SKKN Ứng dụng của đạo hàm, định lý rolle để giải phương trình và hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, ĐỊNH LÝ ROLLE ĐỂ
 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: Lê Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên 
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
PHẦN I:MỞ ĐẦU
1
Lí do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
2
Đối tượng nghiên cứu
2
Phương pháp nghiên cứu
2
PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
 Cơ sở lý luận
3
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
4
Các SKKN đã áp dụng để giải quyết vấn đề
5
Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình
5
Ứng dụng định lý Rolle để giải phương trình
8
Ứng dụng định lý Rolle để giải hệ phương trình
13
Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động dạy học, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
17
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
18
Kết luận
18
Kiến nghị
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phần I - MỞ ĐẦU
1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
	Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán học ở bậc trung học phổ thông các bài toán về phương trình, hệ phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp. Bên cạnh đó là sự phong phú về dạng toán, từ phương trình, hệ phương trình ở lớp 10, phương trình lượng giác ở lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12. Phương pháp để giải quyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú. Đã có rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ được phát hiện để giải quyết những bài toán về phương trình và bất phương trình, tạo nên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy.
 Như ta đã biết phương trình, hệ phương trình đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giải không thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm trong giải toán.
 Cách sử dụng đạo hàm trong giải toán đã xuất hiện ở rất nhiều tài liệu,từ chuyên đề hàm số đến các chuyên đề về phương trình đại số và trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp... tuy nhiên vẫn chưa toàn diện. Hệ thống bài tập trong các chuyên đề đóchưa hoàn chỉnh, còn rời rạc;việc khai thác và khắc sâu ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để.Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việc hình thành cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán phương trình.
Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo chuyên đề hoàn chỉnh để giải các dạng bài toán phương trìnhtôi đã tập hợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo một hệ thống rõ ràng; tạo thuận lợi cho người học ghi nhớ và vận dụng để giải các bài tập tương tự. Qua thực tế giảng dạy, cách làm này thu được kết quả rất đáng ghi nhận nên tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Ứng dụng của đạo hàm và định lý Rolle đểgiải phương trình,hệ phương trình. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung thêm của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên và học sinh chúng ta tiến tới cái “chân thiện mỹ” của Toán học.
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm trong việc giải các bài toán về phương trình . Từ đó đạt kết quả cao trong quá trình học toán nói chung và trong giải phương trình và hệ phương trình nói riêng.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
-Các dạng toán phương trình,hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
-Phạm vi nghiên cứu: Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi loại. 
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
 Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau.
-Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài
-Phương pháp quan sát :Công việc dạy – học của giáo viên và học sinh
-Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp.
-Phương pháp thực nghiệm.
Phần II: NỘI DUNG 
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
	 Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng.
	Muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán có hệ thống trong chương trình phổ thông,sự liên hệ logic giữa các mảng kiến thức trong chương trình phổ thông. Vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải.
	Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các phương trình, hệ phương trình một cách đơn giản. Việc sử dụng đạo hàm chỉ dừng lại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm trong việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh vận dụng còn hạn chế và chưa linh hoạt, song các đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi gần đây việc giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều. Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Nếu giải theo cách bình thường đã biết ở lớp 10 như: bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu tinh ý một chút ta thấy ngay nếu chuyển biến x sang vế trái thì vế trái là một hàm đồng biến và là một nghiệm của phương trình, sử dụng phương pháp đạo hàm thì ta giải phương trình này một cách đơn giản.
Ví dụ 2. Giải phương trình 
 Nếu giải theo cách bình thường như phương trình mủ ở lớp 11 hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu ta tinh ý thấy ngay nếu chuyển sang bên trái sang bên vế phải sau đó ứng dụng định lý Rolle vào để giải thì rất đơn giản.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình và hệ phương trình.Bên cạnh đó giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh thi đại học và thi học sinh giỏi.
Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra một số bài toán và cách giải tương ứng bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm.
2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải các phương trình và hệ phương trình vô tỉ, mũ, loogaritnhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiến thức này để giải toán vì.
-Đạo hàm là phần kiến thức mới đối với học sinh, gắn với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải phương trình và hệ phương trình và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số để giải.
- Số lượng các bài toán giải phương trình và hệ phương trình nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong đè thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi và phương pháp giải chủ yếu là dùng đạo hàm.
 3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
	 Để giúp học sinh giải tốt các phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải. 
Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm và định lý Rolle.
3.1. Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình
3.1.1. Tổng quan phương pháp
	Xét phương trình với D là một khoảng cho trước.
Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:
Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: Dạng với hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến
Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: 
Bước 2: Xét hàm số 
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên D.
Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 2:Phương trình (1) có: đồng biến trên D, nghịch biến trên D hoặc ngược lại 
Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : (1)
Bước 2: Xét hai hàm số và 
Chỉ rõ hàm số là hàm đồng biến (nghịch biến) và là hàm nghịch biến (đồng biến)
Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 3: Dạng phương trình (*), với hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên . Lúc đó (*) có nghịch duy nhất 
Bước 1: Đưa phương trình về dạng (1)
Bước 2: Xét hàm số: .
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên . 
Bước 3: Khi đó: 
Nhận xét:Định lí về tính đơn điệu trên đoạn:
 “ Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên ”
3.1.2. Bài tập minh họa
Đề bài:Giải các phương trình sau:	
a) 	b) 
c) 	d) 
e)f) 
*Nhận xét: Đối với các bài toán trên nếu giải theo cách bình thường như: bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó, tuy nhiên nếu chú ý một chút ta thấy ngay vế trái là một hàm đồng biến và vế phải là hàm số nghịch biến hoặc hằng số, sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ta có cách giải sau.
Giải.
Điều kiện: 	
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số và .
Xét hàm số . Miền xác định: . 
 Đạo hàm . 
Do hàm số liên tục trên nên hàm số đồng biến trên .
Dễ thấy thỏa (1). Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là .
b) . TXĐ: .
Đặt , điều kiện 
Khi đó phương trình có dạng : (2)
Dễ thấy: 
+ Hàm số là hàm đồng biến trên 
+ Hàm số là hàm nghịch biến trên 
Từ (*) suy ra : nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy là thỏa phương trình (2), do đó: 
c)	(3)
TXĐ: .
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên 
Và hàm số . Đạo hàm : hàm số nghịch biến trên .
Phương trình (3) có dạng . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm .
Câu d, e, f, giải tương tự 
3.1.3. Một số bài tập đề nghị
Đề bài: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
3.2. Ứng dụng định lý Rolle để giải phương trình.
 3.2.1. Nội dung định lý Rolle:
Nếu là hàm liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên khoảng và thì tồn tại sao cho 
Hệ quả 1:Nếu hàm số có đạo hàm trên và có nghiệm ( là số nguyên dương lớn hơn 1) trên thì có ít nhất nghiệm trên .
Hệ quả 2:Nếu hàm số có đạo hàm trên và vô nghiệm trên thì có nhiều nhất một nghiệm trên .
Hệ quả 3: Nếu có đạo hàm trên và có nhiều nhất nghiệm ( là số nguyên dương) trên thì có nhiều nhất nghiệm trên
3.2.2. Dạng toán được ứng dụng
Giải phương trình . 
Dạng 1: Phương trình này có thể biến đổi được về dạng và từ phương trình ta tìm được nghiệm.
Dạng 2: Phương trình có thể nhẩm được nghiệm trong khoảng và sau đó có thể dùng các hệ quả của định lý Rolle chỉ ra rằng phương trình đã cho có đúng nghiệm.
3.2.3. Cách giải
Đối với dạng 1:
 - Bước 1: Gọi là nghiệm của phương trình.
 - Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm sốliên tục trên và có đạo hàm trên khoảng 
 Khi đó theo định lý Rolle tồn tạisao cho
 - Bước 3: Giải phương trình (*), ta xác định được 
 - Bước 4: Thử lại và kết luận về nghiệm của phương trình.
Đối với dạng 2:
 - Bước 1: Chuyển phương trình về dạng , dùng các hệ quả của định lý Rolle kết hợp với các tính chất về tính đơn điệu của hàm số chỉ ra phương trình có không quá nghiệm; 
 - Bước 2: Nhẩm nghiệm của phương trình rồi kết luận.
3.2.4. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải. Đặt , phương trình trở thành
 Gọi là nghiệm của phương trình trên, ta có:
 Xét hàm số, với 
ta có phương trình (*) tương đương với 
 Vì hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên , nên theo định lý Rolle, tồn tại sao cho 
do đó 
 Với Với 
 Thử lại thấy và thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình trên có hai nghiệm và . 
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện Đặt Phương trình đã cho trở thành 
 Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta có 
 Xét hàm số , với 
khi đó phương trình đã cho trở thành 
 Vì hàm liên tục trên và có đạo hàm trênnên theo định lý Rolle, tồn tại sao cho 
 Với với 
Thử lại, ta thấy và thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và . 
Ví dụ 3.Giải phương trình
Lời giải. Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta có
 Xét hàm số
Khi đó  Vì liên tục trên [3; 5] và có đạo hàm trên do đó theo định lý Rolle luôn tồn tạisao cho 
Thử lại, ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho.
       Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và 
Ví dụ 4. Giải phương trình:
Lời giải. Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta được 
 Xét hàm số  ta có . Áp dụng định lý Rolle, tồn tại sao cho 
Thử lại, ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho.
       Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và 
Ví dụ 5. Giải phương trình  (5). 
Lời giải. (5) .
 Xét hàm số ta có 
hay vô nghiệm, suy ra có nhiều nhất một nghiệm, suy ra có nhiều nhất hai nghiệm. 
Mà do đó (5) có đúng hai nghiêm 
Ví dụ 6. Giải phương trình 
Lời giải. Đặt 
 Phương trình tương đương với
 Xét hàm số 
 Ta có có một nghiệm duy nhất, 
 có nhiều nhất hai nghiệm có nhiều nhất ba nghiệm.
 Mặt khác dễ thấy, do đó có ba nghiệm .
 Nghiệm của phương trình (6) là 
3.2.5. Bài tập vận dụng
Giải các phương trình sau
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 	
3.3. Ứng dụng định lý Role để giải hệ phương trình.
3.3.1. Nội dung ứng dụng. 
“Nếu hàm số xác định, liên tục trên , khả vi trên và , . Khi đó nếu với thì ”.
 Thật vậy, giả sử liên tục trên, có đạo hàm trên và . Khi đó nếu có sao cho mà thì theo đinh lý Rolle, tồn tại hoặc sao cho . Điều này trái với giả thiết . Vậy 
3.3.2. Dạng toán được ứng dụng
 Ta cần giải hệ phương trình dạng 
Cách giải
- Ta biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả để đưa tới phương trình dạng ,
 Trong đó là một hàm số xác định, liên tục trên , khả vi trên và thỏa mãn . 
- Khi đó theo bổ đề trên ta suy ra .
 - Do vậy hệ phương trên qui về giải hệ phương trình đơn giản hơn 
3.3.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải hệ 
Lời giải. Đặt . Hệ trở thành
Trừ vế với vế các phương trình ta được  
Xét hàm số ta có  
khi đó , mà do đó suy ra .
Hệ phương trình trên trở thành 
Xét hàm số Ta có
từ đó ta có 
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
Lời giải. Điều kiện . Nhận thấy không thỏa mãn hệ phương trình, nên ta chỉ cần xét , khi đó 
 (a) 
Từ và ta suy ta . 
 Xét hàm số, khi đó, phương trình (a) trở thành 
 Ta có là hàm liên tục trên và
Từ đó suy ra . Thế vào phương trình ta được 
. 
 Đặt 
,
ta có 
do đó có không quá một nghiệm trên . Mặt khác vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 
 Với Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
 Xét hàm số 
.
Ta có liên tục trên và , do vậy  
thế vào phương trình , ta được  
 Nhận thấy không phải là nghiệm của . Xét hàm
 trên 
 vô nghiệm, nên có không quá một nghiệm trên khoảng 
mà , do đó có nghiệm duy nhất 
 Với Vậy hệ đã cho có nghiệm 
3.3.4. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình
1.2.
4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
4. 1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng phương trình, hệ phương trình như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra ứng dụng của định lý Rolle để học sinh có công cụ để giải toán.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
4.2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2018-2019
Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau.
Thời gian kiểm tra
	Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Trước khi áp dụng chuyên đề
40
8 
(20%)
14
(35%)
13
(32,5%)
5
(12,5%)
Sau khi áp dụng chuyên đề
 40
10
(25%)
18
(45%)
10
(25%)
2
(5%)
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán phương trình và hệ phương trình các em đã hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng giải phương trình. 
Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợi nhất.
Bên cạnh ứng dụng trong giải phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiều ứng dụng khác trong giải toán như bài toán hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm max,min và bài toán có tham số. Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm.
Để việc sử dụng “Giảiphương trình,hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm và định lý Rolle ’’ có hiệu quả.
- Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùy vào từng bài, từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phù hợp.
- Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá 
- Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán áp dụng từ dể đến khó.
- Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm và công cụ của định lý Rolle qua đó giúp học sinh có hứng thú trong việc tìm ra bài toán.
Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đề tài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoàn thiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh. 
Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc, góp ý để tôi hoàn thiện chuyên đề này.
Kiến nghị
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có sách tham khảo nào viết về sử dụng định lý Rolle vào việc giải phương trình và hệ phương trình .Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo về thể loại sách này để học sinh có thêm nguồn tư liệu trong giải toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết:
Lê Thị Hương
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
 1. Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 10- 11-12.
 2. Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức
 3. Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán – Trần Phương.
 4. Phương pháp giải toán đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc
 5. Đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh.
 6. Một số tư liệu trên mạng
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:Lê Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn 6.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Nhìn nhận các bài toán bất đẳng thức bằng “ Con mắt” lượng giác.
Tỉnh
C
2013-2014
----------------------------------------------------