SKKN Ứng dụng toán học để giải các bài cực trị Vật lí THPT trong bồi dưỡng học sinh giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI 
CỰC TRỊ VẬT LÍ THPT TRONG 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Vật lí
THANH HOÁ NĂM 2019
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU 
CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
“CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU”
Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Vật lí
	Mục lục
 Trang
I. Mở đầu................................................................. ....................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.....1
1.2. Mục đích nghiên cứu......1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........1
1.4. Phương pháp nghiên cứu....1
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm....2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.....3
2.3.1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ..........................3
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ...............7
2.3.3. Vận dụng định lí hàm số sin, cosin ............................................10
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai ....................................12
2.3.5.Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số...............15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường....18
III. Kết luận, kiến nghị.....19
3.1. Kết luận....19
3.2. Kiến nghị..19
Tài liệu tham khảo.......20
Các thuật ngữ viết tắt trong bài:
GV – giáo viên
HS – học sinh
HSG – học sinh giỏi 
	SKKN – sáng kiến kinh nghiệm
THPT – trung học phổ thông 
THPT QG – trung học phổ thông Quốc gia	
ĐLHS – định lí hàm số
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình vật lí THPT, việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như bài toán cực trị. HS thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, phải có vốn kiến thức toán học vững chắc, hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào. 
Nhằm giúp cho HS có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài: “Ứng dụng toán học để giải các bài cực trị Vật lí THPT trong bồi dưỡng học sinh giỏi”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Khi đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ, rèn luyện kĩ năng giải các bài tập, HS hứng thú hơn, thấy được cái hay trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng kiến thức toán học như: Bất đẳng thức Cauchy; Bunhiacopxki; định lí hàm số sin, cosin trong tam giác; tam thức bậc hai; khảo sát hàm số để giải các bài cực trị trong Vật lí THPT. Quá trình áp dụng chủ đề là các HS giỏi lớp 10, 11 trong đội tuyển thi HSG cấp tỉnh và một nhóm HS khá giỏi lớp 12A1 và 12A2 ôn thi THPT QG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Mỗi dạng bài tập thì phải biết được phương pháp giải, nhằm mục đính giúp học sinh hệ thống kiến thức và rèn luyện kỹ năng nhận định, tính nhanh, đáp ứng thi HSG và theo hướng làm bài trắc nghiệm của THPT QG. Có đưa ra phương pháp giải chung, các bước làm, hướng dẫn lược giải những bài tập minh họa.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Bằng thực tế giảng dạy ôn luyện thi đại học và bồi dưỡng HSG qua một số năm tôi nhận thấy: Các bài toán cực trị trong vật lí là một trong những bài toán khó mà các em HS hay gặp trong các đề thi HSG cấp tỉnh và trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng các năm gần đây. Khi gặp bài toán này, thực tế cho thấy nhiều HS còn gặp khó khăn. Để giải được bài toán này không những HS phải nắm vững các kiến thức vật lí mà bên cạnh đó các em còn phải có một kiến thức tốt về toán.
Mặc dù đây là một dạng toán khó nhưng rất ít các cuốn sách tham khảo viết về dạng toán này, có chăng chỉ đề cập đến một vài bài trong một số đề thi chứ không phân thành dạng cụ thể. Trên cơ sở đó tôi đã quyết định lựa chọn đề tài này với mục đích:
- Giúp các em HS khi gặp các bài toán thuộc loại này có thể đưa ra được hướng đi để giải quyết một cách nhanh chóng bài toán.
- Làm một tài liệu mà các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình ôn thi HSG cũng như ôn thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. 
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Vận dụng được các phương trình toán học (như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác) để ứng dụng trong việc khảo sát các dạng toán cực trị trong vật lí THPT.
- Hướng dẫn và đưa ra phương pháp giải một số dạng toán đặc trưng.
- Các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Hiện nay không chỉ phần đông HS mà giáo viên phổ thông đều nhận định là: Nội dung chương trình vật lí phổ thông khá nhiều và rộng vì thế việc tiếp thu và nhớ bài của các em rất khó khăn, dẫn đến một thực trạng đó là tâm lý sợ học Vật lí. Những năm gần đây, hình thức thi tốt nghiệp, đại học của môn vật lí là trắc nghiệm làm cho khả năng trình bày, tư duy của HS rất kém.
Tại trường THPT Thạch Thành 3 mà tôi đang công tác thì HS chủ yếu là con em dân tộc mường, điều kiện kinh tế còn khó khăn. tuy nhiên, bên cạnh đó vẫn có một nhóm ít em là có khả năng tư duy toán học cũng như vật lí được chọn vào đội tuyển HSG vật lí 10, 11 và cũng là nòng cốt để thi lấy điểm 9 trở lên trong kì thi THPT QG.
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12, sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm số. Qua đó rút ra được phương hướng, chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất. 
Quy trình thực hiện:
Bước 1: Giới thiệu phương pháp, thứ tự các bước giải.
Bước 2: Cho HS vận dụng tập dượt một số bài tập minh hoạ cụ thể để rèn luyện kỹ năng.
Bước 3: Kiểm tra đánh giá kết quả vận dụng của HS thông qua các hình thức (kiểm tra trong các buổi dạy bồi dưỡng HS khá giỏi, kiểm tra trong khi ôn THPTQG).
2.3.1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)
a) Bất đẳng thức Cauchy 
 a + b ³ 2 Với a,b ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a=b 
 a1 + a2 + ....+ an ³ n Với a1,a2, .....,an ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an 
Ưu ý:
 Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học, điện một chiều và xoay chiều và đặc biệt là các bài khó (lấy 9, 10 điểm) trong đề thi đại học (THPT QG) các năm gần đây và trong các đề thi HSG cấp tỉnh. Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy như sau: 
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. 
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không. 
Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, .....,an ³ 0 và tích của chúng là không đổi a1.a2......an = const 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán. 
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 
b) Bài tập vận dụng 
Bài Cauchy 1. Một mạch điện được mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R2 ). Bóng đèn ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 là biến trở. 
a) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên R2 đạt giá trị cực đại 
R1
Đ
R2
I
I2
Id
b) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại. [1]
Giải: 
a) Điện trở của bóng đèn: R = = 12 Ω
 Công suất tiêu thụ của R2 là: P = I . R 
 Mà I = I- I = => 
=> P2 đạt max khi đạt min. 
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi R2 = 3 Ω thì P2 đạt giá trị cực đại. 
b) Công suất tiêu thụ của đoạn mạch song song là : 
P= I2. Rđ2 mà => 
Với 
=> P đạt max khi đạt min 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi Rd2=4 => R2 = 1,5Ω
Vậy khi R2 = 1,5Ω thì công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại. 
Bài Cauchy 2. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 
U= 100 cos (100πt+π) , R0 = 2Ω
L = R thay đổi được
a) Xác định R để công suất tiêu thụ trên R đạt cực đại.
b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại. [1]
Giải: Ta có : ZL = L = 100W, ZC = , Z = 
a) Công suất tiêu thụ trên R là : 
PR = I2R = 
PR đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi thì PR (max) 
b) Công suất tiêu thụ trên toàn mạch là: 
P đạt max khi y đạt min. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi => 
Vậy khi thì P(max). 
Bài Cauchy 3. (CÂU 8 ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HÓA NĂM 2019)
β
α
B
I
n
A
A’
Nhúng một thước thẳng AB vào một bể nước trong suốt có chiết suất n = sao cho thước tạo với mặt nước một góc α. Đầu A của thước chạm đáy bể, I là giao điểm của thước với mặt nước (hình vẽ). Khi nhìn xuống đáy bể theo phương thẳng đứng ta thấy A được nâng lên đến vị trí A’ và cách mặt nước 15 cm.
 a. Tính chiều cao của lớp nước trong bể?
 b. Gọi β là góc tạo bởi A’I với AI. Xác định α để β đạt giá trị cực đại?
Giải:
A
A’
I
a
b
B
n
H
- Gọi H là chân đường cao hạ từ A đến mặt phân cách.
Chứng minh công thức lưỡng chất phẳng: 
- Suy ra: Þ AH = A’H = 20cm
Vậy chiều cao của lớp nước trong bể là 20cm.
- Từ hình vẽ ta có: = 
- Suy ra: 3tana + 3tan2a.tanb = 4tana - 4tanb	
=> tanb = 
- Nên bmax khi (tanb)max 3tana = 	=> a » 49,10
Vậy để bmax thì a » 49,10.
Bài Cauchy 4. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013
Câu 39 (Mã đề thi 318) 	[3]
Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2 dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc xOy thuộc mặt nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O1 còn nguồn O2 nằm trên trục oY. Hai điểm P và Q nằm trên Ox có OP=4,5cm và OQ=8cm. Dịch chuyển nguồn O2 trên trục Oy đến vị trí sao cho góc PO2Q có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa P và Q không còn cực đại nào khác. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là:
	A. 3,4cm B. 2,0cm C. 2,5cm D. 1,1cm.
Giải:
Xét hàm số 
y đạt cực đại khi 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
Dấu “=”khi a = 6 cm 
Khi đó d2 = 10 cm và d’2 = 7,5cm.
Mặt khác ta có 10-8=k và 7,5- 4,5= (k+ suy ra . Điểm Q là cực đại bậc 1 vậy N gần P nhất là cực đại ứng với k = 2. ta có 2,5cm. => PN=2cm. Đáp án: B
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 
a) Bất đẳng thức Bunhiacopxki 
(ax+by) ≤ (a +b )(x +y ) 
Dấu “=” xảy ra khi : = 
(ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z) 
Dấu “=” xảy ra khi : = = 
Ưu ý:
 Bất đẳng thức Bunhiacopxki cũng rất hay được sử dụng trong các bài tập vật lí. Ở các bài toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy bài toán được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu. Đối tượng áp dụng ở đây chủ yếu là các bài toán cơ học. Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa ra rõ ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y) phải bằng hằng số. Cụ thể các trường hợp trên ta thấy xuất hiện . 
Các bước giải bài toán loại này: 
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. 
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện . 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán. 
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 
b) Bài tập vận dụng 
a
·
O
y
x
Bài Bunhia 1. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k. 	[4]
Giải: Các lực tác dụng được biểu trên hình 
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên 
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
Tức là: 
 Trong đó : Fms =k.N 
Từ hệ phương trình trên ta có : 
=> F đạt min khi y đạt max 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi 
β
α
y
x
O
Bài Bunhia 2. Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma sát k. Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo là cực tiểu. [2]
Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có : 
 (1)
Chiếu (1) lên Ox: 
 (2)
Chiếu (1) lên Oy: (3)
Từ (2) và (3) ta có : 
Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi. 
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Khi đó 
Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo và mặt nghiêng thỏa mãn: 
Bài Bunhia 3. (CÂU 3 ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HÓA NĂM 2019)
α
β
m1
m2
Khung dây cứng có dạng hình tam giác vuông với α = 300 đặt trong mặt phẳng thẳng đứng. Hai vật m1 = 0,1 kg và m2 = 0,3 kg nối với nhau bằng sợi dây nhẹ và có thể trượt không ma sát dọc theo hai cạnh của khung dây (hình vẽ). Tính lực căng dây nối và góc β khi hai vật ở vị trí cân bằng? Cân bằng của hệ vật là bền hay không bền? Vì sao? Lấy g = 10 m/s2.
Giải:
α
β
m1
m2
O
x
y
L
a
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
+ Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: 
+ Khi hệ cân bằng: 
- Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy: + Trên Ox: N1sinα = N2cosα => N2 = N1tanα.
+ Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2
=> N1(cosα + tanα.sinα) = P1 + P2 => N1 = (m1 + m2).g.cosα = 2 (N)
- Xét với vật m1: (1)
 => T2 = T1 = ≈ 2,65(N)
- Chiếu (1) lên phương của thanh: P1sinα = T1cosβ => cosβ = => β≈ 79,10
- Gọi khoảng cách từ m1 đến O là a, chiều dài sợi dây khi hệ cân bằng là L. Cân bằng của hệ hai vật là bền nếu tọa độ trọng tâm trên trục y là thấp nhất.
Trên Oy, ta có:
+ Vật m1 : y1 = - a.sinα . Vật m2 : y2= - .cosα
+ Tọa độ trọng tâm hệ vật: yG = 
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có
a.sinα + 3.cosα.≤.
Dấu bằng xảy ra = a = 
=> yG min khi a = cosβ = => β = 79,10. 
 Vậy đây là cân bằng bền vì G ở vị trị thấp nhất.
2.3.3. Vận dụng định lí hàm số sin, cosin 
a) Định lí hàm số sin, cosin 
Định lí hàm số sin trong tam giác: = = 
Định lí hàm số Cosin trong tam giác : a = b + c- 2b.c.cosA
 ( cosa)max = 1	Û a = 00
 ( sina)max = 1	Û a = 900 
Ưu ý:
Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường và đặc biệt là các bài khó (lấy 9 – 10 điểm) ở các phần tổng hợp dao động và điện xoay chiều trong đề thi đại học các năm gần đây. Phương pháp này có nét đặc trưng chính hình thành các bước giải cụ thể như sau : 
Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau qua biểu thức vectơ cộng vận tốc.
Bước 2 : Dựa vào phương chiều của các vecto vận tốc thành phần để xác định độ lớn của 
Bước 3 : Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12 . 
Bước 4 : Ở các bài vận dụng định lí hàm số sin, cosin thì 
( cosa)max = 1 Û a = 00
 	( sina)max = 1 Û a = 900 
b) Bài tập vận dụng
Bài ĐLHS 1. Hai động tử m1 và m2 đồng thời chuyển động trên hai đường thẳng đồng quy với vận tốc v1 và v2. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng và thời gian đạt được khoảng cách đó, biết khoảng cách ban đầu là l và góc giữa hai đường thẳng là α. 	[2]
Giải: Xét chuyển động tương đối của vật 1 đối với vật 2 ta có : 
dmin= AH = AB sinβ (1)
Xét tam giác BMN:
Áp dụng định lí hàm số sin ta có : 
=> = > (2)
Thay (2) vào (1) => dmin= 
Thời gian để đạt được khoảng cách dmin :
Bài ĐLHS 2. ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012
Câu 11 (Mã đề 958) [3]
	Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình x1 = (cm) và x2 = (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình (cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì
	A. 	B. 	C. D. 
A1
A2
A
p/6
x1
x2
x
 j
Giải: Vẽ giãn đồ như hình vẽ. Theo định lí hàm sin
 =
A đạt giá trị cực tiểu khi sin(- j) = 1. Do đó j = 0. 
Chọn đáp án D
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai 
a) Tam thức bậc hai 
 Cho hàm y = f (x) = ax2 + bx + c
+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol
+ Tọa độ đỉnh : x = -	(D = b2 - 4ac)
+ Nếu D = 0 thì phương trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm kép 
+ Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 
Ưu ý:
 Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai được dùng khá phổ biến trong cả chương trình, nhất là các bài toán về điện xoay chiều nên học sinh không quá khó khăn khi tiếp cận phương pháp này. Đặc điểm của phương pháp là yêu cầu tính cẩn thận và các bước làm rõ ràng: 
Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị về hàm bậc 2 của biến x 
Bước 2: Dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai để suy ra cực trị ví dụ như nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol,nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol. 
Bước 3: Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị.	
b) Bài tập vận dụng
Bài tam thức 1. Có 20g khí Heli chứa trong xilanh đậy kín bằng pittông biến đổi chậm từ (1)=>(2) theo đồ thị mô tả bởi hình : 
V(lít)
p(atm)
V2 V1
P2
P1
(1)
(2)
Cho V1=30 lít , p1=5 atm, V2 =10 lít , p2=15 atm. Hãy tìm nhiệt độ cao nhất mà khí đạt được trong quá trình biến đổi. [1]
Giải: n=, R=0,082(atm.lít/mol.K) 
Gọi phương trình đường thẳng đi qua 
trạng thái (1) và (2): p=aV+b (*)
Tìm a,b: Phương trình (*) thỏa mãn: 
Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng: 
pV=nRT=> 
Nhận xét : T = f(V) có hệ số a= 
Suy ra T = Tmax tại V= (lít) và Tmax= 487,8K 
Vậy Tmax=487,8K.
Bài tam thức 2. Một hạt điện tích âm q có khối lượng m, vận tốc ban đầu , bay vào khoảng không gian giữa hai bản kim loại phẳng song song, tích điện đều như nhau và trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở bản dương, vận tốc lập với bản dương một góc α . Khoảng cách giữa hai bản là d, hiệu điện thế U
y
x
O
h
Viết phương trình quỹ đạo của electron, tính khoảng cách h gần bản âm nhất mà e có thể đạt tới. [1]
Giải: Hạt điện tích chịu tác dụng của 
 trọng lực và lực điện 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Theo phương Ox: Hạt chuyển động thẳng đều 
x = (v0 cosα).t (1)
Theo phương Oy: Hạt chuyển động biến đổi đều 
 với a = 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình quỹ đạo của hạt là :
Gọi H là độ cao mà hạt đạt tới H = ymax . 
Nhận xét: hàm y(x) có hệ số suy ra 
ymax = 
Vậy khoảng cách gần bản âm nhất: h = d-H = d - 
Bài tam thức 3. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ.
UAB = 200cos(100πt- )(V), R = 100W,
C = ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Xác định L để hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. 	 [2]
Giải: Cảm kháng : ZL = , Dung kháng : ZC = 
Tổng trở: Z = 
Xét y : Nếu đặt thì y = 
y là tam thức bậc 2 có hệ số a = >0 nên đạt cực trị tại
 Vậy khi L= (H) thì ULmax=200 (V). 
2.3.5. Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số
a) Khảo sát hàm số
 Xét hàm y=f(x) 
 + Đạo hàm y theo biến x 
 + Lập bảng biến thiên hàm số, tìm giá trị cực trị của hàm.
Ưu ý:
 Phương pháp khảo sát hàm số chính là phương pháp dùng đạo hàm để tìm cực trị của một đại lượng vật lí mà các bước tiến h