SKKN Tìm cách giải tối ưu cho bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ nhằm giúp học sinh lớp 10 vận dụng vào thi trắc nghiệm hiện nay

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong trường Trung học phổ thông. 
Năm học 2016 -2017 trở đi, Bộ giáo dục và đào tạo đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan của môn Toán vào kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Điều này khiến cho việc dạy của thầy và việc học của trò cũng có sự thay đổi ngay từ năm lớp 10. Học sinh cần được tiếp cận với nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, để từ đó tìm ra cách giải nhanh và chính xác nhất. 
Trước đây, với hình thức thi tự luận thì Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ được đưa vào đề thi Đại học – Cao đẳng ở mức vận dụng cao, chủ yếu cho học sinh khá, giỏi. Nhưng để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay, học sinh cần được rèn luyện câu hỏi dưới nhiều mức độ khác nhau (nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao) trong một khoảng thời gian ngắn. Thực tế, trong Sách giáo khoa Hình học 10, Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ ít được khai thác dẫn đến ban đầu tiếp cận các em còn lúng túng. Một số em bỏ qua không có hứng thú, một số em tự làm nhưng còn chậm, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề kể cả những bài tập cơ bản. 
Chính vì vậy, với suy nghĩ làm thế nào để giúp các em học sinh lớp 10 được làm quen với nhiều hướng tư duy khác nhau nhằm tìm ra cách giải nhanh nhất cho bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ. Đồng thời lôi cuốn được nhiều học sinh tham gia vào quá trình giải bài tập để các em cảm thấy đơn giản hơn trong việc giải bài tập trắc nghiệm môn Toán. Mặc khác giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Vì vậy, tôi chọn đề tài: 
" TÌM CÁCH GIẢI TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 10 VẬN DỤNG VÀO THI TRẮC NGHIỆM HIỆN NAY "
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp các em học sinh lớp 10 từ việc thụ động khi gặp bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ chuyển sang chủ động, ham thích được khám phá nhiều cách khác nhau. Từ đó, lựa chọn cách giải nhanh khi thi trắc nghiệm.
- Rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp các em phát triển, nâng cao năng lực tư duy.
- Nghiên cứu phương pháp giảng dạy môn Toán với quan điểm tiếp cận mới 
'' Phương pháp trắc nghiệm khách quan".
- Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, các đề thi.
- Phương pháp điều tra thực tiễn, thực nghiệm sư phạm: Quan sát việc dạy và học phần bài tập này thông qua tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng.
- Phương pháp thống kê.
1.4. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu các phương pháp giải và tìm phương pháp giải tối ưu cho bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ khi vận dụng vào thi trắc nghiệm. 
- Đối tượng áp dụng: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 10 của trường THPT Như Thanh trong năm học 2016 – 2017.
1.5. Điểm mới trong nghiên cứu. 
- Nghiên cứu bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ theo cách tiếp cận mới : vận dụng vào thi trắc nghiệm. Chính vì vậy, hệ thống các ví dụ phân tích và câu hỏi trắc nghiệm đưa ra theo các mức độ khác nhau nhằm hướng đến nhiều đối tượng học sinh giải quyết được bài toán này.
- Nghiên cứu bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ theo các cách giải khác nhau nhằm giúp học sinh tìm được cách giải nhanh cho từng loại câu hỏi .
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận.
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Giải bài tập Toán học là một biện pháp quan trọng để thực hiện nhiệm vụ dạy học, giúp học sinh đào sâu và mở rộng kiến thức một cách sinh động, phong phú. Thực tiễn giảng dạy cho thấy việc thực hiện giải bài toán bằng nhiều cách 
khác nhau, giúp học sinh không những nắm vững kiến thức mà còn hoàn thiện kỹ năng và hình thành kỹ xảo. 
Sự khác biệt giữa hình thức thi tự luận và hình thức thi trắc nghiệm khách quan là: Hình thức thi tự luận yêu cầu học sinh phải tự trình bày lời giải một cách tuần tự với đầy đủ các bước để tìm ra ẩn số của bài toán mà không bị bó buộc nhiều về thời gian. Trong khi đó, hình thức thi trắc nghiệm khách quan yêu cầu kiến thức có phạm vi rộng với nhiều dạng, ở nhiều mức độ và giải quyết trong một khoảng thời gian ngắn.Vì vậy, học sinh phải vận dụng cả kiến thức, kĩ năng, tư duy để tìm ra đáp án nhanh và chính xác nhất. 
Phương pháp giải tối ưu của một bài toán trắc nghiệm là phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu và cho kết quả nhanh nhất.
Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có liên quan đến các đối tượng hình học phẳng ( điểm, đường thẳng, đường tròn, elíp, hyperbol, parabol).
 2.2. Thực trạng của vấn đề.
	Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, gặp các bài toán khó thường bỏ qua, không có hứng thú.
	Trong quá trình giảng dạy chương trình Toán lớp 10 (năm học 2016-2017) của trường THPT Như Thanh, tôi nhận thấy " bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ" ít được sách giáo khoa đề cập đến. Ban đầu, học sinh chưa được tiếp cận với nhiều phương pháp giải nên chưa biết cách tìm phương pháp giải tối ưu cho bài tập này dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm. Điều này, khiến tôi mạnh dạn chọn đề tài này nhằm tháo gỡ các khúc mắc mà các em gặp phải. Từ đó, trang bị nhiều hướng tư duy khác nhau giúp các em thích ứng với thi trắc nghiệm hiện nay.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu.
Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản liên quan.
Bước 2. Tổ chức hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu cho hai bài toán sau:
- Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến khoảng cách.
- Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến biểu thức.
Ở mỗi bài toán, học sinh được định hướng tư duy theo hai hoặc ba cách để học sinh khai thác được tối đa kỹ năng làm toán. Cụ thể: phương pháp hình học, phương pháp đại số hoá (sử dụng các bất đẳng thức, sử dụng tính chất của hàm số bậc hai, sử dụng lượng giác hoá). Từ đó, so sánh để tìm cách làm nhanh nhất vào các dạng câu hỏi trắc nghiệm. 
 (Chú ý: có bài phải kết hợp giữa các phương pháp).
Bước 3. Tổ chức cho học sinh làm bài tập vận dụng dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm (giáo viên tổng hợp, nhận xét, đánh giá kết quả làm bài của học sinh).
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung. 	
Phần1. Hệ thống các kiến thức cần ghi nhớ.
1/ Một số tính chất về hình học phẳng :
- Tính chất đường xiên và hình chiếu. 
- Cách tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d.
- Cách tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.
- Cách xét hai điểm A, B nằm cùng phía (hoặc khác phía) đối với đường thẳng d...
2/ Các bất đẳng thức : 
- Bất đẳng thức Côsi: (điều kiện ). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 (a2 + b2 )( x2 + y2).
 Dấu "=" xảy ra khi .
- Bất đẳng thức về độ dài véctơ: 
 , dấu "=" xảy ra khi cùng hướng.
 , dấu "=" xảy ra khi cùng hướng.
- Bất đẳng thức về lượng giác: ;   (dấu "=" xảy ra khi ).
3/ Tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a >0) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
4/ Tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a < 0) đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
5/ Vectơ và các phép biến đổi vectơ: 
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: và với mọi điểm M ta có: .
- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: và với mọi điểm M , ta có: .
Phần2. Các bài toán và ví dụ cụ thể
 Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ liên quan đến khoảng cách
Bài toán 1. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho M cách điểm A cho trước một khoảng ngắn nhất.
	Đây là bài toán cơ sở cho các bài toán sau này. Học sinh được định hướng giải theo 3 cách: 
+ Cách 1: ( Phương pháp hình học) Sử dụng tính chất đường xiên và hình chiếu.
+ Cách 2: ( Phương pháp hàm số) Đại số hoá đưa về hàm số bậc hai.
+ Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. 
Qua đó, các em bước đầu làm quen với bài toán cực trị trong mặt phẳng. Cụ thể xét ví dụ sau:
Ví dụ. Cho điểm A(1; 0) và đường thẳng d: x +y +1 =0. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho MA ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên d. Khi đó: AM ≥ AH = d(A, d) = .
Vậy AM nhỏ nhất bằng khi M ≡ H .
Phương trình đường thẳng d' đi qua A và d'd là: - x + y + 1 = 0. Toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình: do đó M ≡ H(0; - 1).
Cách 2: Gọi M(t; - t - 1) d. Ta có: ≥. Do đó
 khi t = 0 hay M (0; -1).
Cách 3: Gọi M(a; b) d nên a +b +1=0 . Ta có , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: 
 ≥.Vậy khi hay 
M( 0;-1).
 Nhận xét 1. Cách 3 có phần tư duy khó hơn, đòi hỏi kỹ thuật tách ghép các biến hợp lí song lại tạo hứng thú cho các em học sinh khá giỏi khi sử dụng bất đẳng thức. Cách 2 đa số học sinh thấy dễ hiểu nhưng phải khéo léo khi gọi toạ độ của M theo phương trình của d. Khi sử dụng cách 1 học sinh rút ra được AM ngắn nhất bằng d(A, d) khi M chính là hình chiếu của A lên d.Việc tìm điểm M trở nên đơn giản, phù hợp với câu hỏi trắc nghiệm. 
Bài toán 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và d cách điểm B cho trước một khoảng lớn nhất.
Ví dụ. Cho điểm A( -1; 2), B( 1; 1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.
 Một số học sinh đã bắt đầu tự tìm cách tư duy hình học dựa vào tính chất đường xiên và hình chiếu hoặc tìm cách đại số hoá dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki tương tự Bài toán 1. Sau đó so sánh các cách để tìm ra cách giải nhanh.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của B lên d. Ta có d(B, d) = BH ≤ AB =. Suy ra, BHmin= khi H ≡ A. Đường thẳng d ^ AB có phương trình là: 2x - y + 4 = 0.
Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và có véctơ pháp tuyến , () là: a(x + 1) + b( y - 2) = 0. (1)
d(B, d) =. Vậy d(B, d)min = khi 
a = -2b. Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: -2x + y – 4 = 0.
Nhận xét 2. So sánh giữa hai cách thì cách 1 cho kết quả nhanh hơn vì học sinh rút ra được đường thẳng d đi qua A sao cho d( B, d ) lớn nhất khi d ^ AB tức là đường thẳng d nhận làm vectơ pháp tuyến.
Bài toán 3. Cho điểm M nằm trong đường tròn (C). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất.
Phân tích 
Giả sử d đi qua M và cắt (C) theo dây cung AB. Gọi  H là trung điểm của AB, khi đó: 
AB=2HA = 2. 
Cách 1: ( Phương pháp hình học) 
+ khi tức là I ≡ H. Khi đó đường thẳng d đi qua tâm I. 
+ khi , khi đó M ≡ H       ( Bài toán 2 )
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Ví dụ: Cho phương trình đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 3)2 = 25 và điểm 
M( 0;1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm I( 1; 3), bán kính R=5, IM = < R nên M nằm trong
đường tròn (C). Gọi H là hình chiếu của I lên d. Giả sử d cắt (C) theo dây cung. Ta có: AB = 2 HA = 2 .
Cách 1: Theo Phân tích trên ta được: 
+ AB lớn nhất khi I trùng H. Khi đó đường thẳng d đi qua hai điểm I, M cóphương trình: 2x – y + 1 = 0.
+ AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Dosuy ra IH lớn nhất khi H ≡ M. Đường thẳng d lúc này đi qua M và d ^ IM có phương trình: x + 2y -2 =0.
Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d đi qua M(0; 1) và có véctơ pháp tuyến , ( ) là: ax + by - b = 0 (2). Ta có d(I, d) = .
+) AB lớn nhất khi d(I, d) nhỏ nhất tức là a + 2b = 0. Thay vào (2) được phương trình của d: 2x – y +1 = 0.
+ AB nhỏ nhất khi d(I, d) lớn nhất. Ta có .
Vậy d(I, d)min = khi 2a = b. Thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: x +2y – 2 = 0.
Nhận xét 3. Rõ ràng việc tư duy hình học cho kết quả nhanh hơn. Nếu vận dụng vào câu hỏi trắc nghiệm học sinh chỉ cần chú ý đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) theo dây cung AB lớn nhất khi d đi qua tâm I, dây cung AB nhỏ nhất khi d ^ IM. 
Lưu ý: khi M nằm trên hoặc nằm ngoài đường tròn(C) thì không xảy ra trường hợp đường thẳng d đi qua M và cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Bài toán 4. Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho M cách điểm A cho trước một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất. 
Ví dụ. Cho phương trình đường tròn (C): ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 1 và điểm A(1; 2). Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho AM nhỏ nhất, lớn nhất.
Phân tích 1 
Cách 1( Phương pháp hình học): IA >R nên A nằm ngoài đường tròn (C) .Yêu cầu học sinh chỉ ra vị trí điểm M cần tìm trên hình vẽ.
Giả sử M1M2 là đường kính và M1 nằm giữa A, M2. 
+ MA lớn nhất khi M trùng với M2, vì: 
 . 
+ AM nhỏ nhất khi M trùng với M1, vì:
 .
Như vậy, MA nhỏ nhất, lớn nhất khi M thuộc d là đường thẳng đi qua tâm I và A.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng IA. Phương trình đường thẳng d: ( ).
Toạ độ giao điểm giữa d và (C) là nghiệm của hệ : 
 Giải ta được . 
Với ta được M1( 0; 2), với ta được M2( -2; 2).
Nhận thấy: M1A = 1, AM2 = 3. Vậy M1( 0; 2) là điểm cách A một khoảng nhỏ nhất và M2( -2; 2) là điểm cách A một khoảng lớn nhất.
Phân tích 2 
Cách 2: ( Phương pháp lượng giác hoá ). Xuất phát từ phương trình đường tròn
 ( x - a)2 + ( y –b)2 = R2 , ta đặt .Đưa yêu cầu bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác.
Hướng dẫn giải:
Đặt . Gọi M(; ) . 
AM = , do nên
 hay .
Kết luận : khi ta được M( 0; 2) và khi ta được M(- 2; 2).
Nhận xét 4. Nếu Bài toán 4 cho dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm thì khi dùng cách 1 học sinh không phải trình bày phân tích 1 mà chỉ cần chỉ ra MA nhỏ nhất, MA lớn nhất khi M thuộc đường thẳng đi qua tâm I và A. Song nếu câu hỏi trắc nghiệm chỉ yêu cầu kết quả của khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất thì việc dùng cách 2 để đánh giá sẽ nhanh hơn.
Bài toán 5. Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho M cách đường thẳng d cho trước một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất. 
Ví dụ. Cho phương trình đường tròn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 2 và đường thẳng d: x - y - 2 = 0 . Tìm điểm M trên đường tròn (C) khoảng cách từ M đến d nhỏ nhất, lớn nhất. 
Phân tích 
+ Phương pháp hình học: Ta có d(I, d) >R nên d không cắt (C). 
Gọi d' là đường thẳng đi qua tâm I, d' d tại H và d' cắt (C) tại hai điểm M1, M2 sao cho M1 nằm giữa H, M2.. Hạ , do nên: d(M, d) lớn nhất khi M trùng với M2, nhỏ nhất khi M trùng với M1. 
+ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : Gọi M(x0 ,y0 ) thuộc (C), suy ra ( x0 - a)2 + ( y0 –b)2 = R2. Học sinh cần khéo léo tách ghép các biến để sử
dụng được điều kiện ( x0 - a)2 + ( y0 –b)2 = R2.
+ Phương pháp lượng giác hoá : ( tương tự Phân tích 2 – Bài toán 4)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương trình đường thẳng d' : . 
Giải hệ phương trình giữa d' và (C) ta được . 
Với ta được M1(3; 2), với ta được M2(1; 4).
Nhận thấy và . 
Vậynhỏ nhất khi M1(3; 2) và lớn nhất khi M2(1; 4).
Cách 2: M(a; b)(C): (a -2 )2 + (b - 3)2 =2.
Tacó : 
 . 
Tương tự: khi M(3; 2), khi M(1; 4).
Cách 3: Gọi M(;) .Ta có .
Vậy khi M(3; 2).; khi M(1; 4).
Nhận xét 5. Việc yêu cầu học sinh giải Bài toán 5 bằng ba cách nhằm phát huy nhiều hướng tư duy cho học sinh. Cách 1 thuận lợi khi câu hỏi trắc nghiệm chỉ yêu cầu tìm điểm M (vì học sinh chỉ cần ghi nhớ d( M, d ) nhỏ nhất, d( M, d) lớn nhất khi M thuộc d' là đường thẳng đi qua tâm I và d' vuông góc với d). Lưu ý: khi d cắt (C) thì d(M, d) nhỏ nhất luôn bằng 0 khi M trùng với giao điểm của d và (C). Nhưng nếu câu hỏi trắc nghiệm chỉ hỏi kết quả của khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất thì việc đánh giá bất đẳng thức theo cách 3 nhanh hơn( vì lúc này không phải tìm điều kiện để dấu " = '' xảy ra).
Bài toán 6. Tìm trên Elíp (E) : điểm M sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất ( với hai điểm A, B cho trước).
Phân tích 
 , do AB không đổi nên lớn nhất khi quy về bài toán lớn nhất. Tương tự Bài toán 5
Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki).Gọi M(x0; y0 ) thuộc( E), suy ra . Học sinh cần khéo léo tách ghép các biến để sử dụng được
điều kiện .
Cách 2: (Phương pháp lượng giác hoá).Xuất phát từ phương trình Elíp, ta đặt: rồi đưa về đánh giá biểu thức lượng giác. 
Ví dụ. Cho Elíp (E) có phương trình: và đường thẳng d: . Gọi A, B là giao điểm của (E) và d. Tìm điểm M bất kì trên (E) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Ta có: , ta có: , do đó lớn nhất khi lớn nhất.
 Cách 1: Gọi M(a; b) thuộc (E):. Ta có:
 d(M, d)= 
Do đó lớn nhất bằng khi 
Cách 2: Gọi M(; ) . Ta có: 
 (vì ). Dấu " = " khi .
Nhận xét 6. Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá theo cách 2 dễ dàng hơn
( vì học sinh không cần phải tách ghép các biến như cách 1).
Bài toán 7. (Trích đề thi đại học khối A – năm 2009)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng: x + my -2m +3 = 0,với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Phân tích 
- Đường thẳngcắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi .
- Để xét diện tích tam giác IAB lớn nhất, ta phân tích hai cách như sau:
 Cách 1:  Sử dụng bất đẳng thức lượng giác. ( vì )
Suy ra lớn nhất bằng khi hay .
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. Gọi H là trung điểm của AB.
Dấu "=" xảy ra khi
 .
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(- 2; -2), bán kính . 
Điều kiện để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là .
Cách 1: Theo phân tích trên, diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1 khi 
 .
 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. Theo phân tích trên diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1 khi. Ta được .
Nhận xét 7. Cả hai cách đều quy về tìm điều kiện của m để . Nếu bài toán này hỏi dưới dạng trắc nghiệm thì rõ ràng việc tìm lớn nhất bằng theo cách 1 nhanh hơn, dễ hiểu hơn.
 Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến biểu thức
Bài toán 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d. Tìm trên d điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Phân tích 
+ Khi sử dụng phương pháp hình học, học sinh cần đưa bài toán về một trong hai trường hợp.
Trường hợp1: A, B nằm về hai phía đối với d. 
Khi đó MA +MB AB ( không đổi)
 MA +MB nhỏ nhất bằng AB khi A, B, M thẳng hàng tức M trùng với giao điểm I của d với đường thẳng AB.
Trường hợp2: A, B nằm cùng phía đối với d. 
Lấy A' đối xứng với A qua d, khi đó:
MA +MB = MA' +MB A'B (khôngđổi)
(MA+ MB) min =A'B khi A', B, M thẳng hàng hay M trùng với giao điểm I của A'B và d.
 + Sử dụng bất đẳng thức về độ dài vectơ: Để áp dụng được bất đẳng thức học sinh cần khéo léo chọn được sao cho và không đổi.
Ví dụ. Cho hai điểm A(1; 1) và B( -2; -4). Tìm trên d: x + y = 0 điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất .
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Đặt . Ta có nên A, B khác phía đối với d. 
Lí luận như TH1, ta được (MA +MB)min = AB = khi M là giao điểm của d với đường thẳng AB.
 Phương trình đường thẳng AB: 5x -3y -2 = 0 .
Cách 2: Gọi M( t; - t) thuộc d, khi đó: 
Ta có thể chọn . Khi đó: 
, dấu " =" xảy ra khi cùng hướng
.
Bài toán 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d. Tìm trên d điểm M sao cho lớn nhất.
Phân tích 
+ Khi sử dụng hình học, đưa bài toán về một trong hai trường hợp.
Trường hợp1: A, B nằm về cùng phía đối với d. Khi đó lớn nhất bằng AB khi A, B, M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB hay M trùng với giao điểm I của AB và d.
Trường hợp2: A, B nằm về hai phía đối với d. Lấy A' đối xứng với A qua d. Khi đó lớn nhất bằng A'B khi A', B, M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn A'B hay M trùng với Mo là giao điểm của d và A'B.
+ Sử dụng bất đẳng thức về độ dài vectơ: Để áp dụng được bất đẳng thức học sinh cần khéo léo chọn được sao cho và không đổi.
Ví dụ. Cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0, A(1; 2), B(0; -1). Tìm điểm M thuộc d sao cho lớn nhất. 
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Nhận thấy A, B cùng phía đối với d. Theo TH1, , khi M là giao điểm của AB và d