SKKN Tìm hướng giải cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. Mở đầu
2
1.1. Lí do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.1.Cơ sở lí luận
3
2.2.Thực trạng của vấn đề
5
2.3.Giải pháp và tổ chức thực hiện
5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
16
3. Kết luận và đề xuất.
16
3.1. Kết luận
16
3.2.Ý kiến đề xuất
17
1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (GTLN và GTNN) là một loại bài toán khó. Nó khó ở chỗ về lý thuyết rất ngắn, thế nhưng về các phương pháp dùng để giải quyết bài toán lại đa dạng và phong phú. Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải quyết khác nhau. Muốn giải quyết được nó yêu cầu học sinh phải có kiến thức tổng hợp và phải có khả năng phán đoán để đưa ra lời giải thích hợp. Đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Hơn nữa, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi của các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia hàng năm.
 Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT và trực tiếp giảng dạy lớp chọn, đội tuyển học sinh giỏi trong nhà trường tôi đã gặp không ít những trắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện được kiến thức toán học được vận dụng trong đó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh cách tìm hướng khi giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Từ đó để học sinh có nhiều định hướng trước khi tư duy để giải toán dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến.
 Thực tế, qua quá trình giảng dạy và tham khảo kết quả bài làm của học sinh qua các kỳ thi , tôi thấy học sinh (kể cả những học sinh khá, giỏi) thường bỏ qua hoặc không làm được khi gặp loại toán này. Có 2 nguyên nhân chính dẫn đến tình trạng như trên đó là.
 Học sinh không định hướng được cách giải loại toán này, Đứng trước một đề bài các em không biết vận dụng phương pháp nào cho phù hợp. Phương pháp học tập của học sinh quá thụ động, không sáng tạo, không linh hoạt khi vận dụng kiến thức vào bài tập.
 Các thầy cô chưa tập trung khai thác và hướng dẫn học sinh học một cách tích cực, và chưa đi sâu phân tích lời giải cho từng bài toán.
 Từ thực tế trên tôi quyết định chọn đề tài “Tìm hướng giải cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” để giúp học sinh giải quyết các yêu cầu sau:
 Có cách nhìn tổng quát và hướng giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
 Thông qua đề tài, các em tập đào sâu và đưa ra được nhiều cách giải khác nhau. Từ đó các em có nhiều cách nhìn mới đối với dạng bài toán này.
 Giúp nâng cao năng lực tư duy, năng lực sáng tạo cho học sinh, giúp các em hứng thú và nâng cao hiệu quả học tập, thi cử khi gặp dạng toán này. Thông qua đó rèn luyện kĩ năng cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Việc đưa ra nhiều cách giải cho một bài toán dạng này giúp cho học sinh có cái nhìn sâu hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải cho bài toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 
 Đề tài nghiên cứu, tổng kết về vấn đề giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Xây dựng cơ sở lí thuyết.
Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy học.
Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
1/ Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
 f(x,y...) M ( M hằng số) (1)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
 f( xo,yo...) = M (2) [1]
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
 Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
 f(x,y...) m ( m hằng số) (1’)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
 f( xo,yo...) = m (2’) [1]
 Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
 A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2
 A = 2 x -2 = 0 x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
2/ Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
- Tìm khoảng xác định K ( nếu đề bài chưa cho K)
- Tìm cực trị bằng cách lập bảng biến thiên
- Dưạ vào bảng biến thiên kết luận.
Chú ý: Nếu K = thì ta không cần lập bảng biến thiên, chỉ cần so sánh các giá trị hàm số tại các nghiệm của y’ = 0 với f(a), f(b) rồi kết luận.
3/Một số bất đẳng thức 
a/ Bất đẳng thức cô si : 
+Với 2 số dương ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
+Với 3 số dương ta có: Dấu bằng xảy ra khi .
+Với số dương ta luôn có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . [2]
b/ Bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
+Với bốn số thực ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
+Cho hai bộ n số thực tuỳ ý: và . Ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . [2]
c/ Bất đẳng thức vectơ: Với 3 vectơ ta có. 
 Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng. [2]
d/Một số bất đẳng thức khác.
+Với ba số ta có: 	
 Suy ra 
Từ đó ta có BĐT: 
Dấu bằng xảy ra khi 
+Với ba số dương ta chứng minh được. 
Từ đó ta có BĐT: 
Dấu bằng xảy ra khi [2]
2.2. Thực trạng của vấn đề.
 Các kiến thức về bất đẳng thức trong sách giáo khoa trình bầy rất đơn giản, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở sách giáo khoa lớp 12 chỉ viết riêng cho hàm số. Trong khi đó các kỳ thi trong những năm gần đây gần như năm nào cũng có bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Kỹ năng giải quyết dạng bài tập này của học sinh còn yếu. Từ đó học sinh thường không làm được bài toán hoặc có tâm lí ngại tiếp xúc với dạng toán này, thậm chí có rất nhiều học sinh không đọc đến đề bài của bài toán này khi tham dự các kì thi.
 Vì thế thông qua học tập làm sao giúp các em rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, từ đó có kĩ năng giải quyết các vấn đề trong học tập, giúp học sinh có hứng thú học tập bộ môn. Việc làm này tôi nghĩ cần thiết và phù hợp với yêu cầu của giáo dục trong giai đoạn mới.
 Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, trong chuyên đề này tôi muốn hướng dẫn học sinh cách định hướng phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Trong chuyên đề mỗi bài tập sẽ trình bày nhiều cách giải khác nhau để từ đó các em đưa ra được kết luận cho mình, khi nào dùng phương pháp nào cho phù hợp.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
 Chuyên đề đã thực hiện trong năm học 2017-2018 tại lớp chọn 12A1. Sau khi thực hiện có kiểm tra, đối chứng, tôi thấy những học sinh khá, giỏi đã không có cảm giác sợ hoặc không đọc đề bài dạng toán này như trước đây khi chưa được tiếp thu chuyên đề. Và cũng qua đó học sinh tỏa ra hứng thú học tập đối với phần này.
 Trong mỗi bài toán hướng dẫn học sinh cách tìm tòi các lời giải khác nhau. Từ đó giúp các em có cách nhìn rộng, từ một bài toán cụ thể đến các vấn đề tổng quát hơn.
 Khi gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thông thường chúng ta nghĩ đến các hướng giải như sau:
-Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.( cô si, Bunhiacốpxki,.)
-Sử dụng phương pháp hàm số.
-Sử dụng phương pháp vec tơ.
-Sử dụng miền giá trị của hàm số, của biểu thức.
-Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
-Kết hợp nhiều phương pháp trên.
-Đổi biến sau đó sử dụng một hoặc kết hợp các phương pháp trên.
 Tuy nhiên vào một bài toán cụ thể việc mở ra hướng giải để đi đến lời giải là một vấn đề khó. Nó đòi hỏi chúng ta phải có cái nhìn sâu về vấn đề, phải loại bỏ phương pháp nào và sử dụng phương pháp nào là hợp lí. Sau đây là cách mà tôi định hướng cho học sinh thông qua một số bài tập khi giải loại toán này.
 BÀI TẬP MINH HỌA .
Bài 1: Giả sử thoả mãn . Tìm biết [1]
Hướng thứ nhất: Ta thấy mối quan hệ giữa hai biến là , đây là biểu thức bậc nhất đối với cả x và y. Do đó ta có thể nghĩ ngay đến hướng giải bài toán đó là sử dụng phép thế để đưa biểu S về dạng biểu thức một biến và sau đó sẽ sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này. 
Ta có: với 
 khi 
Lập bảng biến thiên ta được: 
Hướng thứ hai: Bài toán tìm nên có thể nghĩ đễn các bất đẳng thức có dạng () và phải biến đổi đồng thời tách các biến sao cho áp dụng được giả thiết . Do đó ta có thể nghĩ đến BĐT Cô-Si, biểu thức S đang ở dạng tổng và có các số hạng là và. Vì ở vị trí của mẫu thức nên việc tách và áp dụng BĐT Cô- Si sẽ xuất hiện dạng () trong khi ta đang cần dạng (). Vậy ta sẽ tách số hạng có chứa biến x, cụ thể như sau.
Vậy 
Bài 2: Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0; y ≠ 0 thoả mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = [5]
Hướng thứ nhất: Nhìn thấy biểu thức A và hệ thức ràng buộc các biến có chứa tổng và tích . Do đó từ hệ thức ràng buộc ta có thể biểu thị được tổng theo tích (hoặc ngược lại ) Từ đó biểu thức A có thể biểu thị được theo một biến (tổng hoặc tích).Vì vậy chúng ta có thể hướng đến việc giải bài toán này bằng việc sử dụng phương pháp đạo hàm. Từ đó ta có thể giải bài toán này như sau.
Ta có: 
 (*)
Đặt ta có: với 
Thay vào theo Bunhiacốpxki ta có: 
 (*)
 , 
Ta có bảng biến thiên:
 -3 0 1 
 - 
 - 
1
 0 
16 
 1 
Vậy = 16 khi 
Hướng thứ hai: Cũng từ biểu thức A và hệ thức ràng buộc các biến có chứa tổng và tích nên sẽ hướng đến việc đặt sau đó sử dụng phương pháp tìm miền giá trị của biểu thức (Điều kiện để hệ đối xứng có nghiệm). Cụ thể như sau.
 Gọi T là tập giá trị của A. Ta có m Î T Û Hệ sau có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0:
 Û 
Û Û (1) 
Đặt (S2 ≥ 4P), ta có hệ: (2)
Hệ (1) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 Û Hệ (2) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P.
Vì với mọi x ≠ 0; y ≠ 0 Þ với mọi x ≠ 0; y ≠ 0 
Từ đó: 
Nếu m ≤ 0 thì hệ (1) vô nghiệm
Nếu m > 0 thì từ phương trình Þ thay vào phương trình đầu của hệ (2) được: Û (vì SP > 0 nên P ≠ 0)
Để có P từ phương trình này thì Û và ta được:
, do đó . Trường hợp này hệ (2) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P khi và chỉ khi: 
Û 
Tóm lại, các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 là: 
Do đó: T = (0; 16] \ {1}
Vậy: max A = 16 (chú ý không tồn tại A min)
Hướng thứ ba: Ta thấy cả hệ thức ràng buộc và biểu thức cần tìm GTLN đều có thể biến đổi để đưa về dạng các biểu thức có chứa biến và. Do đó ta có thể đổi biến số và sau đó sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.
 Từ giã thiết ta có: 
Đặt: ta có (1)
Từ (1) suy ra 
Vì nên 
 khi 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16
Bài 3. Cho và 
Tìm , biết A [3]
Hướng thứ nhất: Các biểu thức chứa các biến đều ở trong căn bậc hai và có dạng tổng của các bình phương nên chúng ta liên tưởng đến công thức tính độ dài của véc tơ. Và do đó ta có thể định hướng sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải bài tập này.
 Để sử dụng được phương pháp này cần phải chọn tọa độ của các vec tơ một cách hợp lí sao cho khi tính độ dài của các vec tơ ta thu được biểu thức có mặt trong bài toán. Từ đó chúng ta có một cách để giải bài toán này như sau.
Đặt , ,. Ta có: 
Vậy A 
 A
Lưu ý: Có thể chúng ta mắc sai lầm khi thấy nếu sử dung BĐT cauchy cho hai số dương trong căn bậc hai thì sẽ có ngay đáp số của bài toán( vì nhìn thấy các biến có thể triệt tiêu được) Tuy nhiên sẽ không tìm được giá trị của biến để dấu bằng xảy ra (vì có điều kiện ). Do đó ta tìm điều kiện ràng buộc của tích xyz để sử dụng phương pháp đạo hàm.
 A
Với 
Đặt Q = Với 
Q’ = Với Q’< 0
Ta có bảng biến thiên:
0 
 - 
 82 
Q Q Vậy A dấu bằng xảy ra .
Hướng thứ hai: Khi biến đổi A về dạng.
A 
Khi đó ngoài việc định hướng đến bất đẳng thức cô si cho 3 số dương x,y,z như trên, ta còn có thể định hướng áp dụng bất đẳng thức cho 2 số dương và .Sau đó áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương x,y,z và .Tuy nhiên sẽ không tìm các giá trị của x,y,z để và (Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra).Muốn đạt được mục đích trên ta biến đổi như sau.
 Từ đó ta có thể giải bài toán như sau.
Đặt , ,. Ta có: 
Vậy A 
Ta có : 
Vậy A dấu bằng xảy ra .
Bài 4: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [4]
Hướng thứ nhất: Tương tự như bài tập trên các biểu thức chứa các biến đều ở trong căn bậc hai nên chúng ta liên tưởng đến công thức tính độ dài của véc tơ. Do đó cách giải đầu tiên có thể định hướng là sử dụng bất đẳng thức vectơ.
Ta có: 
 Chọn ba vectơ : 
Suy ra 
 Áp dụng bất đẳng thức vec tơ ta được:
 vì 
Vậy đạt được khi và chỉ khi 
Hướng thứ hai: Theo biến đổi như cách 1 ta có.
Ta thấy các biểu thức trong căn có dạng tổng bình phương của các số nên chúng ta có thể liên tưởng đến bất đẳng thức sau.
+Với ba số ta có: 	
 Suy ra 
Từ đó ta có BĐT: 
Dấu bằng xảy ra khi 
Từ đó chúng ta có thêm cách giải sau.
với .Áp dụng bất đẳng thức trên .
	Ta có 
	Tương tự: 
	 Cộng vế theo vế ta được:
Vậy đạt được khi và chỉ khi (1),(2),(3) và (4) đồng thời xảy ra dấu bằng.
 . 
 .
Bài 5: Cho là ba số thực dương thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [5]
Hướng thứ nhất: Đề bài là tìm giá trị nhỏ nhất nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến nên chúng ta có thể nghĩ ngay đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai hoặc ba số không âm. Tuy nhiên phải biến đổi như thế nào để sau khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ làm triệt tiêu các biến trong biểu thức (vì không có điều kiện ràng buộc giữa các biến) và điều quan trọng là phải tìm được giá trị của các biến khi dấu bằng của các BĐT xảy ra .
Ta biến đổi biểu thức như sau. 
 Từ đây nếu sử dụng BĐT Cauchy cho hai hoặc ba số dương trong các số trên thì đều không làm triệt tiêu được các biến. Muốn đạt được mục đích này ta có thể phân tích như sau.
Đến đây ta hoàn toàn có thể sử dụng được BĐT Cauchy cho ba số dương.
Từ đó ta có một cách giải cho bài tập này như sau.
Vậy đạt được 
Hướng thứ hai: Sau khi biến đổi biểu thức 
 Chúng ta có thể nghỉ đến việc đưa về thành từng nhóm có chứa biến x,y,z riêng biệt. Và các nhóm này là giống nhau, chỉ khác nhau về cách kí hiệu các biến.Để đạt được điều đó ta làm như sau.
Đến đây ta nghĩ ngay cách giải sử dụng phương pháp đạo hàm.
Từ đó chúng ta có một cách giải nữa cho bài tập này như sau.
Ta có: 
 Xét hàm số: với .
 Ta có 
 vì .
 Bảng biến thiên:
0 1 	
 0 
 Từ bảng biến thiên suy ra .
 Do vai trò như nhau nên ta được: .
	Vậy đạt được 
Bài 6: Cho hai số thực thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . [5]
Hướng thứ nhất: 
Có thể thấy rằng cả tử và mẫu của biểu thức B đều có dạng đẳng cấp bậc hai ta liên tương đến việc đặt 
Đặt điều kiện .Khi đó: ( vì )
 Từ đây chúng ta sẽ nghĩ ngay đến công cụ đạo hàm để giải bài tập này.(Vì biểu thức B lúc này chỉ có một biến t).Từ đó có một cách giải cụ thể như sau.
Ta có: vì 
Đặt điều kiện .
Khi đó	
Suy ra ; 
 Bảng biến thiên: 
 0 0 
 0
 Vậy đạt được 
Hướng thứ hai: Cũng từ biểu thức ta cũng liên tưởng đến cách tìm miền giá trị của hàm số ( sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm).
Ta có: vì 
 Đặt điều kiện .
Khi đó: 
Phương trình có nghiệm 
 Vậy đạt được 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài 1:Cho là hai số thực không âm thay đổi .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bai 2: Cho thỏa mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 3: Cho các số thực thay đổi và thoả mãn . Tìm , biết .
Bài 4: Cho thoả mãn . Tìm , biết .
Bài 5:Cho và là các số thực dương thoả mãn . Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 6: Cho thoả mãn và . Tìm GTLN của biểu thức: .
Bài 7:Cho thoả mãn . Tìm GTNN của biểu thức: 
 .
Bài 8: Cho thoả mãn . Tìm , biết .
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
 Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa và sự tác động khác nhau lên quá trình lĩnh hội kiến thức, sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kĩ năng của học sinh khi giáo viên không sử dụng và sử dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm nghiệm như sau:
 Tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( thời gian 45 phút ) cho 2 lớp chọn 12A1 và 12C1 (Lớp 12C1 năm học 2016-2017 và lớp 12A1 năm học 2017-2018). 
Đề bài: 
Câu 1: Cho 2 số thực thoả mãn . 
 Tìm , biết .
Câu 2: Cho và . Hãy tìm , biết 
Tôi so sánh kết quả thực nghiệm của lớp 12A1 năm học 2017 – 2018 với kết quả của lớp 12C1 năm học 2016 – 2017 khi chưa áp dụng đề tài với cùng một bài kiểm tra. Đây là hai lớp chọn ban KHTN có khả năng tiếp thu tương đương nhau. Kết quả: Các em lớp 12A1 đạt kết quả tốt hơn nhiều so với các em học sinh lớp 12C1. 
Cụ thể:
 Điểm
Lớp
0
1-2
3
4
5
6
7
8
9
10
12C1
Sĩ số:40
4
10%
9
22,5%
8
20%
8
20%
9
22,5%
2
5%
12A1
Sĩ số:37
2
5%
3
8%
6
16%
6
16%
7
19%
5
14%
5
14%
3
8%
 Từ kết quả kiểm tra tại lớp, phần làm bài của học sinh khi học bồi dưỡng ôn thi đại học, tôi nhận thấy việc đưa đề tài vào giảng dạy là thiết thực, phát huy hiệu quả cao. Từ đó nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia hàng năm.
3. Kết luận và đề xuất.
3.1. Kết luận.
 Trên đây chỉ là một vài bài tập minh họa cho việc định hướng phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến để chúng ta có cách nhìn đúng hướng về việc tìm ra lời giải cho bài toán dạng này giúp cho việc dạy và học toán có hiệu quả hơn, kiểu tư duy này được áp dụng trong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo yêu cầu của chương trình, của người học, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp. Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy có một số vấn đề cần rút ra như sau:
 Thứ nhất là qua cách định hướng các em tự hệ thống hoá được các phương pháp để giải quyết cho cùng một bài tập, đồng thời các em nhận xét, áp dụng cách giải thích hợp cho từng kiểu bài toán.
 Thứ hai là nâng cao tính sáng tạo trong học tập, bước đầu giúp các em có phong cách nghiên cứu khoa học. Đặc biệt biết áp dụng vào giải các bài toán khác.
3.2. Ý kiến đề xuất.
 Rất mong các thầy cô giáo quan tâm, dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
 Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 15 tháng 4 năm 2018
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 Nguyễn Tăng Thi
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tác giả Phan Huy Khải, Nhà xuất bản Hà Nội.
2
Bất đẳng thức của giáo sư Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995
3
Giới thiệu đề thi tuyển sinh và đáp án vào các trường đại học trên toàn quốc từ năm 2002 đến năm 2005, tác giả Lê mậu Thảo, Võ Tường Huy, Nguyễn Văn Trí, Nhà xuất bản Hà Nội.
4
Tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức và cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, tác giả Võ Giang Giai, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 
5
Mạng Internet.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Tăng Thi
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 6
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
----------------------------------------------------