SKKN Rèn luyện kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp dùng Bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì phải bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề, từ đó tác động đến tình cảm và đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
 	Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn Toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn Toán. Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết. 
Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng, phương pháp giải toán, sự độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo nhất. Vì vậy đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi ra những phương pháp mới và hay để dạy cho học sinh. Từ đó học sinh được trau dồi tư duy logic, sự sáng tạo qua việc giải các bài toán.
	Dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên là một trong những dạng toán khó, thường gặp trong các kỳ thi vào lớp 10, học sinh giỏi các cấp, đa phần học sinh chưa hiểu sâu, kiến thức còn lơ mơ, không nhận biết được dạng và phương pháp làm dạng toán này như thế nàoĐể giải được các bài toán này cần nắm các dạng phương trình cơ bản, từ đó căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán tìm nghiệm nguyên có thể áp dụng đuợc nhiều phương pháp giải khác nhau, tuy nhiên phương pháp dùng bất đẳng thức thường được dùng nhiều đối với học sinh lớp 8, 9. 
	Chính vì những lí do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp dùng Bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải toán. Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức của giáo viên cũng như của học sinh. Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp học THCS. Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
	Học sinh khá, giỏi lớp 9 trường THCS An Hoạch, thành phố Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
	- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
	- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết.
	- Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy.
	- Phương pháp so sánh đối chứng.
	- Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp.
	- Phương pháp thống kê.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Căn cứ vào định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong luật giáo dục: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm trong lớp học, môn học. Bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức thực tiễn”.
Nội dung kiến thức có liên quan đến đề tài: Ngoài phương trình một ẩn, phương trình nhiều ẩn. Các bài toán về tìm nghiệm nguyên thường không có phương pháp giải tổng quát, mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Trong chương trình cơ bản của SGK Toán THCS có đưa giải phương trình nghiệm nguyên nhưng dưới dạng bài tập với số lượng không nhiều. Hơn nữa nhu cầu giải giải phương trình rất phong phú trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10, các trường chuyên, lớp chọn có đề cập đến vấn đề này.
Xác định mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng của đơn vị kiến thức cần nghiên cứu: Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn, bậc nhất, bậc cao Để giải phương trình đó ta thường dựa vào cách giải một số phương trình cơ bản và một số phương pháp, đặc biệt là phương pháp dùng bất đẳng thức.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
	Trong chương trình Toán THCS có rất nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên với nhiều dạng khác nhau, khi giải các bài toán này không ít khó khăn phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, không tìm ra lời giải, không biết cách giải hoặc chưa có phương pháp giải hay, học sinh cảm thấy rất khó đối với dạng toán này vì trong sách giáo khoa cũng không cung cấp cho các em cách giải. 
	Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên, trước khi áp dụng đề tài tôi đã khảo sát học sinh khá, giỏi lớp 9 đầu năm học 2017 - 2018 dưới dạng phiếu học tập với đề bài giải phương trình nghiêm nguyên thu được kết quả sau:
Tổng số HS
Điểm
15
8 10
6,5 7,5
5 6,5
3 4,5
0 3
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
0
0
2
13,3
4
26,7
9
60
2.3. Các giải pháp: 
2.3.1. Giải pháp:
Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, không có cách giải chung cho mọi phương trình. Để giải được các phương trình đó thường dựa vào cách giải một số phương trình cơ bản và kiến thức, tính chất cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp dùng bất đẳng thức. Vì thế tôi đưa ra các giải pháp như sau:
	- Cung cấp cho học sinh các kiến thức về bất đẳng thức cơ bản thường gặp để giải phương trình nghiệm nguyên.
	- Các tính chất liên quan đến các dạng phương trình nghiệm nguyên đó.
	- Đưa ra các dạng phương trình mà hay sử dụng phương pháp dùng “Bất đẳng thức” để thực hiện.
	- Xây dựng các phương pháp cơ bản đối với từng dạng phương trình.
	- Đưa ra những bài toán cơ bản và sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó.
	- Củng cố các phép biến đổi cơ bản thông qua các kỹ năng thực hành, bài tập vận dụng từ đó phát triển tư duy thông qua một số bài toán nâng cao.
2.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện: Xây dựng phương pháp cơ bản đối với từng dạng phương trình.
2.3.2.1. Đối với phương trình một ẩn: Có nhiều phương pháp giải phương trình một ẩn tuy nhiên phương pháp dùng Bất đẳng thức thường được sử dụng vì có những bài làm theo phương pháp này nhanh hơn và dễ hiểu hơn so với một số phương pháp giải khác.
*Dạng 1: Đưa về phương trình dạng: 
Phương pháp
 Biến đổi phương trình về dạng mà , là hằng số). Nghiệm của phương trình là các giá trị x thoả mãn đồng thời và .
Ví dụ 1: Giải phương trình : (1)
 Khi gặp bài tập dạng này thì phần đa các em nghĩ ngay đến tìm điều kiện xác định của các căn thức bậc hai, nên giáo viên chỉ cần gợi ý cho học sinh nhận xét các biểu thức dưới dấu căn và có nhận xét về hai vế của phương trình thì hầu như học sinh đều làm đựơc bài này.
 Giải: 
(1) 
Nhận thấy 
Do đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Cũng như ví dụ 1 học sinh đi tìm điều kiện cho căn thức và mẫu thức có nghĩa vì thế giáo viên gợi ý vế phải là biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng 3, còn vế trái là biểu thức luôn bé hơn hoặc bằng 3 => xét dấu bằng xảy ra => tìm được nghiệm.
 Giải:
(2) 
Mà VT = 
 VP = 
Do đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (- 3)2 = 0 = 3
 Vậy phương trình có nghiệm: = 3
	Đối với các loại phương trình đưa đựơc về dạng này đòi hỏi mỗi học sinh cần linh hoạt, biết nhìn bài toán một cách tổng quát để đưa ra đựơc nhận xét cho hai vế của phương trình. 
*Dạng 2: Đưa về dạng: 
Phương pháp
Biến đổi phương trình đưa về dạng (m là hằng số) mà ta luôn có hoặc thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3) 
Giáo viên hướng dẫn: Tìm điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa => rút ra nhận xét vế trái
 Giải:
Điều kiện 
Ta có: 
Do đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy phương trình có nghiệm 
* Dạng 3: Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc
Giáo viên cung cấp cho học sinh một số bất đẳng thức quen thuộc hay sử dụng để giải phương trình nghiệm nguyên.
* Bất đẳng thức Cauchy (Côsi): 
Tổng quát: ( x1, x2, ,xn )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
* Bất đẳng thức Bunhia cốpxki:
Tổng quát: . 
(Với mọi )
Dấu “=” xảy ra 
* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 
+ 
Dấu “=” xảy ra ra khi: 0
+ Với , ta có: 
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4) 
Giáo viên gợi ý:
- Nhận thấy biểu thức dưới dấu căn là hai số dương => Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ấy.
 Giải:
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương () và 
Ta được: +
 = 2.(x2 – 3x + 3,5)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 5: Giải phương trình: (5)
Giáo viên hướng dẫn:
	- Xét thì vế trái là có tổng các số hạng đều dương khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba dương 
	- Xét hãy nhận xét hai vế của phương trình?
 Giải: 
- Với ta có là những số dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương đó ta được: 
 = 
 = 
Dấu “=” xảy ra ra khi: 
- Với < 0 vế phải của phương trình nhỏ hơn 3 còn vế trái lớn hơn 
 Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 6: Giải phương trình: (6)
Giáo viên hướng dẫn: Nhận thấy rằng 13 = 22 + 32 => sử dụng Bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho bốn số. 
 Giải:
Ta có: (6) 
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho bốn số ta được:
Dấu “=” xảy ra ra khi: 
Suy ra: hoặc 
 Vậy phương trình có nghiệm :  ; 
Ví dụ 7: Giải phương trình: (7)
Giáo viên hướng dẫn:
- Biểu thức dưới dấu căn là những hằng đẳng thức => đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải. 
 Giải:
(7) 
Áp dụng bất đẳng thức 
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 0 
Với ; ta có 
 Giải bất phương trình ta tìm đựơc 
 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức thông dụng như trên là một phương pháp khó đối với học sinh, khó nhất là việc nhận ra nên sử dụng bất đẳng thức nào để phù hợp với bài toán. Điều đó còn tuỳ thuộc vào sự linh hoạt, nhanh trí của học sinh. Tuy nhiên đây là một phương pháp hay, giải nhanh gọn.
*Dạng 4: Áp dụng tính đơn điệu của bài toán (Chứng minh nghiệm duy nhất ).
 Phương pháp: Ta chỉ ra một hoặc một vài giá trị của biến thỏa mãn phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. 
Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: (8)
 Giải: 
 (8) 
 Nhận thấy:
* Với phương trình vô nghiệm.
* Với thoả mãn phương trình.
* Với 
 mâu thuẩn với 
 Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
 Khi gặp dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải biết nhẩm nghiệm và nhận biết được nghiệm đặc biệt => nhận xét: nghiệm đó là duy nhất.
Bài tập vận dụng:
Giải phương trình: 
a); 
b) ; 
c); 
d)
g) 
e) 
f) 
2.3.2.2. Đối với phương trình nhiều ẩn.
 Về phương pháp và thủ thuật toán cũng tương tự như đối với phương trình một ẩn, đôi khi có nhiều bài toán cần sử dụng kết hợp với tính chất tập hợp của số tự nhiên, số nguyên, tính chẵn lẻ để giải.
* Dạng 1: Đưa về phương trình mà vế trái là tích của các thừa số, vế phải là tích của các số nguyên.
Phương pháp 
Bước 1: Đưa phương trình về dạng: Với 
Bước 2: Sử dụng tính chất của tập hợp các số tự nhiên, tập hợp số nguyên, các tính chất về bất đẳng thức, , chỉ ra:
Bước 3. Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình.
Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (9)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Phân tích 
Bước 2: Vì ; và ; 91 = 1 . 91 = 13 . 7
Bước 3: Nên ta có Hoặc 
 Hay Hoặc 
 Nghiệm của phương trình là: (45; 46); (- 45; 46); (45; - 46); (- 45; - 46); (3; 10); (3; -10); (- 3; 10); (- 3; - 10).
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phươngtrình: (10)
 Giải: 
Ta có: 
Vì nên 
Mà chẵn, nên cùng tính chẵn lẻ.
Mặt khác nên ta có:
 hoặc 
* 
Suy ra:
Các cặp số là nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (5; - 6); (5; 0); (- 5; - 6); (- 5; 0).
* 
Các cặp sốlà nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:(4; -3);(- 4; -3)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (4; -3); (- 4; - 3); (5; - 6); 
(5; 0); (- 5; - 6); (- 5; 0).
 	Với dạng toán này có thể có nhiều cách giải, vì thế mà ta không nên rập khuôn máy móc. Nhưng với khuôn khổ của đề tài tôi đưa ra cho học sinh phần áp dụng bất đẳng thức vào để giải thì nhiều bài có lời giải hay hơn, ngắn gọn hơn.
	Chú ý: Một số bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình dạng (Với là hằng số). Có thể giải theo cách trên.
Bài tập vận dụng:
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 a) ; b) ; c) 
* Dạng 2: Đưa về phương trình tổng
Phương pháp 
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: 
(Với ). .....;.
Bước 2: Xét mọi trường hợp có thể xảy ra từ đó tìm được nghiệm thích hợp.
Ví dụ 11: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
 (11)
Giáo viên hướng dẫn:
- Biến đổi đưa về một vế về dạng tổng hai bình phương. 
 (10) 
- Xét các trường hợp có thể của số 100. (100 = 02 + 102 = 62 + 82)
 Giải: 
 (10) 
Mà ; , 
Do đó ta có các khả năng sau:
* 
* 
* ; ; 
* ; ; 
 Vậy nghiệm của phương trình là: (15; 5); (-15; -5); (10; 0); (-10; 0); 
(18; 4); (-18; - 4); (6; 4); (- 6; - 4); (17; 3); (-17; -3); (1; 3); (-1; - 3).
Chú ý: Với cách làm như trên chúng ta có thể áp dụng tìm nghiệm nguyên của một số phương trình có dạng: (Với là các số nguyên).
Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (12)
 Giải:
(12) 
Vì nguyên dương nên 
Mà .
 Do đó ta có: 
 Vậy nghiệm nguyên dương là: (1; 2; 1)
Ví dụ 13: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
 (13)
Giáo viên hướng dẫn: Ta thấy bài toán có luỹ thừa bậc 3 của y như vậy ta không thể áp dụng cách làm như ví dụ 12. Ta xét hai trưòng hợp sau: Nếu hoặc nếu => tìm giá trị của x tương ứng cho mỗi trường hợp đó.
 Giải:
+ Nếu thì 
+ Nếu thì ta có 
Mà , 
Nên ta có: 
 Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên là: (0; 5); (8; 1).
Chú ý: Nếu phương trình có dạng: , . 
 Thì ta viết dưới dạng Xét các trường hượp có thể xảy ra. Từ đó tìm được nghiệm thích hợp.
 Đối với phương trình đưa về dạng tổng ngoài hai chú ý trên chúng ta cũng cần linh hoạt trong quá trình giải vì nhiều bài ta không sử dụng như đưa về hai loại phương trình đó mà nhiều bài ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc như Bất đẳng thức Côsi, hay Bunhia-cốpxki.
Ví dụ 14: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
 (4)
Giáo viên hướng dẫn: Hãy biến đổi đưa về một vế là tổng các lập phương, vế kia là tích của hai thừa số.
 Giải:
 (13)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số .
Ta có: 
Vì . Nên ta có: 
 Vậy nghiệm của phương trình là : (3; 2; 9).
Ví dụ 15: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
  (15)
Giáo viên hướng dẫn: Hãy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki :
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi .
 Giải: 
Ta có: 
 =
Do đó ta có: 
Vì nên 
Ta có: 
 Vậy nghiệm của phương trình là: (2; 3)
Bài tập vận dụng:
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 a) 
 b) 
* Dạng 3: Nhận xét về ẩn số.
Phương pháp:
 Trước khi giải toán, ta nên nhận xét xem vai trò của các ấn số, cấu trúc của ẩn. Để có một cách giải phù hợp.
 Nếu các ẩn( x ; y;...) có vai trò bình đẳng như nhau, thì ta có thể giả sử hoặc để thu hẹp miền xác định của bài toán.
 Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, như luỹ thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp ... thì ta khử ẩn để đưa phương trình về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn.
 Thường dùng hai nhận xét sau:
Nhận xét 1: 
 với 
Nhận xét 2: 
, với .
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
(16) 
Giáo viên hướng dẫn:
 Nhận xét về vai trò của các ấn số ta thấy các ẩn số có vai trò bình đẳng => Thực hiện như các bước nêu trên.
 Giải:
Giả sử 
+ Nếu 
Suy ra: hoặc 
+ Nếu 
 hoặc 
+ Nếu vô nghiệm
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và các hoán vị.
Ví dụ 17: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: (17)
Giáo viên hướng dẫn: 
 Giáo viên cho học sinh nhận xét về ẩn của phương trình, học sinh trả lời đựơc các ẩn số có vai trò bình đẳng => thực hiện như ví dụ 16
 Giải
 Giả sử 
Ta có tức là 
Nếu thì không thể xảy ra vì 
Như vậy phải có ít nhất hai trong ba số không bằng nhau.
Do đó tức là 
* mà và nên suy ra 
* mà nên vô nghiệm
 Vậy phương trình đã cho có nghiệmlà (1; 2; 3) và các hoán vị.
Ví dụ 18: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với là các số đôi một khác nhau: 
 (18)
 Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Vì đôi một khác nhau 
Lần lượt thử các giá trị của ta tìm được 
 Đáp số: (1; 2; 3) và các hoán vị. 
Bài tập vận dụng:
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
a) ; b) ; 
c) ; d) 
* Dạng 4: Đưa phương trình về phương trình bậc hai.
Phương pháp 
 Đưa phương trình về dạng (hoặc). Dùng điều kiện hoặc để phương trình bậc hai có nghiệm. 
Ví dụ 19: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
 (19)
Giáo viên hướng dẫn:
 Đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn x ( hoặc y) => Tính và giải => tìm được giới hạn của y( hoặc x) => tìm y nguyên (hoặc x ) => thay giá trị của y (hoặc x) vào phương trình ban đầu để tìm giá trị của x nguyên (hoặc y nguyên) => nghiệm cần tìm.
 Giải:
 (19)
Giải bất phương trình trên ta được: 
Do y nguyên nên dễ dàng tìm được 
Thay lần lượt các giá trị của y tìm được: Với y = 5 thì giá trị của.
 Vậy phương trình có hai nghiệm là: (5; 5); (7; 5)
	 Lưu ý: Có những em sử dụng tam thức bậc hai đối với y nhưng có những bài miền xác định của giá trị y này rộng hơn miền xác định của giá trị x, ta nên đưa về phương trình ẩn x với tham số y. Tuy nhiên không phải bài nào đưa về tam thức bậc hai cũng có thể giải bằng phương pháp này.
Bài tập vận dụng:
	Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
	a) ; 
	b) 
	c) 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
 Với phương pháp nghiên cứu như trên bản thân đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và vận dụng kiến thức giải hàng loạt các bài tập giải phương trình nghiệm nguyên một cách ngắn gọn, dễ hiểu. Vì vậy nhiều năm qua cùng với những nghiên cứu các đề tài khác của môn Toán. Học sinh khá giỏi của trường tôi không những tăng về số lượng mà còn cả về chất lượng.
Kết quả kiểm tra sau khi đã áp dụng SKKN vào việc giảng dạy:
Kiểm tra 15 học sinh khá giỏi lớp 9 kết quả đạt được như sau:
Tổng số HS
Điểm
15
8 10
6,5 7,5
5 6
3 4,5
0 3
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2
13,3
6
40
6
40
1
6,7
0
0
 Kết quả: Học sinh đã nắm vững các dạng và phương pháp giải một số bài toán phương trình tìm nghiệm nguyên mà giáo viên đưa ra, vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi. Biết vận dụng các bất đẳng thức vào giải phương trình nghiệm nguyên, biến đổi linh hoạt hơn, trình bày lời giải hợp lí và logic hơn. 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận: 
Giải phương trình nghiệm nguyên là một kiến thức khó, có nhiều phương pháp giải loại toán này. Tuy nhiên không có lời giải mẫu cho từng bài, vì vậy để giúp học sinh có thể học tốt hơn kiến thức về vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên một cách linh hoạt thì việc hệ thống lại các dạng phương trình, các phương pháp giải, các ví dụ và bài tập minh hoạ kèm theo, những kiến thức cần lưu ý, gợi ý học sinh sẽ giúp cho các em hiểu được rộng hơn và sâu hơn về phương pháp giải.
 	Đối với những học sinh mà khả năng nhận thức còn hạn chế, thì việc hệ thống kiến thức về bất đẳng thức thông dụng, các phương pháp giải và các bài tập vận dụng kiến thức sẽ giúp học sinh hiểu được các công việc cần thiết khi giải toán về phương trình nghiệm nguyên. Biết được cách trình bầy cho mỗi dạng bài toán, tập cách phân tích đề bài để lựa chọn hướng đi, kiến thức và vận kiến thức phù hợp, nâng dần hiểu biết về kiến thức bất đẳng thức vận dụng để giải phương trình nghiệm nguyên. Rèn luyện khả năng tư duy, khả năng phân tích, tổng hợp, phát huy tính tích cực và trí thông minh của học sinh.
 	Trong quá trình nghiên cứu và thể hiện đề tài này tôi hy vọng nó là động lực giúp tôi cũng như học sinh, thích thú, tự tin hơn khi gặp các bài toán tìm nghiệm nguyên bằng phương pháp dùng bất đẳng thức.
3.2. Kiến nghị: 
	Phòng Giáo dục và Đào tạo cần tổ chức Hội thảo cho giáo viên học tập và áp dụng những sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng. nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đã rút ra từ thực tiễn giảng dạy của mình. Do thời gian và khuôn khổ có hạn, tôi rất mong được sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và hiệu quả trong công tác giảng dạy đáp ứng y