SKKN Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH LỚP 9
Người thực hiện : Bùi Thị Hiền
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Mục lục
1
Phần 1: Mở đầu
2
Phần 2: Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.1 Cơ sở lí luận
3
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3 Các giải pháp
4
A) Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan.
4
B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
4
PHƯƠNG PHÁP 1:
 Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình
4
PHƯƠNG PHÁP 2: 
Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
6
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ
7
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng A2 + B2 = 0 hoặc A.B = 0
11
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
12
PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.
14
C) Vận dụng trong việc giải hệ phương trình vô tỷ 
15
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
18
Phần 3: KẾT LUẬN
18
Tài liệu tham khảo
20
Danh mục các đề tài SKKN đã được đánh giá
21
Phần 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Giải phương trình là dạng toán cơ bản trong chương trình toán THCS. Trong đó phương trình vô tỉ là dạng mới, khó, trừu tượng đối với học sinh lớp 9. Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào THPT, các đề thi học sinh giỏi các cấp, là nền tảng cho các bài toán ở các lớp trên. Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9, tôi thấy khi gặp phương trình vô tỉ học sinh lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm. Phương trình vô tỉ là một trong những phương trình không có cách giải chính tắc. Người làm toán phải định hướng được nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn. Trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo để tìm ra cách giải phương trình vô tỉ đạt hiệu quả nhất.
 Mặt khác đa số học sinh trường THCS Trần Mai Ninh tiếp thu bài nhanh, làm hết được các bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, có nguyện vọng thi vào các trường chuyên. Muốn đạt điểm cao ở kì thi học sinh giỏi, vào lớp 10 PTTH, các trường chuyên thì phải giải quyết được các bài toán khó (trong đó có các bài toán giải phương trình vô tỉ).
 Vì thế khi dạy phần này đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn nhiều bài tập, nhiều dạng khác nhau, để học sinh tìm ra “chiếc chìa khoá” giải từng dạng cụ thể của phương trình vô tỉ. Qua quá trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp và học hỏi kinh nghiệm, tôi mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ và cách giải từng dạng, giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỉ dưới nhiều góc độ, làm đơn giản các phương trình vô tỉ phức tạp. 
Đề tài này tôi đã nghiên cứu từ năm học 2011-2012 đến nay. Trong năm học 2015 – 2016 tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm dự thi các cấp và đã được xếp loại B cấp tỉnh. Năm học này tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của mình vào dạy lớp 9A và 9H trường THCS Trần Mai Ninh tôi thấy rất hiệu quả, các em có hứng thú học tập môn toán hơn, kết quả giáo dục cũng tăng rõ rệt.
Tuy nhiên trong năm học này tôi quan tâm hơn tới những hệ phương trình vô tỉ nên tôi bổ sung vào sáng kiến kinh nghiệm năm trước để nó hoàn chỉnh hơn. 
Đề tài giúp tôi củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thức cho bản thân và giúp các em cũng yêu thích môn toán hơn. Qua đó tôi xin được trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển hơn. 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 	Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng và rèn luyện kỹ năng giải các dạng phương trình cho học sinh. Với mỗi phương trình học sinh phát hiện ra dạng và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát bài toán và đặt đề toán tương tự. Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các học sinh lớp 9, các giờ đại số 9 các bài tập về phương trình vô tỉ, các kiến thức về căn thức 
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 	 Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
So với sáng kiến kinh nghiệm của năm học 2016 – 2017 tôi đã bổ sung thêm phần: Vận dụng trong việc giải hệ phương trình vô tỷ. Trong khi dạy phần này học sinh đã giải được hệ phương trình vô tỷ một cách linh hoạt và thuận tiện.
Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận:
Xuất phát từ đặc trưng của môn toán của môn Toán ở trường THCS một môn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, vững chắc có hệ thống. Rèn luyện và phát triển các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tế, khả năng tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi dưỡng các phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh. 
 Căn cứ vào thực tế dạy và học về phương trình vô tỉ của chương trình Đại số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành mới đáp ứng cho học sinh đại trà. Đối với học sinh khá, giỏi dạng bài tập này rất phong phú và đa dạng.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
a) Đối với học sinh:
Trường THCS Trần Mai Ninh đa số các em nắm được kiến thức cơ bản khả năng suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết bài tập cô giao. Song các em chỉ làm một cách định lượng, chưa suy nghĩ tìm cách giải khác, chưa có khả năng phân biệt các dạng toán, chưa tự giác tìm tòi các dạng về phương trình vô tỉ.
Khảo sát thực tiễn của đề tài:
*) Số liệu thống kê
Khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra bài tập giải phương trình vô tỉ qua khảo sát 75 học sinh lớp 9A, 9H trường THCS Trần Mai Ninh tôi nhận được kết quả như sau: 
Số học sinh 
Tỷ lệ 
Kết quả
20
26%
Giải đúng phương trình đã cho
27
36%
Chưa giải đúng phương trình đã cho
28
37%
Không biết cách giải phương trình
*) Nguyên nhân: Học sinh không giải được hoặc giải sai kết quả do:
+ Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức...
+ Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỉ.
+ Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm.
2) Đối với giáo viên
*) Thuận lợi: 
- Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ. 
- Nhà trường có cơ sở vật chất tốt mỗi phòng học có máy chiếu, giáo viên soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt các công nghệ thông tin trong giờ dạy.
- Các tổ, nhóm chuyên môm hoạt động tích cực, thường xuyên dự giờ, trao đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ.
*) Khó khăn: 
- Các bài tập về phương trình vô tỉ vừa khó vừa không có phương pháp giải chung cho tất cả các phương trình.
- Mức độ rèn luyện phát triển tư duy logic trong các phương trình vô tỉ là khác nhau, chủ yếu còn dựa vào kinh nghiệm của người giáo viên. Đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có sự tổng hợp, có sự liên hệ giữa các vấn đề, có thời gian, có tâm huyết và có tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn và công việc giảng dạy của mình.
2.3. Các giải pháp: 
A) Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan. 
Khi giải phương trình vô tỉ học sinh cần nắm vững những kiến thức sau:
1) Khái niệm về phương trình, cách giải, tập xác định, nghiệm của phương trình.
2) Phương trình vô tỉ.
- Định nghĩa phương trình vô tỉ, các bước giải phương trình vô tỉ nói chung.
- Các kiến thức cơ bản về căn thức.
3) Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
4) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức.
5) Các kiến thức về bất đẳng thức: Côsi, Bunhiacopski... 
 	B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 
PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình (thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
 Trong chương trình đại số 9, khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường quen dùng phương pháp là nâng luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn. Trong quá trình giải học sinh thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất khó khăn. Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải.
 Dạng 1: Û
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) 
Giải: (1) Û 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
 * Nhận xét Khi giải phương trình dạng trên học sinh thường mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g(x). Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu không đặt điều kiện x - 1, dẫn đến phương trình x2 - 3x = 0 có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 3 nhưng khi thay x1 = 0 vào phương trình ta thấy VT ≠ VP.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa nắm chắc tính chất của lũy thừa bậc hai.
 Dạng 2
hoặc hoặc
- Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:
 - Biến đổi để 2 vế của phương trình không âm (với phương trình chứa căn bậc hai) ta bình phương hai vế được phương trình tương đương. Sau đó đưa phương trình về dạng đã biết cách giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
+ Ở phương trình trên hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm bình phương hai vế để làm mất căn. Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải hai vế của phương trình không cùng dấu. Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc hai:
 a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )
 Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(1) Û Û 
 Û 
 Û 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 6.
 Bài tập áp dụng: Giải phương trình 
a) b)
 Dạng 3: Sử dụng lập phương hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Đối với phương trình có chứa căn bậc lẻ ta không cần điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm vì có nghĩa với 
Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b a2n+1=b2n+1; (nN) nên không cần xét đến dấu của hai vế.
Giải: Lập phương hai vế (1’)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn 
rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức:
 ( a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b)
Khi đó (1’) có thể viết 
Đặc biệt nên thay vào phương trình ta được:
Giải ra: ; Thay vào (1) ta thấy nghiệm đúng. 
Vậy phương trình có nghiệm x1= -1; x2 = 7.
Như thế ở phương trình (1) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng a.b = 0 rồi giải.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình :
a) ; b) ; c) 
PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
 Nhận xét: + Ở phương trình (1) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1) vẫn còn chứa căn rất phức tạp.
 +Ta xét xem biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức không? Từ đó có có hướng giải sau: 
Giải : ĐKXĐ ; 
 Nếu 
thì 
Giải ra (Không thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Nếu thì 
 Có vô số nghiệm x thoả mãn 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
 ( Đề thi khảo sát đầu năm trường Trần Mai Ninh 2009 - 2010)
Đối với bài tập này học sinh phát hiện được biểu thức trong căn là bình phương của một tổng và biến đổi được về dạng:
.
Đa số học sinh sẽ giải phương trình trên bằng cách xét các khoảng
 x ≤ -3; -3 < x < - 2,5; .
Tuy nhiên nếu quan sát kỹ hai vế ta có vế trái không âm nên vế phải cũng không âm, suy ra x ≥ 2 từ đó có cách giải ngắn gọn hơn.
Với thì phương trình trở thành 2x + 5 + x +3 = 10x – 20
Từ đó ta tìm được nghiệm phương trình là x = 4.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình
a) ; b) 
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ
Việc giải phương trình vô tỉ thường gây ra nhiều khó khăn, phức tạp. Nếu cứ nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phương trình bậc cao khó tìm nghiệm. Tuy nhiên, nếu đặt ẩn phụ một cách thích hợp thì có thể chuyển phương trình vô tỷ đã cho về một phương trình đơn giản, một hệ phương trình đại số đã có cách giải quen thuộc. Cách đặt ẩn phụ còn tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể, vì vậy phải xem xét và vận dụng linh hoạt .
 Ta có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ, ... hoặc nhiều ẩn phụ. 
3.1) Cách đặt 1 ẩn phụ:
 Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn. Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ đó tìm ẩn chính.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2+ 6x+ 12+ = 9 (1)
Nhận xét: Ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó. Ta tìm mối liên của biểu thức trong và ngoài dấu căn 2x2+ 6x+ 12 = 2(x2 + 3x + 2) + 8.
Giải: ĐKXĐ: x2+3x + 2x+1) (x+2) x ≤ 2; x ≥ -1.
Đặt : = y ( y)
 (1) 2y2 + y + 8 = 9 2y2 + y - 1= 0
Giải ra ta được y1= 0,5 ( Thỏa mãn ĐKXĐ); y2= - 1 ( Loại)
Với y1= 0,5 ta tìm được x = là nghiệm của phương trình (1) 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
 (Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa năm học 2014 - 2015)
Đối với ví dụ này nếu bình phương 2 vế sẽ rất phức tạp. Khi quan sát so sánh kỹ các biểu thức dưới dấu căn học sinh nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.
 Giải: ĐKXĐ -1 x 3
 Đặt ( Điều kiện y 0)
Khi đó y2 = 4 + 2
 	 2= y2 - 4 (2’) (Điều kiện y2 4 ) 
Phương trình trở thành 2y – (y2- 4) = 4 y2 - 2y = 0 y( y - 2) = 0 
 y = 0 (không thỏa mãn y2 4) (loại) ; y = 2 (thỏa mãn y2 4)
Thay y = 2 vào (2’) ta được 2= 22 – 4 ( x + 1) ( 3 – x) = 0
Ta thấy x = - 1; x = 3 ( Thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 3.
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
 (Đề thi HSG Thành Phố Thanh Hóa năm học 2012- 2013 vòng 2)
Trong ví dụ này nếu đặt biểu thứcsẽ rất phức tạp vì thế ta nên biến đổi thành biểu thức đơn giản hơn trước khi đặt ẩn phụ.
Giải: ĐKXĐ – 0,5 x 1,5
 Biến đổi phương trình: 
Đặt (y 0)
Suy ra 3 + 4x – 4x2 = y2 => 4x - 4x2 = y2 – 3 (3’)	 	 
Phương trình đã cho trở thành: 16y + y2 - 3 = 33 y2 + 16y – 36 = 0
 ( y – 2) ( y + 18) = 0
 Do đó y = 2 và y = –18. Ta thấy y = – 18 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Thay y = 2 vào (3’) ta có: 4x – 4x2 = 22 – 3 4x2 – 4x + 1 = 0
 (2x – 1)2 = 0 x = 0,5 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5
Ví dụ 4: Giải phương trình 	
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011- 2012)
Với ví dụ này nếu ta đặt ẩn phụ ngay sẽ không hiệu quả nên phải kết hợp hai phương pháp bình phương hai vế và đặt ẩn phụ.
Giải : ĐKXĐ x > 3; x < - 3.
 + Nếu x > 3 bình phương hai vế của phương trình ta được: 
Đặt , được phương trình: .
Khi đó: Û x4 – 36x2 + 324 = 0 Û x2 = 18 
 (Thoả mãn ĐKXĐ); (Không thoả mãn ĐKXĐ);
+ Nếu x phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .
3.2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: Ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
( Đề thi vào lớp 10 PTTH năm 2002- 2003)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ. Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đưa về phương trình đơn giản.
Giải: ĐKXĐ x ≥ - 2002
Cách 1: Đặt ( y ≥ 0) ta có hệ phương trình 
giải ra ta có: 
Từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.
Cách 2:
Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1.
Chú ý: Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ phương trình đối xứng.
Ví dụ 2: Giải phương trình: . (2)
 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2014 – 2015)
Đối với ví dụ này ta linh hoạt khi đặt ẩn phụ thì bài giải sẽ ngắn gọn hơn.
Giải: Điều kiện: .
Phương trình đã cho tương đương: 	(2’)
Đặt . Ta có (2’) trở thành: t2 – (x +1)t – x – 2 = 0 
Û t = - 1 (loại), t = x + 2.
Với (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương của phương trình .
 (Đề thi thử vào lớp 10 Trần Mai Ninh năm 2015- 2016)
Ví dụ này khó ở chỗ đặt ẩn thế nào cho phù hợp vì thế cần phải quan sát kỹ đề bài hơn, ta có thể đặt ẩn để đưa về hai phương trình đối xứng sau:
Giải: Với y > 0 đặt (ĐKXĐ )
Ta có 7(x2 – y2) + 8(x – y) = 0
 (x – y)(7x + 7y + 8) = 0. Vì nên (7x + 7y + 8) > 0 = > x = y.
Khi đó => 14y2 + 12y - 1 = 0
 Giải ra ta có nghiệm dương của phương trình là y = 
3.3) Đặt 2 ẩn phụ: 
 Trong một số phương trình nếu đặt một ẩn phụ sẽ được phương trình mới rất phức tạp. Ta có thể đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó đưa về phương trình đơn giản.
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn là rất khó.
 + Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2 – x + x – 1 = 1 (hằng số)
 + Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.
 Giải: ĐKXĐ 
Đặt ( v ≥ 0) Ta có hệ phương trình: 
Giải ra ta được u1 = 0; u2 = 1; u3 = - 2 
Từ đó ta tìm được nghiệm x1=1; x2 = 2; x3 = 10 ( thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có 3 nghiệm là x1= 1; x2= 2; x3 =10. 
Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:
 (n, mÎ N; n, m>0).
Ta thường đặt: Khi đó ta được hệ phương trình:
 hoặc 
Giải hệ này tìm u, v sau đó tìm x
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Đây là phương trình chứa căn bậc 4, ta thấy ngay hai biểu thức dưới dấu căn có tổng bằng 82 nên đặt hai ẩn phụ để chuyển về hệ đối xứng như sau:
Giải: ĐKXĐ: 15 < x < 97 
Đặt u = ; v = (u, v > 0)
Khi đó ta có hệ phương trình: 
Mặt khác u4 + v4 = [(u + v)2 - 2uv]2 - 2u2v2
Vì u + v = 4 nên u4 + v4 = (16 - 2uv)2 - 2u2v2
Đặt t = u.v (t > 0) ta có: (16 - 2t)2 - 2t2 = 82 t1 = 3; t2 = 29
Từ đó ta tìm được nghiệm phương trình là x = 96 ; x = 16.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3) 	
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2005 - 2006)
Phương trình này không quen thuộc như các phương trình trên, ẩn x nằm ở lũy thừa, gặp phương trình này học sinh rất lúng túng. Giáo viên cần giúp học sinh tìm thấy mối quan hệ giữa hai biểu thức dưới dấu căn, từ đó có cách đặt ẩn phụ phù hợp.
Giải: ĐKXĐ: x . 
Ta thấy . Đặt thì 
Khi đó: (3) u2 - 10u + 1 = 0 
Nếu u = 5 - 2 thì x = 2
Nếu u = 5 + 2 thì
 x = - 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = + 2
 Ngoài cách trên có một số bài toán khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ phương trình thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ, thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về phương trình đơn giản.
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4) 
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2015-2016)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc 4 rất khó giải. Đa số học sinh không làm được bài tập này.
Nếu quan tâm biểu thức x3+1.
Ta sử dụng hằng đẳng thức: x3 + 1= (x + 1)(x2 – x + 1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x2 + 2 và x3 + 1 ta có x2 +2 = (x2 – x + 1)+( x + 1)
+ Từ đó có thể đặt 2 ẩn phụ: và tìm mối quan hệ a, b từ đó tìm x
Giải: ĐK XĐ 
 Đặt ; Ta có: a2 = x + 1 ; b2 = x2 – x + 1 ; x2 + 2 = a2 + b2
 (4) 2( a2 + b2) = 5ab (2a – b)(a – 2b) = 0 
 Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
 Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng.
 Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra cách giải phù hợp. 
3.4) Đặt nhiều ẩn phụ:
Ví dụ: Giải phương trình 
Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp, nếu dùng phương pháp bình phương 2 vế sẽ không hiệu quả .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp, nên ta giải phương trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức dưới dấu căn:
Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ:
Giải: ĐKXĐ x ≥ 2; x ≤ 1
Đặt ( u, v, z, t ≥ 0)
Ta có hệ : Từ đó suy ra: 
Giải ra ta được x = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ).
 Vậy phương trình có nghiệm x= - 2
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng A2 + B2 = 0 hoặc A.B = 0
Ở phương pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 A = B = 0
A.B =0 .
Ví dụ: Giải phương trình ++=
 (Đề thi vào lớp 10