SKKN Rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳng thức ở lớp 10 trường THPT

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dưới sự hướng dẫn của thầy, học sinh có thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ tìm cách giải quyết vấn đề”.
	Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giải bài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT là rất đa dạng và phong phú và có thể nói là khó; được sử dụng nhiều trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế... Vì thế thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường phổ thông ta có thể rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Vì những lí do nêu trên tôi quyết định chọn đề tài SKKN là: “Rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳng thức ở lớp 10 trường THPT’’
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề và xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ đó đề xuất các phương thức nhằm rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT .
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là tập trung tìm hiểu về giải pháp để nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT (lớp 10) đồng thời đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thì sẽ góp phần triển khai đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông.
4. Phương pháp nghiên cứu 
Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn Toán làm cơ sở để xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ đó đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT.
Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu để đề ra các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. Để minh họa ta xét ví dụ sau: 
Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Có thể thấy rằng tri thức phản ánh trong sự vật thể hiện qua bài toán này có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai,... Để tiến hành hoạt động giải toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y. 
Ta nhận thấy biểu thức có thể đưa về dạng , khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể được giải quyết (mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:
và 
Như vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt được mục tiêu:
Với mà 
Từ đó dễ dàng suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2.
Bài toán 2. Cho các số thực . Chứng minh rằng: 
Nếu thì .
Ta có thể biến đổi giả thiết như sau
 (Vì nên ).
Đồng thời việc chứng minh tương đương với việc chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt.
Từ đó việc giải bài toán này quy về giải bài toán đơn giản hơn.
Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua hoạt động trí tuệ, thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Chẳng hạn, xét bài toán: 
Bài toán Cho hai số thực x và y. Chứng minh rằng: 
Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy liên quan là một tam thức bậc hai ẩn (là tham số):
Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn (là tham số) ở vế trái luôn không âm với mọi ta cần chứng minh: 
Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán 1 và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới.
Cũng không loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán 1 như sau: 
2.1.2. Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
a) Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề.
Bài toán 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Để giải bài toán này trước hết chúng ta dự đoán dấu bằng ở bất đẳng thức trên xảy ra khi (Do vai trò của là như nhau, do đó ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy, như sau 
.
(Để đảm bảo khi thì dấu bằng ở bất đẳng thức này xảy ra)
Tương tự:
.
Từ đó suy ra
.
Bài toán 2. Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Để giải được bài toán này, chúng ta dự đoán: “Vì vai trò của và trong bài toán bình đẳng nên khi đạt giá trị nhỏ nhất tại ”; đưa vào tham số thực dương và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
 (với).
Để sử dụng giả thiết , ta cần chọn m sao cho
.
Do đó, ta có thể giải bài toán như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Từ đó suy ra 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 4.
b) Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn đề. 
Bài toán 1. Cho các số thực thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Ta có thể dùng các suy luận sau để giải bài toán này: “Vì vai trò của và trong bài toán bình đẳng; đồng thời vai trò của và trong bài toán bình đẳng nên ta dự đoán dấu bằng ở xảy ra khi ; . 
Do đó ta biến đổi vế trái của (1) như sau: 
Suy ra 
Lại tiếp tục biến đổi vế phải của :
 (Vì )
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
c) Kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.
Bài toán. Cho ba số thực . Chứng minh rằng
Khi gặp bài toán này nếu ta biết biến đổi vế trái 
và nghĩ đến bất đẳng thức 
thì ta có thể giải được bài toán như sau
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xét vectơ
.
Suy ra
Hay 
d) Kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải quyết vấn đề đó
Bài toán. Cho là ba số dương và 
Chứng minh rằng .
+) Nếu nhìn nhận vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là tổng độ dài của ba vectơ thì ta có thể giải bài toán như sau
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xét ba vectơ .
Ta có và .
Suy ra .
Mà 
 .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
+) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có thể giải bài toán như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
 .
Tương tự, ta có
.
Từ đó suy ra 
.
Mà 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dựa trên những phân tích về kỹ năng và sự hình thành kỹ năng SKKN đã xác định được một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích và minh họa các kỹ năng đó. Từ đó, khẳng định việc rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳng thức lớp 10 THPT là cần thiết và có thể thực hiện được.
2.2 Thực trạng của vấn đề
	Đối với đa số các em học sinh khi nói đến Bất đẳng thức các em luôn cho đó là vấn đề khó, thường không đầu tư thời gian vào học tập và nghiên cứu thậm chí nhiều em còn bỏ qua phần này; Hơn nữa để dạy phần này có hiệu quả giáo viên cần phải đầu tư nhiều công sức thời gian để sưu tầm biên soạn các bài toán theo chủ đề theo dạng; Hơn nữa có quá nhiều dạng, mỗi bài còn có những cách biến đổi khác nhau; đó là chưa kể khi giảng dạy, chính giáo viên cũng không nhớ cách biến đổi, mà có nhớ thì học sinh sẽ tiếp thu một cách thụ động.
	Khi chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, theo phương pháp cũ, học sinh bị thụ động bởi cách giải, những biến đổi quá phức tạp, phải nhớ rất nhiều các bất đẳng thức và áp dụng chúng thật khéo mới có thể làm được bài toán yêu cầu.
2.3 Một số phương pháp nhằm rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần Bất đẳng thức ở trường THPT 
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoán.[1]
	Tác dụng của phương thức này là nhắc nhở học sinh luôn quan tâm tới các dự đoán có cơ sở khi giải một số bài toán về bất đẳng thức.
Trong quá trình dạy học môn Toán, nhiều lúc người giáo viên thể hiện sự áp đặt về mặt kiến thức. Sở dĩ họ áp đặt về mặt kiến thức vì họ không tài nào lí giải cho học sinh hiểu tại sao ta lại tiến hành biến đổi bài toán theo cách ta đang làm, chẳng hạn như đối với bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hai số thực dương và thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Đa số giáo viên chỉ dừng lại ở việc đưa ra lời giải: 
Vậy , khi 
mà không quan tâm tới việc lý giải hoặc yêu cầu học sinh giải thích tại sao lại giải như thế. 
Thực ra mấu chốt ở đây là việc dự đoán sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi 
a) Dự đoán bằng khái quát hóa.[2]
Ví dụ 1. Từ bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm: “Với mọi ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ” và bất đẳng thức Cauchy đối với ba số không âm: “Với mọi ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi”, bằng khái quát hóa ta có dự đoán: “Với mọi ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ”.
Ví dụ 2. Để giải bài toán: “Chứng minh rằng với mọi tam giác, ta có ”, ta có thể nghĩ đến việc giải bài toán tổng quát hơn: “Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng với mọi tam giác , ta có ”. Ta có thể giải vắn tắt bài toán tổng quát này như sau: “Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Bài toán ban đầu là một trường hợp cụ thể của bài toán tổng quát , nhưng việc tìm lời giải bài toán ban đầu là khó hơn rất nhiều so với việc tìm lời giải bài toán tổng quát.
b) Dự đoán bằng đặc biệt hoá.[3]
Bài toán. Cho số nguyên . Giả sử số dương thỏa mãn bất đẳng thức .
Hãy chứng minh ba số bất kì với là độ dài các cạnh của một tam giác.
Để giải được bài toán này chúng ta phải hiểu điều cần chứng minh là: chứng minh ba số bất kì với là độ dài các cạnh của một tam giác nghĩa là ta cần chứng minh . Để chứng minh trực tiếp điều này là rất khó vì thế ta thử chứng minh bài toán khi :
“Với, bất đẳng thức trên có dạng
Vì vai trò các số bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 
Từ và suy ra 
Từ và suy ra là độ dài các cạnh của một tam giác”. 
Như vậy việc chứng minh bài toán khi là thực hiện được. Nhưng điều quan trọng nhất là dựa vào kết quả của bài toán khi , ta có thể giải được bài toán như sau:
Với bài toán đã được chứng minh.
Với , và số dương thỏa mãn điều kiện bài toán. Lấy ba số bất kì trong số đó. Vì vai trò các số là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể coi rằng ba số lấy ra là .
Theo điều kiện bài toán và theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
Suy ra .
Theo trường hợp , ta có là độ dài các cạnh của một tam giác.
c) Dự đoán bằng tương tự hóa.[2]
Chẳng hạn khi gặp bài toán: “Cho số nguyên dương . Giả sử là các số dương sao cho: 
Chứng minh rằng là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi và ”, Chúng ta nghĩ ngay tới bài toán tương tự ở 2.3.1.2. Vậy liệu ta có thể giải bài toán này tương tự như với bài toán đó hay không?
Câu trả lời là có thể, và sau đây là lời giải:
Với , bất đẳng thức trên có dạng
Vì vai trò các số bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Khi đó ta chỉ cần chứng minh 
Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng. 
Thật vậy: giả sử , khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
Mâu thuẫn với giả thiết vậy 
. 
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy Hay là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Với, và số dương thỏa mãn điều kiện bài toán. Lấy ba số bất kì trong số đó. Vì vai trò các số là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể coi rằng ba số lấy ra là .
Theo điều kiện bài toán và theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
Đặt 
Ta có 
Do đó 
Hay 
Suy ra: 
Hay 
Vì vậy theo trường hợp, ta có là độ dài ba cạnh của một tam giác.
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh thói quen làm rõ phương pháp giải quyết một vấn đề cụ thể sau khi đã giải quyết vấn đề đó.
	Mục đích của phương thức này là nhấn mạnh tri thức phương pháp trong hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức 
Thật vậy:
Dễ thấy: “Trong 3 số bất kỳ luôn tồn tại hai số 
sao cho hoặc ”
Từ nhận xét này và vai trò trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . Khi đó ta có 
Ta sẽ chứng minh: 
Thật vậy:
 luôn đúng
Từ và suy ra: . 
Từ cách giải bài toán này ta có thể rút ra một phương pháp để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng (Biểu thức có chứa vai trò trong bài toán bình đẳng) là: 
Dựa vào bổ đề: “Trong 3 số bất kỳ luôn tồn tại hai số 
 sao cho hoặc ” (là số thực bất kỳ)” 
suy ra .
Sau đó chứng minh Từ đó suy ra 
Vận dụng phương pháp này ta có thể giải được rất nhiều bài toán, chẳng hạn:
Ví dụ 2. Cho là các số thực không âm thoả mãn . 
Chứng minh rằng: 
Chứng minh
Do vai trò trong bài toán trên là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . Khi đó ta có: 
Ta đi chứng minh cho 
Thật vậy:
Từ và ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho thoả mãn 
Chứng minh rằng: 
Thật vậy
Do vai trò trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . Khi đó ta có: 
Mặt khác từ ta có 
Từ và suy ra:
Ta sẽ chứng minh 
 luôn đúng
Từ và suy ra 
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.
	Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, sao cho nếu giải được bài toán này thì sẽ giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải bài toán đơn giản đó).
Chẳng hạn: 
Bài toán 1. Cho và là hai số thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh: .
+) Để giải bài toán này học sinh có thể viết lại giả thiết dưới dạng:
 ; Đồng thời biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương 
đương với:
.
Từ đó suy ra nếu là hai số thỏa mãn điều kiện đầu bài thì điểm nằm trên đường tròn tâm và bán kính là 3.
Vậy bài toán trở thành : Chứng minh rằng với mọi điểm nằm trên đường tròn nói trên thì : 
Nối cắt đường tròn tại . Hiển nhiên ta có: . 
Do nên 
Và : . Suy ra : .
+) Để giải bài toán này học sinh cũng có thể biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Do đó ta cần chứng minh .
, đúng (theo bất đẳng thức Bunyakovsky).
Bài toán 2. Cho ba số thực . Chứng minh rằng
Để giải bài toán này ta có thể nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Xem vế trái của bất đẳng thức này là tam thức bậc hai ẩn 
Như vậy ta cần chứng minh với mọi. 
Để chứng minh điều này ta có thể nghĩ đến việc biến đổi z về dạng
 xem là tam thức bậc hai ẩn 
Có . 
Từ đó suy ra 
Bài toán 3. Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Để giải bài toán này ta phải biến đổi bài toán về dạng thuận lợi hơn, chẳng hạn chứng minh với là một biểu thức chỉ chứa một biến: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, xét 
Ta có 
Do đó 
(Dấu bằng ở bất đẳng thức này xảy ra khi là số tlà số thực bất kì).
Như vậy bài toán giải được khi ta giải được bài toán: “Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ”. Bài toán này đơn giản hơn bài toán ban đầu, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số tại 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là .
2.3.4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải.
Bài toán 1. Chứng minh rằng, nếu và thì 
Để giải bài toán này học sinh có thể định hướng theo một trong các cách sau:
Định hướng 1. Để chứng minh một bất đẳng thức thì định hướng đầu tiên ta có thể nghĩ đến là biến đổi bất đẳng thức đó tương đương với một bất đẳng thức đúng có dạng tích của các số không âm luôn không âm hoặc tổng của các số không âm luôn không âm từ đó ta có thể chứng minh theo các cách sau:
Cách 1. .
Cách 2. Vì vai trò của a và b trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: . Khi đó
(1) (Bất đẳng thức này đúng vì nên và ).
Cách 3. (1) .
Định hướng 2. Để chứng minh một bất đẳng thức thì định hướng thứ hai ta có thể nghĩ đến là dựa vào các bất đẳng thức đúng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 
+) Dựa vào giả thiết của bài toán ( và ) và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cauchy. Tùy thuộc vào khả năng vận dụng khéo léo bất đẳng thức Cauchy của học sinh mà các em có thể chứng minh theo các sau: 
Cách 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Cộng theo vế và ta có điều phải chứng minh.
Cách 5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Cộng theo vế và ta có điều phải chứng minh.
Cách 6. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Cộng theo vế và , kết hợp với ta có điều phải chứng minh.
+) Một bất đẳng thức đúng khác mà học sinh THPT có thể nghĩ đến là bất đẳng thức Bunyakovsky. Nếu học sinh nhận ra được mối quan hệ thì học sinh có thể chứng minh theo cách sau:
Cách 7. Nếu thì trở thành , đúng (vì ).
 Nếu thì trở thành, đúng (vì ).
 Nếu thì áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
 (Vì ).
Định hướng 3. Để chứng minh một bất đẳng thức thì định hướng thứ ba ta có thể nghĩ đến là biến đổi đưa về bài toán dạng: “Chứng minh , trong đó t là một biểu thức nào đó và thỏa mãn điều kiện nào đó”.
Dựa vào đặc điểm tổng số mũ của a và b trong các số hạng ở hai vế của đều bằng 3, ta có thể biến đổi (1) về dạng trên với (khi ). Từ đó ta có cách giải sau:
Cách 8. Nếu thì trở thành , đúng (vì ).
 Nếu thì 
Đặt , bất đẳng thức trở thành: 
Để chứng minh ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số 
 trên , từ đó suy ra điều phải chứng minh hoặc biến 
đổi: .
Định hướng 4. Nếu nhìn nhận bất đẳng thức cần chứng minh có dạng bất đẳng thức đối xứng hoặc dạng bất đẳng thức thuần nhất thì ta có thể chứng minh theo các cách sau:
Cách 9. Đặt 
Khi đó (1) trở thành: .
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Cách 10. Ta chuẩn hóa 
 hay . Khi đó:
.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2. Cho hai số thực và thỏa mãn Chứng minh rằng 
.
Cách 1. Từ giả thiết suy ra 
Do đó , đúng.
Cách 2. Vì nên , đúng.
Cách 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
.
Tương tự ta có 
Từ đó suy ra .
Cách 4. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
.
Cách 5. Đặt Khi đó ta có và trở thành 
, đúng.
Cách 6. Gọi là một giá trị của biểu thức . Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm
.
Ta có .
Do đó hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
Vậy .
Cách 7. Trong mặt phẳng xét đường thẳng có phương trình và . Khi đó và .
Ta có và (vì ) 
suy ra .
2.3.5. Rèn luyện cho học sinh thói quen không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới.
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số .
Khi gặp bài toán giáo viên thường định hướng cho học sinh giải như sau:
“Tập xác định của hàm số là . Dễ thấy hàm số liên tục trên .
Vậy: ”
Giáo viên thường định hướng cho học sinh giải như trên vì ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hàm số đã cho trên và hàm số này liên tục trên . Lí do thứ hai để học sinh thường giải như trên là: học sinh thường chỉ biết vận dụng bất