Tóm tắt Chuyên đề Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán

 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
Mục lục 1
1.Tóm tắt đề tài 2
2. Giới thiệu 3
2.1. Lí do chọn đề tài 3
2.2. Giải pháp thay thế 3
2.3.Vấn đề nghiên cứu 3
2.4. Giả thuyết nghiên cứu 3
3. Phương pháp 3
3.1. Khách thể nghiên cứu 4
3.2. Thiết kế nghiên cứu 4
3.3. Quy trình nghiên cứu 4
3.3.1. Giai đoạn 1 4
3.3.2 .Giai đoạn 2 21
3.4. Đo lường 21
4. Kết quả 21
5. Bàn luận 22
6. Kết luận – Khuyến nghị 22
7. Tài liệu tham khảo 23
8. Kế hoạch dạy thực nghiệm. “Sử dụng biệt thức Delta vào giải 23
một số dạng toán”.
 1 Trong chương trình toán 9, xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến tam 
 thức bậc hai có dạng:
 - Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số
 - Giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên.
 - Chứng minh bất đẳng thưc.
 - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị hàm số
 Đây là một nội dung khó đối với chương trình toán 9. Khi giải bài tập 
 dạng này học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc dẫn đến không hứng thú, bởi 
 vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp. Mặt khác công cụ giải các 
 bài toán trên còn nhiều hạn chế. Không vì thế mà giáo viên xem nhẹ các dạng 
 này mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào để các em không 
 ngại. Chính vì vậy, giáo viên cần đưa các em từ những bài toán đơn giản đến 
 phức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp.
 Trong chương trình toán THCS có nhiều dạng bài tập liên quan đến sử 
 dụng biệt thức delta , xong tôi chỉ đưa vào đây một số bài tập điển hình. Tôi nghĩ 
 trong quá trình giảng dạy vận dụng biệt thức Delta thì chất lượng học sinh sẽ tốt 
 hơn rất nhiều.
 2.2. Giải pháp thay thế:
 Để Giáo viên cũng như học sinh nắm được các dạng toán và biết thêm 
 nhiều bài tập “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”. 
 Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản 
 nhất của các cách “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”.
 Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý 
 thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng 
 dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống.
 Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau.
 2.3.Vấn đề nghiên cứu.
 Từ việc nghiên cứu vấn đề, giúp bản thân phát hiện ra những phương pháp 
 hay và có hiệu quả nhất để vận dụng vào quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, 
 nhằm đạt kết quả cao hơn.
 2.4. Giải thuyết nghiên cứu 
 Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng biệt 
 thức Delta. Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số bài tập thuộc 
 các dạng sau.
- Giải các phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số.
- Giải phương trình nghiệm nguyên.
- Chứng minh bất đẳng thức.
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị
 3 + GV hướng dẫn học sinh đưa phương trình trên về dạng phương trình bậc hai có 
ẩn là y.
Cách 2: Sử dụng biệt thức Delta
 Tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm
 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0
  5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + 1 = 0 (2)
(2) là phương trình bậc hai ẩn y và có:
 ∆’ = (3x + 1)2 – 5(2x2 + 2x + 1)
 = 9x2 + 6x + 1 – 10x2 – 10x – 5
 = - x2 – 4x – 4 
 = -(x + 2)2 ≤ 0 
(2) có nghiệm  x + 2 = 0  x = -2
Thay x = - 2 vào (1)  y = -1
Cách 3: Để giải bài toán (1) ta còn có thể biến đổi (1) về dạng phương trình bậc 
hai một ẩn với ẩn là x, rồi sử dụng biệt thức Delta để giải.
* Như vậy ta đã sử dụng công cụ biệt thức Delta để giải phương trình trên 
nhanh hơn, đồng thời học sinh dễ hiểu và áp dụng tốt hơn
Ta xét bài toán 2.
Bài toán 2: Giải hệ phương trình
 x 2  4y 2  x  4xy  2y  2  0 (1)
  2 2
 4x  4xy  y  2x  y  56  0 (2)
Hệ phương trình nhiều ẩn và không phải là hệ bậc nhất, không ít học sinh lúng 
túng để tìm ra cách giải. Nhiều học sinh sẽ đi phân tích, hoặc nghĩ đến phương 
pháp cộng và thế.Tuy nhiên việc làm đó sẽ mất nhiều thời gian, gây khó khăn và 
rất khó nhớ. Nếu hướng dẫn học sinh sử dụng biệt thức Delta thì hầu hết các em 
khá giỏi có thể đưa mỗi phương trình trong hệ về phương trình bậc hai ẩn x hoặc 
ẩn y để áp dụng Delta
Giải: 
 x2  4y 2  x  4xy  2y  2  0 (1)
  2 2
 4x  4xy  y  2x  y  56  0 (2)
Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai với 
ẩn là x.
 x2  4y 2  x  4xy  2y  2  0
  x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 = 0
 5 Xuất phát từ bài toán (2) ta đặt ra bài toán mới.
Bài toán 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
 x 2  4y 2  x  4xy  2y  2  0 (1)
  2 2
 x  y  2xy  2x  2y 1  0 (2)
HS sẽ rất lúng túng khi gặp phải dạng toán giải hệ phương trình nghiệm nguyên. 
Tuy nhiên với việc sử dụng biệt thức Delta và giải bài toán 2 thì học sinh sẽ rất 
dễ dàng nhớ phương pháp và giải bài toán 3 này nhanh gọn hơn
Giải: 
 x 2  4y 2  x  4xy  2y  2  0 (1)
  2 2
 x  y  2xy  2x  2y 1  0 (2)
Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc 2 với ẩn 
là x.
 x2  4y 2  x  4xy  2y  2  0 (1)
  x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 = 0
 2 2
 ∆ = (1- 4y) – 4(4y – 2y - 2)
 2 2
 = 1 – 8y + 16y – 16y + 8y + 8
 = 9
 x1  2y  2
   
 x2  2y 1
Tương tự đưa phương trình 2 về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x.
 x 2  y 2  2xy  2x  2y 1  0 (2)
  x2 + 2(y - 1)x + y2 – 2y + 1 = 0
 2 2
 ∆’ = (y - 1) – y + 2y – 1 = 0 
  x3 = x4 = 1 – y
Để hệ phương trình có nghiệm thì x1 = x3 = x4 và x2 = x3 = x4
Ta được: (x; y) = (1; 0) hoặc (x; y) = (0; 1) là nghiệm nguyên của hệ phương 
trình đã cho
+ Tiếp tục khám phá ta thấy biệt thức Delta còn có ứng dụng để giải phương 
trình nghiệm nguyên.
Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
PHƯƠNG PHÁP:
 Ta viết phương trình f(x,y,z,) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai với một 
 7 GV hướng dẫn học sinh: để phương trình có nghiệm nguyên ngoài điều kiện ∆’ ≥ 
0 ta cần thêm điều kiện ∆’ là số chính phương.
  4(y2 – 2) phải là một số chính phương
 ∆’ = 4y2 – 8 = k2 ( k N)
 4y2 – k2 = 8 
 ( 2y – k )(2y + k) = 8
Vì 2y – k + 2y + k = 4y là số chẵn nên 2y – k và 2y + k cùng tính chẵn, lẻ
Và ( 2y – k )(2y + k) = 8 ( 8 chẵn ) nên 2y – k và 2y + k cùng chẵn
  3
 2y  k  2 y 
    2 (loại)
 2y  k  4
 k  1
  3
 2y  k  2 y  
Hoặc    2 (loại)
 2y  k  4
 k  1
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
Từ các bài toán trên ta thấy được vai trò của biệt thức Delta vô cùng quan trọng. 
Khi giải các em phải xem xét mọi tình huống xảy ra, cần vận dụng kiến thức một 
cách linh hoạt.
Một số bài tập tương tự:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau
1) 4xy – y + 4x – 2 = 9x2
2) x2y2 – y2 – 2y + 1 = 0
3) y2 – 2xy + 5x2 = x +1
4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)
* Trở lại với bài toán 1
 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1)
Bây giờ ta thay hạng tử tự do ở PT (1) bởi số 2 thì được bài toán mới
Bài toán 6: Giải phương trình
 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 = 0 (2)
HS giải tương tự bài toán 1
Giải:
Biến đổi PT (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y
 5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + 2 = 0 (2’)
 9 Bài toán 7:
Chứng minh bất đẳng thức:
 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 > 0 với mọi (x,y)
Vận dụng kết quả bài toán 6 học sinh dễ dàng giải bài toán 7:
Giải: 
 Đặt f(y) = 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 
 Ta có ∆’ = - (x+2)2 – 5 < 0 với mọi x
  f(y) > 0 với mọi x,y
Qua bài toán 7 ta thấy biệt thức Delta lại có vai trò quan trọng trong việc chứng 
minh bất đẳng thức
Bài toán 8:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài toán này ở lớp 8 các em học sinh khá giỏi cũng đã được chứng minh, ngoài 
ra ta có thể chứng minh bằng công cụ biệt thức Delta.
Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc 2 dạng
 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0
 Đặt f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 
Ta có ∆’ = b2 + 2bc + c2 – 2(b2 + c2 ) = - (b - c)2 ≤ 0
Nếu ∆’ = 0  - (b - c)2 = 0  b = c thì tam thức bậc 2 f(a) có nghiệm 
Trong tam thức f(a) có hệ số a = 2 > 0  f(a) = 2a 2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0 với 
mọi a, b, c
Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c khi đó tam giác ABC là tam giác đều 
Bài toán 9:
Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện:
p2 + q2 > a2 + b2 + c2 + d2
Chứng minh rằng: 
(p2 – a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≤ (pq – ac - bd)2
Giải:
 Từ giả thiết suy ra : (p2 – a2 – b2) + (q2 – c2 – d2) >0
  p2 – a2 – b2 > 0 hoặc q2 – c2 – d2 > 0
 + Nếu p2 – a2 – b2 > 0, suy ra p ≠ 0 , xét tam thức bậc hai
 11