SKKN Phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 – THPT thông qua việc giải một số bài toán xác định tọa độ điểm bằng phương pháp khai thác tính chất hình học

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Một nền kinh tế và xã hội càng phát triển thì lại càng cần nhiều những bộ óc biết giải quyết vấn đề. Xã hội không chỉ cần những bộ óc giải quyết được vấn đề mà người khác đặt ra cho mình. Xã hội còn rất cần những người tự vạch ra các mục tiêu và tự đặt ra các vấn đề cần giải quyết.
Để tạo ra một lớp người chủ giỏi trong tương lai, ngay từ bây giờ chúng ta cần chú trọng dạy cho học sinh THPT tư duy phân tích và tư duy sáng tạo. Đây cũng là chất liệu thiết yếu giúp các em tự tìm thấy lòng say mê trong học tập.
Đối với người đi học, niềm hạnh phúc đến từ tiến trình gồm ba bước: khám phá kiến thức mới – làm chủ kiến thức – vận dụng để sáng tạo ra thành quả được người khác công nhận. Tư duy phân tích và tư duy sáng tạo là chất liệu không thể thiếu cho người học xuyên suốt tiến trình ba bước này.
 Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận để tìm lời giải, biết tìm tòi và phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được phát triển các thao tác tư duy như tư duy phân tích, tư duy sáng tạo, 
 Chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học phổ thông đó là phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đây là một nội dung tương đối khó và thường xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Trong đó bài tập về tìm tọa độ điểm có vai trò quan trọng trong giải các bài toán tọa độ hình học phẳng lớp 10. Với học sinh việc giải bài tập về xác định tọa độ điểm vốn đã mất nhiều thời gian và là một vấn đề khó vì sự kết hợp giữa các tính chất hình học phẳng và sử dụng tọa độ. Khi giải các bài toán hình học tọa độ học sinh thường không chú trọng đến các tính chất hình học của bài toán ấy, do tâm lí chung là các em ngại học hình, là phần kiến thức mới đối với các em khi mới vào lớp 10. Hơn thế là do phân phối chương trình còn ít tiết và lượng bài tập trong sách giáo khoa chưa nhiều nên chưa đáp ứng được nhu cầu của học sinh khá, giỏi. Do đó hiệu quả giải toán không cao và sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng chưa tốt. 
 Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 – THPT thông qua việc giải một số bài toán xác định tọa độ điểm bằng phương pháp khai thác tính chất hình học”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng, sắp xếp các bài tập tìm tọa độ điểm có tính hệ thống, thông qua đó để phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
 	+ Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy phân tích, tư duy sáng tạo. 
 + Tìm hiểu khái niệm, kiến thức có liên quan đến tọa độ điểm.
 	+ Xây dựng và phân tích định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm tọa độ điểm trong chương trình hình học lớp 10.
 	+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, tôi chọn 2 lớp theo Trường THPT Lê Lợi năm học 2017-2018, cụ thể: lớp đối chứng: 10A8, lớp thực nghiệm:10A6. 
1.4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận; 
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, điều tra khảo sát thực tế,
 thu thập thông tin; 
+ PP thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.1 Tư duy phân tích là gì ?
 Theo tâm lý, phân tích là chia nhỏ thông tin, khái niệm thành những phần nhỏ và chỉ ra mối liên hệ của chúng với tổng thể. Nói một cách khác, phân tích là đào sâu suy nghĩ để hiểu biết. Đặc trưng của phân tích là chia nhỏ các thông tin, khái niệm để hiểu kĩ hơn.
Người dạy giúp học sinh có thể chia ra các bậc thang hợp lý kết nối các tầng kiến thức lại với nhau. Bậc thang lớn quá thì một học sinh năng lực trung bình không thể bước nổi. Bậc thang ngắn quá thì học sinh khá giỏi thấy nhàm chán, lười động não. Vậy nên, nhiệm vụ của một người thầy giỏi là giúp học sinh tự mình khám phá để đi từ một tầng kiến thức thấp tới một tầng kiến thức cao hơn. Bản thân người học mỗi khi khám phá ra được một cầu nối mới thì đã bắt đầu có thể cảm thấy được niềm hạnh phúc của việc sáng tạo.
 Đối với môn hình, phân tích đề bài là đọc kĩ đề bài, nắm vững giả thiết và kết luận của bài toán, vẽ hình biểu diễn, liên hệ, xâu chuỗi các kiến thức đã cho với yêu cầu của bài toán để tìm ra lời giải của một bài tập hình học phẳng nói chung và tìm tọa độ điểm nói riêng, từ đó giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình học phẳng lớp 10, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy trí tưởng tượng, tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em. 
2.1.2 Tư duy sáng tạo là gì ?
Sáng tạo được hiểu theo từ điển Việt Nam là làm ra cái mới chưa ai làm hoặc là tìm tòi làm tốt hơn một việc gì đó mà không bị gò bó.
	Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu hơn bản chất của sự vật hiện tượng cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển cái tốt.
 Như vậy tư duy sáng tạo là thuộc tính bản chất của con người để tồn tại và phát triển những điều tốt đẹp, trong các loại hình tư duy nhằm phản ánh hiện thực thì tư duy sáng tạo là loại hình tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và hiệu quả, phát hiện ra nội dung mới, tìm ra hướng đi mới đồng thời tạo ra kết quả mới.
Người học giỏi phải là người làm chủ được tri thức, biết định dạng, phân loại, để từ đó sáng tạo và nhận thức ra tri thức mới hữu ích cho mình. Việc giải bài tập chỉ mới là bước căn bản để học sinh hiểu bài chứ chưa hẳn đã tạo ra thử thách khả năng sáng tạo. Còn khi người học biết kết nối thông tin để hình thành nhận thức mới mẻ cho bản thân mình, thì đó chính là sự sáng tạo. Cũng chỉ thông qua đó thông tin mới thực sự sống động và thôi thúc lòng ham hiểu biết.
2.1.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích phân tích và tư duy sáng tạo.
 Khi tự mình phân tích và sáng tạo thì người học làm chủ được môi trường của mình. Việc phân tích và sáng tạo thành công tạo ra ấn tượng khám phá mới mẻ, đồng thời cho người học cảm giác được lao động, vượt qua chướng ngại để đem về thành quả sáng tạo.
 2.2 THỰC TRẠNG
 Qua khảo sát chất lượng đầu năm, đối với lớp 10A6, 10A8, hai lớp ngang nhau (60% từ khá trở lên), chất lượng bộ môn đạt 50% từ trung bình trở lên trong đó có 15% học sinh có điểm hình giỏi.
 Thực tế khi đứng trước một bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen đọc kĩ đề bài, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác giả thiết của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến bản chất của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán. 
 Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán phức tạp hơn thì học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen phân tích đề bài để tìm điểm mấu chốt cho bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng. 
2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):
Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện ôn tập kiến thức cơ bản và hình thành kỹ năng giải toán thông qua một số ví dụ có sự hướng dẫn của giáo viên.
Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh thực hành giải các bài toán tương tự thông qua đó phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh.
Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai và kỹ năng mà học sinh đạt được.
2.3.1 Kiến thức cơ bản
Tổ chức cho học sinh ôn tập củng cố lại một số kiến thức cơ bản.
Trước khi hướng dẫn học sinh khai thác các tính chất hình học phẳng để giải bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cần tổ chức cho học sinh ôn tập lại một số tính chất hình học cơ bản mà các em đã được học ở trung học cơ sở. Cụ thể là tính chất về các đường trong tam giác, các tính chất của đường tròn tứ giác nội tiếp, tính chất của hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông; các tính chất cơ bản của phần véc tơ trong mặt phẳng và phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 Tiếp theo, hướng dẫn học sinh tìm hiểu một số tính chất hình học thuần túy thường được khai thác trong các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm mục đích củng cố, khắc sâu thêm kĩ năng chứng minh quan hệ vuông góc, quan hệ song song, sự bằng nhau của các đoạn thẳng, các góc... đồng thời cũng để các em có cơ sở để tư duy, phát hiện các tính chất hình học ẩn chứa trong mỗi bài toán và vận dụng chúng trong quá trình tìm giải. Cụ thể là một số tính chất sau:
Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có các tính chất sau:
- Tính chất 1:
 Cho tam giác nội tiếp đường tròn (C), là điểm đối xứng của A qua I, H’ là giao điểm thứ hai của AH với (C). Khi đó ta có các kết quả sau:
1. Tứ giác BHCA’ là hình bình hành. 
2. Gọi M là trung điểm của BC, ta có 
3. Ba điểm I, G, H thẳng hàng và (định lí Ơle )
4. H’ đối xứng với H qua BC
- Tính chất 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Khi đó nếu thì .
- Tính chất 3: Cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Khi đó .
2.3.2 Xây dựng các ví dụ minh họa
 Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từng đặc trưng của mỗi bài. Việc áp dụng các cách giải khác nhau giúp cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể; tập luyện cho học sinh khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất hình học phẳng vào để giải quyết các bài toán tìm tọa độ điểm.
Phương pháp tiến hành của tôi rất đơn giản. Cấp tối giản nhất trong phương pháp giúp học sinh phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo chỉ gói gọn trong hai câu hỏi với từng bài toán. Thứ nhất, bài toán này có liên quan ra sao tới các kiến thức đã học ? Thứ hai, bài toán này có thể phát triển tạo ra nền tảng gì và vẫn còn lại khoảng trống nào ?
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã xây dựng hệ thống các ví dụ theo từng dạng, với mỗi bài toán tôi sẽ chỉ ra cách phân tích, lập sơ đồ tổng quát các bước giải, và cuối cùng là lời giải chi tiết. 
Thực hành giải toán: 
Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán. Trên cơ sở giả thiết và yêu cầu bài toán phân tích tìm cách giải bài toán.
Phân tích bài toán, tìm lời giải:
 Quan sát hình vẽ, xác định giả thiết và yêu cầu của bài toán; Trên cơ sở các dữ kiện của bài toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán. 
- Sắp xếp các điểm chưa biết tọa độ, các đường cần tìm theo thứ tự từ nhiều giả thiết đến ít giả thiết. Xác định xem nên ưu tiên tìm điểm nào? Đường nào trước?
- Phân tích các điểm, các đường trên hình vẽ: Liên hệ các điểm, các đường đã biết với nhau; liên hệ các điểm, các đường cần tìm với các điểm đã biết tọa độ hoặc tìm được ngay tọa độ với các điểm khác, với các đường mà giả thiết cho, với tính chất các đường, các góc trong tam giác, trong đường tròn, trong tứ giác (thường là tứ giác nội tiếp, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông)để dự đoán tính chất hình học ẩn chứa trong bài toán, tiến hành chứng minh tính chất đã phát hiện rồi dựa vào tính chất đó để giải quyết bài toán. 
Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán. 
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2.
VÍ DỤ MINH HỌA
DẠNG 1: XÉT TRONG TAM GIÁC
Ví dụ 1. ( Đề thi THPT quốc gia năm 2015)
Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng AD. Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng : x - y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm A
 1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:
Giả thiết cho xoay quanh điểm H, K và đường thẳng AC, vẽ hình ta cũng dự đoán được AK vuông góc với HM.
 Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra MH = MK. Chứng tỏ M nằm trên đường trung trực của HK .
MA = MK, và tam giác AHK cân tại H , suy ra HA = HK. Vậy điểm A đối xứng với điểm K qua đường thẳng HM.
Như vậy điểm mấu chốt của bài toán là chứng minh được A đối xứng với K qua đường thẳng HM.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+ Viết phương trình đường trung trực d của HK 
+ , trong đó : x – y + 10 = 0, suy ra tọa độ điểm M
+ HM là đường trung trực của AK. Viết phương trình đường thẳng HM, viết phương trình đường thẳng AK: đi qua K và vuông góc với HM.
+ Tìm được tọa độ giao điểm I của HM và AK.
+ A đối xứng với K qua HM. Suy ra I là trung 
điểm của AK.
+ Suy ra tọa độ điểm A 
3. Trình bày lời giải bài toán 
Ta có tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M, 
suy ra MH = MK. Chứng tỏ M nằm trên đường trung trực của HK .
Đường trung trực d của HK có phương trình y = -7x + 10 
Điểm M là giao của đường thẳng d và : x – y + 10 = 0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
Suy ra điểm M (0; 10).
Ta có .Suy ra ∆HAK cân tại H, mà MH = MK nên điểm A chính là điểm đối xứng của K qua MH.
Ta có , đường thẳng MH đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x –y +10 = 0.
Đường thẳng AK đi qua K và vuông góc với HM nên có phương trình: x+3y =0.
Gọi I là giao của AK và HM. Ta có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ . vậy I. I là trung điểm của AK, suy ra tọa độ điểm A (-15; 5).Vậy tọa độ điểm A (-15; 5).
Nhận xét: Những dự đoán liên hệ những yếu đã cho và những yếu tố chưa biết thường xảy ra là quan hệ vuông góc, song song, độ dài đoạn thẳng, hoặc số đo góc
Ví dụ 2. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm và có trực tâm H thuộc đường thẳng . Biết đường thẳng AB có phương trình và khoảng cách từ C đến AB bằng . Tìm tọa độ điểm C, biết hoành độ điểm C nhỏ hơn 2.
 1. Phân tích
 * Do H thuộc d nên H(4t + 5; t). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
	 	Ta có: 
 * Măt khác, ta có: 
 * Gọi M là trung điểm AB, suy ra tọa độ M là hình chiếu của I trên AB nên M(5; 4)
 * Với t = 1 ta có Từ 
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 
Nhận xét:Trong tam giác ABC nếu H, G, I lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì ta luôn có: 
+ ,
+ CH cắt đường tròn ngọi tiếp thì tại H’ thì H và H’ đối xứng nhau qua AB.
DẠNG 2: XÉT TRONG HÌNH VUÔNG
Ví dụ 3.
Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, biết CM cắt DN tại . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD tại . Biết , tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông. 
1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán: 
Ta có 
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của DM) suy ra ED = EI, mà H là trung điểm của DI , 
mà suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật vuông tại I 
	Ta có cân tại A( do tam giác DIC vuông tại I) 
Như vậy mấu chốt của bài toán là phát hiện được AI vuông góc với IP và AI=2IP.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh tam giác AIP vuông tại I
+) Viết phương trình đường thẳng AI: đi qua I và vuông góc với PI
+) Chứng minh AI = 2 IP, biểu thị tọa độ điểm A theo tham số t. AI = 2IP suy ra tọa độ điểm A, rồi viết phương trình AP.
+) Viết phương trình DN: qua I và vuông góc với AP, suy ra toạ độ điểm , H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D
+) Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra tọa độ điểm , P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C
+) suy ra toạ độ điểm B
3. Trình bày lời giải bài toán 
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED = EI, mà H là trung điểm của DI , 
mà suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật vuông tại I 
	Ta có cân tại A( do tam giác DIC vuông tại I) 
	Đường thẳng AI qua I và vuông góc với PI nên có phương trình . 
Do nên A(2; 4) suy ra pt(AP): 
 suy ra pt(DN): x – 2y = 0
Vậy 
 Nhận xét: Trong hình vuông ta luôn có CM vuông góc với DN.
 DẠNG 3: XÉT TRONG HÌNH CHỮ NHẬT
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết , phương trình đường thẳng chứa cạnh và điểm A có tung độ dương.
1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán: 
Bài toán cho xoay quanh điểm K và đường thẳng AC, nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện KD ^ AC. 
Ta có (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác ) ,
.Ta đã có nên 
Vậy ( tổng 2 góc trong một tam giác bằng 90)
 suy ra góc ® KD ^ AC.
Điểm mấu chốt của bài toán là phát hiện KD ^ AC.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán.
+ Viết phương trình KD ® H = KD Ç AC ® tọa độ H. 
+ Tham số hóa điểm A theo đường AC ® 1 ẩn nên cần một phương trình 
® Tính độ dài AK = ? theo tham số 
 	+ Dựa vào định lý thuận Thales ta tính được độ dài AK.
 	+ Có tọa độ điểm A tọa độ C ® tọa độ trung điểm I của ACtọa độ D ® tọa độ B. 
 3. Trình bày lời giải bài toán 
 Gọi H = AC Ç KD. Do KD đi qua điểm K(5 ;-1) và KD ^ AC: 2x + y - 3 = 0 
Þ KD: x - 2y - 7 = 0.
 Tọa độ H là nghiệm của hê: 
 Ta có A Î AC: 2x + y - 3 = 0 Þ A(a; 3 - 2a).
Do A có tung độ dương nên 3 - 2a > 0 Þ và 
	Mặt khác 
 	Suy ra . Vậy.
Gọi I là trung điểm của AC.
 Ta có Þ 
	Suy ra 
 I là tâm hình chữ nhật ABCD Þ I là trung điểm AC và BD và I(2;-1)
	Ta có 
Nhận xét: Có thể thấy bài toán đã vận dụng linh hoạt rất nhiều kỹ thuật, phương pháp để giải quyết các đối tượng cần tìm. Về phần chứng minh vuông góc, có nhiều phương án tiếp cận khác nhau nên chúng ta có nhiều cách chứng minh khác nhau. Ví dụ chúng ta có thể mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vuông ADEF và ta sẽ dễ dàng chứng minh được I là trực tâm của tam giác AKD, suy ra AC ^ KD). Khai thác tính chất trực tâm để chứng minh hai đường thẳng vuông góc được sử dụng rất nhiều trong các bài toán thi ĐH cũng như học sinh giỏi. Và sau khi đã chứng minh được AC ^ KD thì ta thấy được sự vận dụng “định lý Thales” tìm tỉ lệ các đoạn thẳng và “chuyển từ đẳng thức độ dài về đẳng thức véctơ” để bài toán đơn giản hơn và không xuất hiện thêm nghiệm ngoại lai. 
DẠNG 4: XÉT TRONG HÌNH BÌNH HÀNH
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD có . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2; -1), N(2; -1). Biết AC nằm trên đường thẳng có phương trình . Tìm toạ độ A và C. 
1. Phân tíchVẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán: 
Gọi I là trung điểm của BD thuộc trung trực của MN
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh I thuộc trung trực của MN
+) Viết phương trình đường trung trực của MN, suy ra toạ độ điểm I, suy ra độ dài IM, BD, AC
+) Viết phương trình đường tròn đường kính AC, suy ra toạ độ A, C là giao điểm của AC và đường tròn đường kính AC
3. Trình bày lời giải bài toán 
Gọi I là trung điểm của BD thuộc trung trực của MN. Trung trực của MN có phương trình x = 0.
Do 
Phương trình đường tròn đường kính AC là .
Toạ độ A, C là nghiệm của hệ hoặc 
Do đó 
DẠNG 5: XÉT TRONG HÌNH THANG
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang c