x
x x
t x
t x
 
Với 1 2 1 1t x x x 
 2
1
2 1 1
x
x x
1
2 2 2 2
2 2
x
x x
x
Với 1 2 1 1t x x x 
2
1
2 1 1
x
x x
2
1
2 0
x
VN
x
Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2x 
Bài toán 9: Giải phương trình: 
2 2(4 1) 1 4 4 1x x x x (9) 
Lời giải: 
Phương trình luôn xác định với mọi x  . Khi đó: 
(9) 2 2 2(4 1) 1 8 8 2x x x x 
 2 2 21 2(4 1) 1 7 8 1 0x x x x x 
Đặt 2 1 1t x t . Ta có: 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 12 
2 2
2 2 2
2(4 1) 7 8 1 0
' (4 1) (7 8 1) 9
t x t x x
x x x x
1
7 1
t x
t x
Với 21 1 1t x x x 
 22
1
1 1
x
x x
1
0
x
x
Vô nghiệm 
Với 27 1 1 7 1t x x x 
22
1
7
1 7 1
x
x x
2
1
7
48 14 0
x
x x
1
7
70
24
7
24
x
xx
x
Thử lại thấy 7
24
x là nghiệm của phương trình. 
Bài toán 10: (HSG Thanh Chương 2019-2020) Giải phương trình: 
24 2 1 18 28x x x (10) 
Lời giải: 
Điều kiện 1
2
x . Ta có: 
2
2
10 4 4 2 1 18 28
2 1 4 2 1 4 20 29 0
x x x
x x x x
Đặt 2 1 0t x t . Ta có: 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 13 
2 210 4 4 20 29 0t t x x (10’) 
 2 2' 4 (4 20 29) (2 5)x x x 0 
Vậy phương trình (13’) có nghiệm t chỉ khi 2(2 5) 0x 5
2
x 
Thử lại thấy 5
2
x là nghiệm của phương trình (13). 
Bài toán 11: Giải phương trình: 
2 2 34 2 1 3 2 2 1 2 5x x x x x x (11) 
Lời giải: 
Điều kiện 1
2
x . 
Ta có: 211 3 2 2 1 2 2 4 2 0x x x x x x 
 22 3 2 1 2 4 2 0x x x x x 
2
2
3 2 1 2 4 2 0 (*)
x
x x x x
Bây giờ ta sẽ giải (*) 
 23 2 1 2 4 2 0x x x x 
 22(2 1) 3 2 1 2 0x x x x 
Đặt 2 1 0t x t . Ta được: 
 2 22 3 2 0t xt x 
 2 2 2' 9 16 25x x x 
2
2
xt
t x
2 1
2
2 1 2
xx
x x
 Với 2 1x x 2
0
2 1
x
x x 2
0
1 0
x
x
Vô nghiệm 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 14 
Với 2 1 2x x 2
0
2 1 4
x
x x 2
0
4 2 1 0
x
x x
Vô nghiệm 
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất 2x . 
Bài toán 12: Giải phương trình: 
2 5 8 2 2x x x (12) 
Lời giải: 
Điều kiện của phương trình: 2x 
2(12) 4 8 2 2 0x x x x 
 24 2 2 2 0x x x x 
Đặt 2t x 0t . Khi đó phương trình trở thành: 
2 24 2 0t t x x 
22' 1 4 2 1 0x x x 
1 2 1 2 1
4 4 2
1 2 1 2 2 1 1
4 4 2
x xt x
x xt x
Với 1
2
t x , do 10 0 0
2
t x x không thỏa mãn điều kiện. 
Với 1 1
2
t x 12 1
2
x x 
212 2 1
4
x x x 
2 6 9 0x x 
23 0 3x x (Thỏa mãn điều kiện) 
Vậy phương trình (12) có 1 nghiệm 3x . 
Bài toán 13: (HSG Thanh Chương 2013-2014) Giải phương trình: 
2 24 1 1 2 2 2x x x x (13) 
Lời giải: 
Phương trình luôn xác định với mọi x  . Khi đó: 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 15 
2 213 2 1 4 1 1 2 0x x x x 
Đặt 2 1 0t x t . Khi đó pt trở thành: 
22 4 1 2 0t x t x 
22 216 8 1 16 16 8 1 4 1 0x x x x x x 
4 1 4 1 1 (loai)
4 2
4 1 4 1 2
2
x xt
x xt x
2t x 2 1 2x x 
2 2
0
1 4
x
x x 2
0
3 1
x
x
2
0
1
3
x
x
3
3
x 
Vậy phương trình (13) có một nghiệm là: 3
3
x . 
Bài toán 14: (HSG Nghi Lộc 2013-2014) Giải phương trình: 
2 5 14 4 1x x x (14) 
Lời giải: 
Điều kiện của phương trình: 1x 
214 1 4 1 6 13 0x x x x 
Đặt 1 0t x t . Khi đó phương trình trở thành: 
 2 24 6 13 0t t x x (14’) 
22 2' 4 6 13 6 9 3 0x x x x x 
Với ' 0 3x thì phương trình vô nghiệm. 
Với ' 0 3x thì pt (14’) có nghiệm kép: 
1 2
2
2
1
t t 
 1 2 1 4 3x x x 
Thử vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy phương trình (14) có một nghiệm 3x . 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 16 
Bài toán 15: Giải phương trình 
2 28 3 6 4 3 2x x x x x (15) 
Lời giải: 
Phương trình luôn xác định với mọi x  . Khi đó: 
2 2 215 (3 2) 4 3 2 (5 4 4) 0x x x x x x x 
Đặt 23 2 0t x x t . Khi đó phương trình trở thành: 
2 24 (5 4 4) 0t xt x x (15’) 
 2 2 2' 4 5 4 4 ( 2)x x x x 
Với ' 0 phương trình vô nghiệm. 
Với ' 0 phương trình có nghiệm kép 
1 2 2t t x 
23 2 2x x x (thỏa mãn điều kiện) 
 2
0
2
2 0
x
x
x x
Thử vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2. 
Bài toán 16: (Đề thi GV giỏi THPT cụm Vinh 2018-2019) Giải phương trình 
23 9 4 6 10
4 3
x x
x
 (16) 
Lời giải: 
Điều kiện x 4
3
, x 4. Khi đó: 
(16) 23 (4 3 )9 4 (4 3 )(6 10)x x x x 
 24 (4 3 ) 4 2 5 3 0x x x x x 
Đặt 4 0t x t . Khi đó phương trình trở thành: 
2 2(4 3 ) (2 5 3) 0t x t x x (16’) 
 2 2 2(4 3 ) 4(2 5 3) ( 2)x x x x 
4 3 ( 2) 2 3
2
4 3 ( 2) 1
2
x xt x
x xt x
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 17 
Với 2 3t x 4 2 3x x
2
3
2
4 ( 2 3)
x
x x
2
3
2
4 ( 2 3)
x
x x 2
3
2
4 11 5 0
x
x x
11 41
8
x 
Với 2 3t x 4 1x x 2
1
4 ( 1)
x
x x
2
1
4 ( 1)
x
x x 2
1
3 0
x
x x
1 13
2
x 
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có hai nghiệm là: 
11 41
8
x ; 1 13
2
x 
Bài toán 17: Giải phương trình 
2 212 ( 3) 10x x x x (17) 
Lời giải: 
Điều kiện - 10 x 10 . Khi đó: 
(17) 2 210 ( 3) 10 2 0x x x x 
 Đặt 210 0t x t . Khi đó phương trình trở thành: 
2 ( 3) 2 0t x t x (17’) 
 2 2( 3) 4( 2) ( 1)x x x 
( 3) ( 1) 2
2
( 3) ( 1) 1 (loai)
2
x xt x
x xt
Với 2t x 210 2x x 2 2
2
10 ( 2)
x
x x
 2
2
2 4 6 0
x
x x
3x 
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm là: x= -3 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 18 
Bài toán 18: Giải phương trình 
22 2 4 4 2 9 16x x x (18) 
Lời giải: 
Điều kiện -2 x 2. Khi đó: 
(17) 2 2 2(2 2 4 4 2 ) ( 9 16)x x x 
 2 29 8 32 8 32 8 0x x x 
2 2 232 8 8 32 8 8 0x x x x 
Đặt 232 8 0t x t . Khi đó phương trình trở thành: 
2 28 8 0t t x x (18’) 
 2 2 2' 4 ( 8 ) ( 4)x x x 
4 ( 4) 8
1
4 ( 4)
1
xt x
xt x
Với 8t x 232 8 8x x 2 2
8
32 8 ( 8)
x
x x
 2
8
9 16 32 0
x
x x
Vô nghiệm 
Với t x 232 8x x 2 2
0
32 8
x
x x
 2
8
9 32 0
x
x
4 2
3
x 
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là: 4 2
3
x 
Trên đây chúng tôi đã đưa ra phương pháp “Đặt ẩn phụ một phần” để giải một 
lớp phương trình vô tỷ đồng thời trình bày và giải một hệ thống các Bài tập áp 
dụng bao gồm các bài Toán thường gặp trong các đề thi HSG của THCS. Ngoài 
ra với phương pháp này chúng tôi còn có thể giải quyết được một số Bài toán 
trong kỳ thi HSG THPT, đề thi tuyển sinh Đại học. Các bài Toán được giải chi 
tiết và rõ ràng theo Phương pháp mà chúng tôi đã đặt vấn đề ban đầu. Với cách 
vận dụng tương tự chúng tôi đề xuất một số Bài tập sau đây. 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 19 
3. Các bài tập đề xuất: 
Bài toán 19: Giải phương trình 2 2 2x x 
Bài toán 20: Giải phương trình: 21 2 3 x x x 
Bài toán 21: Giải phương trình : 2 2 1 16 2x x x 
Bài toán 22: (TS trường Chuyên Phan Bội Châu năm 2000-2001) Giải phương trình: 
2 42 8 6
2
xx x 
Bài toán 23: (Đề thi vào lớp 10 trường THPT Lê Hồng Phong, TP. HCM năm 2001-
2002) Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x 
Bài toán 24: (Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2006 - 2007) Giải phương trình: 
 3 2 22 7 11 25 12 6 1x x x x x 
Bài toán 25: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm Nghệ An 2003-2004) Giải phương trình: 
 2 22 6 12 7 0x x x x 
Bài toán 26: (Trích ở phần khám phá của TTT2 số 14 trang 10) Giải phương trình: 
2 2 2x x 
Bài toán 27: (Đề thi vào lớp 10 trường THPT Lê Hồng Phong, TP. HCM năm 2001-
2002) Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x 
Bài toán 28: (Đề thi thử vào lớp 10 THPT năm 2016-2017) Giải phương trình: 
 22 7 2 7 9 7x x x x 
Bài toán 29: (Nâng cao và phát triển Toán 9) Giải phương trình: 
2 4 8 1x x x 
Bài toán 30: Giải phương trình: 2 23 2 2 1x x x x x 
Bài toán 31: Giải phương trình: 2 23 6 4 3 6 0x x x x 
Bài toán 32: Giải phương trình: 2 24 4 4 4 1x x x x 
Bài toán 33: Giải phương trình: 2 4 10 3 2 6 0x x x x 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 20 
III. Kết luận: 
 Trong thực tế giảng dạy, khi trình bày phương pháp này cho các đối tượng là học 
sinh khá giỏi các em tiếp thu khá tốt và hứng thú, từ đó các em tự mình giải quyết được 
các lớp bài toán tương tự. Trong nhiều khóa tham gia bồi dưỡng Học sinh giỏi, khi đưa 
chuyên đề này vào các em đều nhận thấy ưu điểm vượt trội của phương pháp sử dụng 
phương pháp “Đặt ẩn phụ một phần”. Các bài toán này có thể đã có những lời giải 
bằng phương pháp khác, nhưng sẽ rất phức tạp, hoặc phương pháp thông thường sẽ 
không thể giải quyết được nên chúng tôi sẽ dùng phương pháp “Đặt ẩn phụ một phần” 
để giải quyết nó một cách khá đẹp đẽ và rõ ràng. Chúng tôi kết hợp các ưu thế của công 
thức nghiệm phương trình bậc 2 và các biến đổi căn thức thông thường để nhằm minh 
bạch hóa các phép toán phức tạp, nhờ đó sẽ giảm thiểu khó khăn trong giải các Bài 
toán. 
 Phương pháp trình bày trong đề tài là mới, đề tài này bổ ích trong việc bồi dưỡng 
học sinh khá, giỏi về Toán. Đặc biệt giúp cho các học sinh yêu Toán có một cách liên 
hệ giữa các nội dung Toán học khác nhau bổ trợ nhau trong quá trình giải Toán. 
 Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế, môi trường áp dụng chưa rộng nên chúng tôi 
chỉ mới dừng lại trên các bài toán đơn căn bậc hai. Với ý tưởng trên sắp tới chúng tôi 
sẽ nghiên cứu để áp dụng phương pháp này cho các phương trình vô tỷ căn bậc cao 
hoặc phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức. 
 Trên đây là toàn bộ nội dung của Đề tài, chúng tôi rất mong nhận được đóng góp 
ý kiến của Hội đồng khoa học để hoàn thiện hơn nữa nội dung, cũng như giúp đỡ chúng 
tôi tiếp tục phát triển Đề tài mới. 
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! 
Vinh, ngày 29 tháng 3 năm 2020 
Nhóm tác giả: Hồ Thị Thúy Vinh, Ngô Quốc Chung 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 21 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Sách giáo khoa Toán 8, 9, GS Phan Đức Chính tổng chủ biên – NXB Giáo dục. 
[2] Toán nâng cao Đại số 9, Phan Huy Khải – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
[3] Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ – NXB Giáo dục. 
[4] Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen với nghiên cứu Toán học, GS Nguyễn 
Cảnh Toàn - NXB Giáo dục. 
[5] Toán nâng cao và các chuyên đề, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ 
Dương Thụy- NXB Giáo dục. 
Hồ Thị Thúy Vinh – Ngô Quốc Chung Trường PT Hermann Gmeiner Vinh 
 22 
MỤC LỤC 
I. Đặt vấn đề ------------------------------------------------------------------------------------------ 2 
II. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------- 3 
1. Cơ sở lý thuyết -------------------------------------------------------------------- 3 
2. Các bài tập áp dụng -------------------------------------