SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán khoảng cách và góc cho học sinh lớp 10

MỤC LỤC
I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài 
2. Mục đích nghiên cứu 
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. Nội dung sang kiến kinh nghiệm
Cơ sở lý luận của đề tài
Thực trạng của đề tài
Giải pháp và tổ chức thực hiện
Kết quả thực nghiệm của đề tài
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
2. Những kiến nghị đề xuất 
I. Mở đầu 
1. Lí do chọn đề tài
Khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là mảng kiến thức rất quan trọng trong phần hình học lớp 10, nó có mặt hầu hết trong các kì thi đặc biệt là kì thi thpt quốc gia. Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng, là môn học khó đối với nhiều học sinh THPT. 
Vì vậy việc nghiên cứu phân loại và đưa ra phương pháp giải một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là hết sức cần thiết nhằm giúp cho người học tiếp nhận kiến thức một cách đầy đủ, có hệ thống, tránh được cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ. Là giáo viên giảng dạy toán tại trường THPT tôi được nhà trường phân công giảng dạy toán 10. Tôi luôn luôn suy nghĩ làm sao giúp cho học sinh giải thành thạo các bài toán về khoảng cách và góc đạt được kết quả cao.
 Với những lý do trên, tôi chọn đề tài : “Rèn luyện kĩ năng giải toán khoảng cách và góc cho học sinh lớp 10 ” làm đề tài nghiên cứu và đúc rút kinh nghiệm cho bản thân. 
2. Mục đích nghiên cứu
 Hệ thống kiến thức về khoảng cách và góc. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kĩ năng giải toán khoảng cách và góc qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
3. Đối tượng nghiên cứu
	Các bài toán liên quan đến khoảng cách và góc hình học lớp 10.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu tài liệu 
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1. Cơ sở lí luận của đề tài.
 1.1. Khoảng cách
 1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
 Khoảng cách từ điểm M(x0 ;y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức : 
 1.1.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia hoặc ngược lại. 
 1.1.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
 Cho hai điểm M(xM ;yM), N(xN ;yN) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khi đó: 
 * M và N nằm cùng phía đối với ∆ khi : ( axM +byM+c)( axN +byN+c ) > 0; 
 * M và N nằm khác phía đối với ∆ khi : ( axM +byM+c)( axN +byN+c ) < 0
 1.1.4. Công thức đường phân giác.
 Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x+b1y+c1= 0 và ∆2 : a2x+b2y+c2 = 0.
 Khi đó: Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆2 là :
 1.2. Góc giữa hai đường thẳng 
 1.2.1. Định nghĩa :
 Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 . Kí hiệu: góc giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là (a, b). 
 1.2.2. Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ 
 Gọi , lần lượt là hai VTCP của đường thẳng a và đường thẳng b.
 Nếu ( , ) ≤ thì (a, b) = ( , )
 Nếu ( , ) > thì (a, b) = ( , )
 1.2.3. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 
 Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x+b1y+c1= 0 và ∆2: a2x+b2y+c2 = 0.Khi đó góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được xác định bởi công thức :
 cos (∆1 , ∆2) = . 
 Nếu đường thẳng cho dưới dạng ∆1 : y = kx + b, ∆2 : y = k’x + b’ ( k, k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ) thì ∆ ∆ k.k’ = −1
2. Thực trạng của đề tài:
 Qua quá trình thực tiễn dạy học tôi nhận thấy rằng khi dạy học chủ đề “khoảng cách và góc” có thực trạng như sau:
 + Đa số học sinh phát biểu rằng “ trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm bài tập”. Vì vậy tâm lý ngại, thậm chí “sợ” khi giải toán “khoảng cách và góc” dẫn đến tình trạng học sinh không quyết tâm khi học chủ đề “khoảng cách và góc”, nhiều học sinh cứ gặp bài toán khoảng cách và góc là bỏ, không chịu tư duy để giải toán.
 + Việc áp dụng kiến thức khoảng cách và góc của học sinh đa số mới chỉ dừng lại ở mức nhận biết, rất ít học sinh thuần thục kỹ năng và sáng tạo khi vận dụng kiến thức về khoảng cách và góc vào giải toán.
 + Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải khi dạy học chủ đề “Khoảng cách và góc”.
 + Số tiết theo phân phối chương trình dành cho chủ đề “ Khoảng cách và góc” rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học chủ đề này.
 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
 Khi dạy học chủ đề “khoảng cách và góc” cho học sinh tôi đã dành một phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức về khoảng cách và góc cho học sinh. Tùy theo năng lực của mỗi học sinh cũng như tập thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp. Các bài tập để học sinh vận dụng khoảng cách và góc tôi soạn theo 3 mức độ đó là:
Mức độ 1: Các bài tập ở mức độ nhận biết, giúp học sinh nhắc lại kiến thức, kĩ năng đã học. Bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập.
Mức độ 2: Các bài tập ở mức thông hiểu, để giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm chắc những kiến thức cơ bản còn phải biết thêm các hoạt động phân tích, giải thích, so sánh kiến thức, kĩ năng đã biết.
Mức độ 3: Các bài tập ở mức vận dụng, đòi hỏi học sinh phải biết kết nối và sắp xếp lại các kiến thức, kĩ năng đã học.
 Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học thông qua những giải pháp cụ thể sau:
 3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức về khoảng cách và góc trong việc tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, xét vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng (mức độ1).
 Phương pháp: áp dụng các công thức sau:
• Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA ), B(xB;yB) là: 
 AB = (1) 
• Khoảng cách từ điểm M(x0 ;y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức : (2) 
• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành. Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x+b1y+c1= 0 và ∆2 : a2x+b2y+c2 = 0.Khi đó góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được xác định bởi công thức :
 cos (∆1 , ∆2) = (3) 
Chú ý: • Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 . 
 • Góc A của ∆ABC là góc giữa hai vectơ và . 
 • Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì đường thẳng phải viết dưới dạng phương trình tổng quát .
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau: 
a) A(1 ; −5) và ∆: 
b) B(2 ; 1) và ∆’: 
Giải
 a) Áp dụng công thức (2) ,ta có d(A , ∆) = 
 b) Chuyển phương trình đường thẳng ∆’: về dạng phương trình tổng quát là: 
Do đó áp dụng công thức (2), ta có: d(B; ∆’) = 
Bài toán 2: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là: ; ; .
 Giải
 Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho. Khi đó tọa độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ phương trình sau:
Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2).
 Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2). Vì AB = AC = nên tam giác ABC cân tại A.Ta có: cosA = cos()== 1430 8′ 
 =18 026′ 
Dạng 2: Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng (mức độ 1). 
Phương pháp: Để xét vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với đường thẳng (d) ta làm như sau: Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng (d) 
 • Nếu được hai giá trị cùng dấu thì kết luận A, B cùng phía đối với (d).
 • Nếu được hai giá trị khác dấu thì kết luận A, B khác phía đối với (d). 
Bài toán 1: Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình:
Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC. 
AB: x – y + 4 = 0; BC: 3x + 5y + 4 =0; AC: 7x + y – 12 = 0. 
Giải 
Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái của phương trình đường thẳng BC, AC, AB ta được: 3.0 + 5.0 + 4 = 4; 7.0 + 0 – 12 = -12; 0 – 0 + 4 = 4. 
Thay tọa độ của A, B, C lần lượt vào vế trái của phương trình đường thẳng: BC, AC, AB ta được: 3 + 5.5 + 4 = 32; 7.(-3) + 1 – 12 = 32; 2 + 2 + 4 = 8. 
Như vậy : O và A nằm cùng phía đối với BC, O và B nằm cùng phía đối với AC, O và C nằm cùng phía đối với AB. Vậy: O nằm trong tam giác ABC. 
Nhận xét: Hai dạng toán trên là những dạng toán cơ bản với mục đích để cho học sinh nhớ được các công thức cơ bản cũng như rèn kĩ năng tính toán. Tuy nhiên, ta không thể bỏ qua bởi nó là cơ sở giúp chúng ta hình thành những ý tưởng mới trong việc giải các bài toán phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về cực trị, bài toán quỹ tích . Khi làm gặp bài toán dạng này ta chỉ việc sử dụng công thức, tính chất đã nêu ở phần phương pháp hoặc nếu cần thì chỉ vẽ hình phác họa, mà không cần phải biểu diễn một cách chính xác tọa độ từng điểm hay từng đường thẳng lên mặt phẳng tọa độ. Đây cũng là ưu điểm của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức khoảng cách và góc khi giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách.
Dạng 3: Một số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách (mức độ 2)
 Bài toán 1: viết phương trình đường phân giác của các góc trong một tam giác. 
Phương pháp: Để tìm đường phân giác trong AD của tam giác ABC ta làm như sau
Cách 1: 
• Lập phương trình hai cạnh AB, AC.
• Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC theo công thức đã biết. 
• Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C đối với một trong hai đường phân giác vừa tìm. Nếu B, C khác phía đối với đường phân giác thứ nhất thì đường phân giác đó là đường phân giác trong góc A. Ngược lại ta kết luận là đường phân giác ngoài góc A. 
Cách 2: 
• Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác A, B, C.
• Gọi D(x;y) là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC.
 Ta có: , từ đó suy ra tọa độ D
• Viết phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A, D. 
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC có : A(1;5); B(-3;1); C(2;-2).Viết phương trình đường phân giác trong góc A
Giải
Cách 1: 
• Phương trình cạnh AB: 
 Phương trình cạnh AC: 
• Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC 
 hoặc 
• Vì hai điểm B, C nằm cùng phía đối với . 
 Nên là đường phân giác trong góc A. 
Cách 2: 
• Gọi D(x;y) là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC.
 Ta có: , từ đó suy ra tọa độ 
• Viết phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A, D: 
Bài toán 2: a) Cho hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2), Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng m > 0. 
b) Cho đường thẳng d có phương trình ax + by +c = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d và cách d một khoảng bằng n > 0. 
Phương pháp
a)
 • Giả sử phương trình đường thẳng đi qua A có dạng: a(x-x1)+b(y-y1)=0 (∆)
 • d(B/ ∆)=m , suy ra biểu thức liên hệ giữa a và b
 • Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ (a;b) thỏa mãn biểu thức vừa tìm, từ đó suy ra phương trình đường thẳng cần tìm.
b)
• Vì ∆ // d nên ∆ có dạng ax+by+c’ =0 (c’c)
• d(M/d)=n ( M là một điểm bất kì trên ∆) c’phương trình đường thẳng ∆
Ví dụ 2
a) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3
b) Cho đường thẳng d có phương trình: 8x-6y-5=0.Viết phương trình đường thẳng ∆ // d và cách d một khoảng bằng 5
Giải
a) Đường thẳng d qua A(2;5) có 
Theo giả thiết : 
b) Vì ∆ // d nên ∆ có dạng : 8x - 6y + c =0 (c-5)
Lấy một điểm M bất kì trên d: M(1;1/2).Khi đó : d(M/∆)=5
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là : 8x-6y+45=0 hoặc 8x-6y-55=0.
Bài toán 3: viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A và tạo với đường thẳng (d) một góc α
  Phương pháp: 
• Gọi VTPT của đường thẳng (∆) là : (a ; b) 
• Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A. 
• Dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng (∆) và (d), từ đó tìm được biểu thức liên hệ giữa a và b, 
• Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ a, b thỏa mãn biểu thức vừa tìm được. Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm được phương trình đường thẳng cần tìm. 
Ví dụ 3 : Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng .
Giải
Đường thẳng d' qua A(2;5) có 
Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến . Theo giả thiết thì : 
Ta có : 
Bài toán 4: Trong (Oxy) ,viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2) cắt 0x,0y tại A,B sao cho : bé nhất
 Giải :
Cách 1:Kẻ OH d, trong tam giác vuông AOB có : 
Ta có : bé nhất khi bé nhất hay OH lớn nhất
Mà OH . Dấu =xảy ra khi OH=OM. Khi đó : d đi qua M và nhận làm VTPT 
 Vậy phương trình đường thẳng d là : x+2y-5=0
Nhận xét: Phép biến đổi trên chuyển biểu thức ban đầu với hai đại lượng biến thiên OA,OB về một biểu thức còn một đại lượng biến thiên OH.
 Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; 1) sao cho cùng với 2 đường thẳng (d): 2x – y + 5 = 0 và (d’): 3x + 6y – 1 = 0 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d) và (d’). 
Giải 
Cách 1:Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có: 
VTPT của (d) là (2 ; -1) ; VTPT của (d’) là (3 ; 6) 
Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d) (d’).Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) tạo với (d) một góc 450 
 Gọi (a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm. Khi đó: 
 cos(; )= cos(,)=cos450
    Với a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình đường thẳng là: 
 3(x – 2) + (y – 1) = 03x + y – 7 = 0 
 Với b =-3a , chọn b = -3, a = 1 ta được phương trình đường thẳng là: 
 (x – 2) – 3(y – 1) = 0 x – 3y + 1 = 0
Vậy có hai đường thẳng () thỏa mãn bài toán là: 3x + y – 7 = 0 và 
 x – 3y + 1 = 0 
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức khoảng cách và góc để tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Dạng 4: Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước 
(mức độ 3).
 Đây là dạng toán có rất nhiều bài tập hay và khó và cũng rất khó để có thể đưa ra phương pháp giải cụ thể. Tuy nhiên ta có thể thấy hướng giải chung nhất thường là: Gọi điểm cần tìm là M(x;y ), sau đó dựa vào giả thiết của từng bài toán cụ thể để thiết lập phương trình, biểu thức liên hệ giữa x và y một cách hợp lí, suy ra tọa độ M. 
Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x − y − 4 = 0, d3: x − 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. 
Giải 
Vì M thuộc d3 nên M(2y ; y). Theo giả thiết, ta có: 
d(M;d1 )= 2 d(M;d2) 
Với y = -11 ta được điểm M (-22 ; -11). 
Với y = 1 ta được điểm M (2 ; 1). 
Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A 
Giải
 B thuộc d1 nên B(b ;2 – b) , C thuộc d2 nên C(c; 8-c). 
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: 
Suy ra: B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5 ; 3) 
Bài toán 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC 
Giải
- Vì G thuộc d nên G(t;4-3t). Gọi C(. Theo tính chất trọng tâm : 
Do đó C(3t-3;12-9t).
-Ta có :
- d(C,AB)= . 
Do đó : 
Bài toán 4: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm và đường thẳng . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
Giải
- M thuộc d thi M(a;3a-5 )
- Mặt khác : 
- Tính : 
- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
- Vậy trên d có 2 điểm : 
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0) ,B(3;-4). Hãy tìm trên d điểm M sao cho nhỏ nhất.
Giải
- Trên d có M(3-2t;t) suy ra : 
- Do vậy : 
- Hay : f(t)=.
 Dấu đẳng thức xảy ra khi t= . Khi đó min f(t)= .
3.4.Bài tập áp dụng
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A( −2; 0) và tạo với đường thẳng d:x+3y−3=0 một góc 	 
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1;1) đến đường thẳng ∆: x−y−2=0
Bài 3: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D) có phương trình:2x – y – 1 = 0 và hai điểm P (1;6); Q (-3;-4). Tìm điểm M(D) sao cho:
MP + MQ có giá trị nhỏ nhất 
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC có : A(1;1) B(2;4);C(8;2).Viết phương trình đường phân giác trong góc A
Bài 5: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;−1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A và C lần lượt là d: 3x−4y+27=0 và 
∆: x+2y−5=0
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+y−4=0.Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;−3) nằm trên đường cao đi qua điểm C của tam giác đã cho. 
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài.
 Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Khoảng cách và góc” hiện nay
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức khoảng cách và góc cho học sinh.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác nhau phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
 Trong những năm vừa qua khi nghiên cứu đề tài này và đưa vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn I, tôi thấy các em đã hiểu và vận dụng rất tốt vào giải bài tập. 
III. Kết luận, kiến nghị
1.Kết luận :
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán,với đam mê và tâm huyết với sự nghiệp giáo dục,thực hiện trên tinh thần « tất cả vì học sinh thân yêu »,trong đó việc truyền đạt kiến thức là một trong hai lĩnh vực quan trọng của giáo dục.Đặc biệt với nhiều năm giảng dạy học sinh là đối tương đại trà,bản thân nhận thấy đây là đối tượng chiếm số lượng khá đông trong nhà trường,và việc giúp các em có kết quả cao trong việc chiếm lĩnh tri thức là việc làm cần thiết và quan trọng.Tất nhiên để đạt được kết quả này thì yêu cầu cả người dạy và người học cần phải cố gắng và đặc biệt là kiên nhẫn rất nhiều.Ngoài việc tác động để các em có thêm động lực để học, bản thân luôn cố gắng hết sức với năng lực của bản thân và sự trau dồi kiến thức cũng như sự học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp cũng như các kênh thông tin khác,cố gắng tìm ra phương pháp cũng như hướng giải quyết một cách dễ hiểu nhất để giúp các em học có hiệu quả cao nhất.Với những phần kiến thức khó như : giải toán khoảng cách và góc (áp dụng cho học sinh lớp 10), tôi cũng đã mạnh dạn và bền bỉ đi theo mục tiêu của mình và cũng đã áp dụng vào công tác giảng dạy.Kết quả bước đầu cho thấy,không phải tất cả nhưng phần lớn học sinh của tôi đã say sưa học hình hơn và cũng có nhiều học sinh học tốt phần này.
2. Những kiến nghị đề xuất: Để đạt được yêu cầu trên, sự cố gắng hải từ hai phía cả thầy và trò.
 Đối với học sinh:
 - Phải phân tích đề bài thật kỹ và tìm lời giải theo các bước mà giáo viên đã hướng dẫn.
	- Phải kiên trì,chịu khó đầu tư thời gian nhất định để trau dồi kiến thức qua các tư liệu tham khảo (giáo viên giới thiệu).
	- Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của mình dưới sự hướng dẫn của thầy.
 Đối với giáo viên:
 - Phải đầu tư soạn giáo án cẩn thận,chu đáo từ nguồn tư liệu và kiến thức cũng như kỹ năng của mình (nếu có hỗ trợ của máy chiếu thì hiệu quả càng cao)
	- Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí, lực của học sinh.
	- Phải thực sự kiên trì và chịu khó vì học sinh là đối tượng tiếp thu bài không nhanh và dễ nản lòng, bỏ cuộc.
Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều các tài liệu để viết và xin ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và đưa vào giảng dạy cho học sinh để kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài. Nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu xót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được ý kiến bổ xung của các đồng nghiệ