SKKN Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá

MỤC LỤC
Mục
 Nội dung
Trang
1. MỞ ĐẦU
1
1.1.
Lý do chọn đề tài
1
1.2.
Mục đích nghiên cứu
1
1.3.
Đối tượng nghiên cứu..
2
1.4.
Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
2.1.
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.2.
Thực trạng.
4
2.3.
Giải pháp và tổ chức thực hiện. 
5
2.4.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
16
Kết luận..
16
Kiến nghị
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
17
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
THCS: Trung học cơ sở
THPT: Trung học phổ thông
TW: Trung ương
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài:
 Toán học là một môn khoa học cơ bản, được rất nhiều người quan tâm và nghiên cứu. Với vai trò là môn học công cụ để phát triển tư duy logic, môn toán góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. 
Do vậy, dạy Toán như thế nào để học sinh nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống và nâng cao, phát triển để các em hứng thú say mê trong học tập là câu hỏi mà mỗi nhà giáo luôn phải đặt ra và tìm mọi cách để trả lời.
 	Qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy toán ở các khối lớp trường THCS, tôi nhận thấy nhiều em học sinh khối 9 khi học môn hình học, mặc dù kiến thức cơ bản đã nắm chắc, nhưng khả năng vận dụng những kiến thức đó vào giải các bài tập là chưa cao. Trước thực tế đó, để giúp học sinh hình thành thói quen tìm tòi và vận dụng sáng tạo kiến thức đã học, tôi đã cho học sinh tiếp cận dần bằng cách cho học sinh làm các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra khi giải quyết xong các bài tập, học sinh biết phân chia các dạng bài tập ở các mức độ từ dễ đến khó. Sau đó hệ thống và phân dạng bài tập, các phương pháp giải cho mỗi dạng bài tập. Riêng đối với học sinh khá, giỏi cần phải biết tổng quát, phát triển, mở rộng bài toán từ bài toán ban đầu.
 	Đối với học sinh lớp 9, tuy đã quen với cách học toán, nhưng khi gặp các dạng toán như: Tìm quỹ tích; dựng hình; chứng minh tứ giác nội tiếp và vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh hệ thức,  thì học sinh còn rất lúng túng. Đối với các dạng toán chứng minh liên quan đến tứ giác nội tiếp, đây là các dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 9 và các đề thi vào lớp 10 THPT hàng năm. Do mới được làm quen với dạng toán này ở cuối chương trình Hình học lớp 9 với thời gian còn hạn chế; các phương pháp chứng minh chưa được trình bày đầy đủ trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9 nên gây không ít khó khăn cho học sinh trong việc tiếp cận và làm quen với các dạng toán này. Trước yêu cầu thực tế cần rèn luyện cho học sinh nắm vững lý thuyết và vận dụng giải tốt dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài tập liên quan, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”
Mục đích nghiên cứu:
 Mục đích nghiên cứu đề tài là:
Cung cấp cho học sinh lớp 9 một số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa, giúp học sinh thành thạo trong việc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp và vận dụng vào các bài toán liên quan.
Qua các dạng toán này giúp cho học sinh được ôn lại các kiến thức đã học ở các lớp dưới. Đặc biệt là được ôn lại nội dung của chương III: Góc với đường tròn. 
Qua mỗi bài tập giúp cho học sinh biết cách nhận xét, sử dụng giả thiết bài toán tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài. Qua gợi mở của giáo viên, học sinh tìm nhiều hướng giải khác nhau. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất, phù hợp nhất đối với các em. Cuối cùng học sinh phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát thành các phương pháp chứng minh.
Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hóa trong năm học 2016 – 2017. 
Phương pháp nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi vận dụng kết hợp một số phương pháp sau:
Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu.
Phương pháp phân tích đi lên.
Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh.
Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau.
Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên đề theo nội dung đề tài.
Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định: "Phải đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''. Cho đến nay, Nghị quyết TW số 29 tại Hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nhấn mạnh: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.”
Định hướng này đã được pháp chế hoá trong Luật giáo dục, điều 24 mục II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh".
Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay, nhìn chung tất cả các môn học đều giúp học sinh tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng. Đặc biệt với môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại. Trong đó, chứng minh tứ giác nội tiếp yêu cầu học sinh phải có khả năng phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết các giả thiết với nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán học. Những bài toán dạng này hầu hết là khó với học sinh nên đòi hỏi giáo viên phải xây dựng được hệ thống bài tập và các phương pháp giải tỉ mỉ, ngắn gọn. Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 9 bậc THCS một số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa. Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS tôi đã mạnh dạn viết đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Thuận lợi:
Được sự quan tâm của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường, đã tạo điều kiện cho giáo viên được tổ chức các hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao.
Nhà trường đã tổ chức triển khai các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học do đội ngũ giáo viên cốt cán đi tiếp thu tại Sở và Phòng giáo dục, đã tổ chức dạy thực nghiệm tại trường.
Phần lớn học sinh hiếu học, ham thích tìm hiểu kiến thức môn hình học.
Khó khăn:
Một bộ phận học sinh chưa thật sự hiểu rõ tầm quan trọng của toán học trong học tập và cuộc sống, kiến thức về hình học của nhiều em còn rỗng. Kỹ năng vẽ hình, chứng minh đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn. 
Trường THCS Lê Lợi tuy đóng trên địa bàn gần trung tâm Thành phố Thanh Hóa, nhưng đại bộ phận dân cư sống chủ yếu bằng nghề tự do, buôn bán nhỏ lẻ, nên thời gian và sự quan tâm của phụ huynh đến điều kiện học tập của các em còn chưa cao.
Qua thực tế trước khi thực hiện áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra tình hình, thực trạng học tập môn Hình của học sinh lớp 9A3 và 9A4 trường THCS Lê Lợi thông qua việc kiểm tra miệng lý thuyết, thăm dò sở thích của học sinh và bằng bài kiểm tra:
Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại N. Hai dây AF và BE cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
Tứ giác FNEM nội tiếp.
Tứ giác CDFE nội tiếp.
Qua khảo sát tôi nhận thấy trong khi chứng minh tứ giác nội tiếp các em còn mắc những sai lầm đáng tiếc vì thế nên có kết quả còn thấp cụ thể như sau :
Bảng khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Bảng 1:
Tổng 
số 
HS
Điểm
9 - 10
Điểm 
7- 8
Điểm 
5 - 6 
Điểm 
3 - 4
Điểm 
0 – 2
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
78
4
5.1
6
7.7
30
38.5
28
35.9
10
12.8
Từ kết quả khảo sát trên tôi thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 51,3%, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu còn cao 48,7%. Tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi rất ít. Học sinh còn lúng túng trong cách chứng minh, trình bày chứng minh chưa thật sự chặt chẽ và chủ yếu học sinh mới sử dụng định nghĩa để chứng minh được tứ giác nội tiếp mà chưa có cách làm nào khác được sử dụng. Do đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở, tìm tòi và đã mạnh dạn đưa ra để chia sẻ, cũng như mong muốn các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôi hoàn thiện đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”.
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Qua các tiết dạy trên lớp, tiết ôn tập, giáo viên tiến hành khảo sát, so sánh, đối chiếu qua thực tế bài tập học sinh làm và các bài kiểm tra.
Giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một bài toán.
Giáo viên hướng dẫn học sinh tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải.
Qua các ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh.
Học sinh học lí thuyết một cách chủ động, chủ yếu là chương III: “Góc với đường tròn”.
A. Lý thuyết.
Học sinh được ôn tập về các kiến thức ở các lớp (Thông qua các bài tập), đặc biệt là:
Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Số đo cung.
Cung chứa góc.
Tứ giác nội tiếp.
Khái niệm tứ giác nội tiếp: 
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Hình 1
Định lý:
Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.
 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Û hay 
Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: 
+ Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp; 
+ Phương pháp 2: Dựa vào định lí đảo tứ giác nội tiếp;
+ Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc; 
+ Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích; 
B. Bài tập minh hoạ:
Chú ý: 
Để học sinh có thể chứng minh tốt một bài toán hình, chúng ta cần tích cực rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau: 
Kỹ năng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận.
Kỹ năng suy luận và chứng minh, kỹ năng tính toán.
Kĩ năng suy luận ngược từ cuối để tìm ra cách chứng minh bài toán 
Hình vẽ đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, do đó khi vẽ hình cần lưu ý cho học sinh:
Hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh dễ tìm ra lời giải. Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt.
Khi vẽ hình thì phải vẽ hết các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. 
Sau khi vẽ hình xong nên đánh dấu các giả thiết lên hình vẽ. Như vậy việc chứng minh sẽ đơn giản, dễ dàng hơn.
Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai dây AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Chứng minh: 
Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.
Nhận xét: 
Để chứng minh tứ giác FNEM nội tiếp ta phải chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn. 
Chứng minh: 
 	Gọi I là trung điểm của NM. 
 Ta có:(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
 => (kề bù với )
 => là tam giác vuông tại F. Có FI là đường trung tuyến 
 => IF = IN = IM (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông). (1)
Tương tự: IN = IM = IE (2)
Từ (1) và (2) suy ra IF=IE=IN=IM => Bốn điểm F, N, E, M nằm trên đường tròn. Hay tứ giác FNEM nội tiếp.
Kết luận: Có những bài toán ta chứng minh tứ giác nội tiếp không cần tìm vị trí của tâm, song một số bài toán ta có thể tìm được tâm cụ thể.
Có 2 cách để tìm vị trí tâm I của đường tròn thông qua các nhận xét sau như sau:
Ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền.
Ví dụ: Như bài tập trên, ta thấy tứ giác FNEM có góc NFM là góc vuông vậy trung điểm I của cạnh NM chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FNEM.
Vẽ đường trung trực của 2 đoạn thẳng bất kì nối 2 đỉnh bất kì của tứ giác, giao điểm của 2 đường trung trực đó chính là tâm của đường tròn . Đây là cách làm được đối với tất cả các bài toán. 
Ví dụ: Điểm I chính là giao điểm của hai đường trung trực của ME và EN. Khi vẽ xong ta cần nhìn vào hình vẽ để xác định xem vị trí điểm I có gì đặc biệt không? ở bài tập trên thì vị trí đặc biệt của điểm I là trung điểm của cạnh MN.
Phương pháp 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng 1800) 
Nhận xét:
Ta phải chứng minh tổng 2 góc đối (hoặc ) bằng . Với mỗi cặp góc đó thì mỗi góc là góc gì của đường tròn. Với cặp góc đầu ta thấy góc NEM không phải là góc nào của đường tròn.Nhưng góc kề bù với góc này (góc BEA) là góc nội tiếp (chắn nửa đường tròn). Vậy ta cũng sẽ tính được góc NEM.
Chứng minh:
Ta có:(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 => (Kề bù với )
Tương tự: .
Suy ra: 
=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Chú ý: Ta có thể chứng minh theo cách khác:	
nhỏ
 sđ
sđ
Lớn
Ta có: (Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn).
sđ
nhỏ
Lớn
sđ
 (Tính chất của góc có đỉnh bên trong đường tròn).
Suy ra: 
=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Kết luận:
	- Với cách chứng minh này, ta chỉ cần nhận ra các góc của tứ giác có đặc điểm gì đặc biệt là góc gì của đường tròn (Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn), sau đó dựa vào tính chất của các góc sẽ tìm ra lời giải (Kiến thức này học sinh mới được học nên dễ nhận biết, học sinh thường dùng).
Phương pháp 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc .
Chứng minh:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => 
Tương tự: 
Xét có BF và AE là đường cao. Mà BF và AN cắt nhau tại điểm M 
Suy ra M là trực tâm của tam giác ABN
 => mà (Tính chất tiếp tuyến) suy ra //
 => (Hai góc đồng vị) (1)
Mà (Cùng phụ với góc FBD) (2) 
 (Cùng chắn cung nhỏ AF) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra 
Như vậy 2 điểm N và E cùng nhìn đoạn thẳng FM dưới một góc không đổi. 
Nên tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Chú ý:
Cách làm này học sinh hay mắc sai lầm như sau: Học sinh chỉ ra “hai đỉnh đối diện của một tứ giác cùng nhìn cạnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp”. Khẳng định này là sai. Điều này chỉ đúng khi góc nhìn đó là góc vuông.
 Nhận xét: 
Nhận xét mối liên hệ giữa các góc của tứ giác xem là góc gì của đường tròn. Sau đó phân tích tìm hướng chứng minh.
Ở câu b ta thấy rằng nếu sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng quỹ tích cung chứa góc để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp thì sẽ rất khó khăn chính vì vậy ta lựa chọn sử dụng phương pháp thứ hai để chứng minh. Với phương pháp này ta cũng có rất nhiều hướng đi để đưa tới kết quả tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800
Cách 1: 
Ta có: (Cùng phụ với góc FBD) 
 ( Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AF)
 ( Vì cùng bằng góc FBA)
Mà suy ra suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.
Cách 2:
sđ
sđ
sđ
sđ
nhỏ
nhỏ
nhỏ
Lớn
- Ta có: (1)
 ( T/c góc có đỉnh bên ngoài đường tròn).
nhỏ
sđ
 (2) (Tính chất góc nội tiếp).
Từ (1) và (2) suy ra 
 Mà suy ra suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.
Cách 3: 
Ta đi chứng minh cho tổng hai góc DFE và góc DCE bằng .
Nhận xét:
 Dễ dàng nhận thấy góc DFE không phải là góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong, hay góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Nhưng góc kề bù với góc này là góc AFE là góc nội tiếp của đường tròn, ta sẽ dựa vào góc này.
Chứng minh: 
Lớn
sđ
Ta có: (Tính chất góc nội tiếp).
Lớn
nhỏ
sđ
sđ
sđ
nhỏ
 (Tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn).
nhỏ
Lớn
sđ
sđ
sđ
Suy ra: (1)
Mà kề bù với (2); kề bù với (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó. 
Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Ta nhận thấy rằng tứ giác BHCD có 2 đường chéo Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành CD // BH , CH // BD 
Mà 
A
E
C
D
B
F
H
M
I
O
Chứng minh: 
Cách 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp. 
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD
Vì ACD vuông tại C nên CO = AO = OD = (Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy). 
Tương tự BO = AO = OD = 
OA = OC = OD = OB 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O.
Cách 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng 1800) . 
Ta có nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn. 
Cách 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc .
Ta có 
 Điểm B và C cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một góc bằng 900 nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn. 
Ta thấy rằng nếu chứng minh nhiều điểm từ 5 điểm trở lên cùng thuộc một đường tròn ta chọn 3 điểm nào đó làm gốc, nối điểm thứ 4 với 3 điểm này rồi chứng minh 4 điểm đó là đỉnh của một tứ giác nội tiếp. Sau đó lại chứng minh 3 điểm gốc kết hợp với điểm thứ 5 là đỉnh của một tứ giác nội tiếp, cứ tiếp tục tới điểm cuối cùng. Vì tất cả các điểm đó đều nằm trên một đường tròn đi qua 3 điểm gốc nên tất cả các đường tròn đó đều trùng nhau. 
Chứng minh: Ta có nên 3 điểm I, F ,H nằm trên đường tròn đường kính AH.
Và ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên . 
5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Kết luận:
Qua hai bài toán trên ta thấy:
Để chứng minh tứ giác nội tiếp, sau khi vẽ hình (chính xác) ta nhìn hình vẽ xem có một trong 4 góc của tứ giác có góc nào vuông hay không? 
Nếu có thì sẽ còn một góc vuông nào nữa? Khi đó ta sẽ đi chứng minh cho 2 góc đó bằng (Nếu có thể). 
Nếu không có thì ta đi chứng minh cho 2 điểm là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống đoạn thẳng là một cạnh của tứ giác một góc bằng nhau (Tức là quay về dạng toán chứng minh 2 góc bằng nhau) hoặc chứng minh cho tổng 2 góc đối bằng .
Chú ý:
Khi chứng minh ta chia ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Hình vẽ có đường tròn. 
Ta sẽ chứng minh bằng cách: Xem các góc của tứ giác là góc gì của đường tròn. Dựa vào tính chất của các góc và giả thiết của đề bài ta tìm ra mối liên hệ để đi chứng minh.
Trường hợp 2: Hình vẽ không có đường tròn.
Nếu hình vẽ không có đường tròn, ta sẽ sử dụng các giả thiết của đề để chứng minh.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính CM. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
ABCD là tứ giác nội tiếp
.
CA là tia phân giác của góc SCB.
Nhận xét: 
Đây là bài tập mà hình vẽ có đường tròn.
Nhìn hình vẽ ta thấy có (gt)