SKKN Phát triển khả năng sáng tạo của học sinh khá giỏi lớp 9 qua việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán Hình học lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 QUA VIỆC TÌM NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
Người thực hiện: Lê Vũ Dũng
Chức vụ: Giáo Viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Phú – Nông Cống
SKKN thuộc môn: Toán
NÔNG CỐNG, NĂM 2017
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận:
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hổ trợ cho các môn học khác.Với môn hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh . Đặc biệt là rèn luyện của học sinh khá, giỏi. Nâng cao được năng lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán nhất là bộ môn hình học càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo đối với bộ môn hình học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán đoán lôgíc 
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua các năm công tác giảng dạy ở trường tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất. Đặc biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường việc có được học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất khó khăn đặc biệt đối với các giải cao lại càng khó hơn, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo. Vì vậy tôi tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm này: "Phát triển khả năng sáng tạo của học sinh khá giỏi lớp 9 qua việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học lớp 9" 
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài Toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự.
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi từ trước đến nay. Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc, mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình.
PHẦN II: NỘI DUNG
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
1.1. Thực trạng :
a) Thuận lợi:
Được sự chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất. Bên cạnh đó trường THCS Trần Phú đã và đang xây dựng thành trường trọng điểm chất lượng cao của huyện Nông Cống điều này thúc đẩy các giáo viên nói chung và giáo viên dạy toán nói riêng và học sinh phải năng động tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học toán. Mặt khác, nhà trường có nhiều học sinh khá giỏi nên đối tượng mà tôi áp dụng đến cũng gặp nhiều thuận lợi hơn. 
b) Khó khăn: 
Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như: tài liệu tham khảo thêm cũng còn đang hạn chế, bản thân mặc dù cũng đã dạy HSG nhiều năm nhưng kinh nghiệm vẫn cần được tích lũy thêm, số học sinh độc lập tư duy sáng tao không nhiều.
Chính vì vậy càng cần phải rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này.
1.2. Các số liệu của thực trạng : 
Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, qua trắc nghiệm hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 25% các em thực sự có hứng thú học toán (có tư duy sáng tạo), 45% học sinh thích học toán (chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo) và 30% còn lại nửa thích nửa không . Qua gần gủi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học xong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình sự sáng tạo trong cách giải một bài toán nào đó, bởi vì do tâm lí người học chỉ học để phục vụ cho thi chứ chưa phải vì sự say mê do vậy học sinh chưa có hứng thú học toán và kết quả qua các kì thi chưa cao.
2. Quá trình thực hiện đề tài:
2.1. Giải pháp thực hiện:
- Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một bài toán.
- Hướng dẫn học sinh đưa ra các cách giải cho một bài toán, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được một lời giải ngắn nhất và phù hợp nhất đối với từng học sinh.
- Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát,đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải. 
- Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản vào giải quyết các vấn đề có liên quan.
2.2. Kiến thức cần truyền đạt:
Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện được khả năng sáng tạo, tìm được nhiều cách giải do đó bản thân người thầy, người dạy phải là người tìm ra nhiều cách giải nhất và hướng dẫn học sinh tìm được lời giải cho bài toán. Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản và một bài tập điển hình cho dạng toán. 
Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong tam giác,và góc với đường tròn.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Dạng 4: Chứng minh các tam giác đồng dạng.
Dạng 5: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Dạng 6: Hệ thức trong hình học
3. Tổ chức thực hiện:
Tìm tòi cách giải bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
BÀI TOÁN 1: Trong hình vuông ABCD và nữa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đường tròn đường kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB.
Cách giải 1: (Hình 1)
Gợi ý : - Kẻ PI AB 
 - Xét hai tam giác APK và API
Lời giải: Kẻ PI AB. 
Xét APK và API :
APK vuông tại K (Vì = 900 góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính AD)
ADP cân tại D, AD = DP 
Mặt khác: (So le trong vì AD // PI)
Do đó: APK = API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI
Cách giải 2: (Hình 2)
 Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh hai tam giácAPK và API bằng nhau cách 1 ta chứng minh . Ta chứng minh 
 - Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn đường kính AD 
Lời giải: Ta có: = 900 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác 
suy ra. 
mà ; Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc
Suy ra: APK = API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI
Cách giải 3: (Hình 2)
Gợi ý: - Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh nhưng việc chứng minh được áp dụng bằng kiến thức khác.
	- Chú ý rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D nên ta có: 
Lời giải: Ta có (Có số đo bằng sđ)
Mặt khác góc là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên góc bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc 
 = Suy ra: APK = API 
(Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI
Cách giải 4: (Hình 3)
Gợi ý: - Kéo dài K cắt đường tròn tâm D tại E 
 - Áp dụng định lí của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Lời giải: DK AE nên .
 Góc (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc 
Suy ra: APK = API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI
Đối với bài toán trên để chứng minh hai đoạn thẳng PK và PI bằng nhau ta đi chứng minh APK = API vấn đề giáo viên cần cho học sinh tư duy và vận dụng sáng tạo kiến thức về. 
- Trường hợp bằng nhau trong tam giác vuông.
- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
- Góc nội tiếp.
Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong hình học:
BÀI TOÁN 2: Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh = - .
Cách giải 1: (Hình 1)
Gợi ý: - Kẻ OI ^ AC cắt AH ở M 
 - Áp dụng kiến thức về góc ngoài tam giác.
 - Góc nội tiếp,góc ở tâm.
Lời giải: Ta có: = (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
= (cùng bằng sđ)
Trong DOAM thì: = + (Góc ngoài tam giác)
Hay 
Vậy: (Đpcm)
Cách giải 2: (Hình 2)
Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D .
Lời giải: Ta có: (1) (Cùng chắn)
 (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: 
Mà (góc ngoài tam giác)
Vậy: (Đpcm)
Cách giải 3: (Hình 3)
Gợi ý: - Kẻ đường kính AOD 
 - Kẻ DK ^ BC
Lời giải: Ta cóDK // AH (1) (so le trong)
 (2) (góc nội tiếp cùng chắn)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được 
Mà: (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
. Vậy (Đpcm)
Cách giải 4: (Hình 4)
Gợi ý: - Kẻ đường kính AOD
 - Kẻ CK ^ AD
Lời giải: Ta có: (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
 (2) (góc nội tiếp cùng chắn )
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: 
Mà: (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Vậy: (Đpcm)
Cách giải 5: (Hình 5)
Gợi ý: - Kẻ đường kính AOD
 - Gọi M là giao điểm của AH và DC 
Lời giải: Ta có: (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
 (2) (góc nội tiếp cùng chắn)
Trừ từng vế của (1) và (2) Ta được: 
Mà: (góc ngoài tam giác)
Vậy (Đpcm)
Cách giải 6: (Hình 6)
Gợi ý:	 Kẻ OI ^ BC và OK ^ AB
Lời giải: Ta có: (1) (so le trong)
 (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được 
Mà (Cùng bằng sđ )
Vậy (Đpcm)
Cách giải 7: (Hình 7)
Gợi ý: Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC
Lời giải: Ta có: (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
 (2) (so le trong)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: 
Mà: (góc nội tiếp cùng chắn)
Vậy (Đpcm)
Đây là một bài toán có nhiều cách giải khác nhau nhưng ở bài toán này việc sử dụng yếu tố vẽ thêm đường phụ là một vấn đề quan trọng cho việc tìm ra các lời giải và là vấn đề khó đối với học sinh ở bài toán trên giáo viên cần cho học sinh chỉ ra kiến thức đã vận dụng vào giải bài toán.	
- Kiến thức về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.
- Góc nội tiếp, góc ở tâm, góc ngoài tam giác.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
BÀI TOÁN 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ ; . MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cách giải 1: (Hình 1)
Gợi ý: Đây là một bài toán hình tương đối khó đối với học sinh nếu không có tư duy tốt trong hình học. Khi đưa ra bài toán này ngay cả việc vẽ hình cũng là một vấn đề khó và các em đã không tìm ra được lời giải. Dưới sự hướng dẫn của thầy. 
Ta có AN; BP và AN là các tia phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Khi đó ta có I chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Để chứng minh cho RS // BC và I RS ta đi chứng minh IR//BC; IS//BC rồi sử dụng tiên đề về đường thẳng song song để suy ra điều phải chứng minh. Sau một thời gian ngắn một học sinh đã tìm ra được lời giải cho bài toán này. Và cũng là lời giải ngắn mà thầy đã tìm ra. 
Lời giải: Xét NBI ta có: mà  ; (Góc nội tiếp chắn cung ); = 
Do đó ; 
	 = (Góc ngoài của tam giác ABI)
 NBI cân tại N N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
=sđ = 
Vì là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và 
 ; ; = 3600 = 900 
 RN là trung trực của đoạn thẳng BI BR = RI 
RBI cân tại R 
 IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC 
 R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cách giải 2: (Hình 2)
Gợi ý: Trong cách giải này yêu cầu học sinh phải nắm lại kiến thức cũ về định lý Ta-lét đảo và tính chất đường phân giác trong tam giác đây là tính chất quan trọng mà các em đã được học ở lớp 8 đa số HS ít thậm chí là không hay để ý đến tính chất này.
Lời giải: Theo giả thiết ta có do đó MN là phân giác của 
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có: (1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN (2) 
vì nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được 
 RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:
 mà suy ra 
BND ANB (vì có góc chung và) 
Nên . Vậy 
Suy ra BI là phân giác của góc 
Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm) 
BÀI TOÁN 4: T ừ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng 
	 (Đường thẳng này gọi là đường thẳng Simson)
Cách giải 1: 
Vì tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp
(*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp 
 (**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn (1)
 (2)
Từ (1) và (2) = 
 (***)
Từ (*) ; (**) và (***) 
 = D ; E ; F thẳng hàng.
Cách giải 2: 
 Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp (1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn 
Mà (2) 
 Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp = ( 3) 
Từ (1) ; (2) và (3) ta có : 
Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng
Đối với bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên quan vì vậy ngay cả việc tìm ra lời giải đã khó việc tìm ra các cách giải khác nhau là một vấn đề quá khó, với bài này bản thân học sinh của tôi không làm được sau khi giáo viên gợi ý học sinh đã dần tư duy sáng tạo và tìm được hướng đi của bài toán. Đơn vị kiến thức được áp dụng để giải bài toán.
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chứng minh hai góc kề có tổng số đo bằng 1800.
- Tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Góc nội tiếp trong đường tròn.
Dạng 4: Chứng minh tam giác đồng dạng:
BÀI TOÁN 5: Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R1) tại C và (O';R2) tại D. Chứng minh các tam giác PAC và PBD đồng dạng.
Sau khi đọc bài toán này giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc với nhau. Và từ đó cần yêu cầu học sinh để giải bài toán trên chung ta phải đi xét hai trường hợp xảy ra.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài và hai đường tròn tiếp xúc trong. Ở đây tôi chỉ trình bày về hai đường tròn tiếp xúc ngoài còn trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngoài chúng ta chứng minh tương tự
Cách giải 1: (Hình 1)
Gợi ý: - Tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau
- Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai 
Lời giải: Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: và mà (Hai góc đối đỉnh)
 OAP O'BP (1)
Tương tự ta cũng có:
 và mà ( Hai góc đối đỉnh)
 OCP O'DP (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
Lại có Suy ra : PA1B1 PA2B2
Cách giải 2: (Hình 2)
Gợi ý: - Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.
	 - Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba 
	 - Áp dụng định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Lời giải: Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.
Ta có. (Áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)
Mặt khác (hai góc đối đỉnh)
Suy ra : PA1B1 PA2B2
Dạng 5 : Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn:
BÀI TOÁN 6: Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.
Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ . 
Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC (Hình 1)
Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC (Hình 2)
Gợi ý: - Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP. 
 - Áp dụng tính chất giữa các đường (đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình) trong tam giác.	
 - Kiến thức về tứ giác nội tiếp.
 - Tính chất góc ngoài tam giác.
Cách giải 1: 
Xét ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực KA = KP (1)
Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực IA = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH
 ( Hình 1)
Hoặc (Hình 2)
Xét tứ giác AKOI có = 900 AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 2:
Ta có BN là đường trung trực của AH mà nên 
 Tứ giác AOHC nội tiếp được. A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 3:
ABI là tam giác vuông nên = 1800 hay Suy ra: = 900 bằng (hoặc bù) với góc Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 4:
* Đối với (Hình 1) ta có Góc ngoài trong tam giác
 = (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) 
 Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có 
 = (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp ) 
Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 5:
Ta có 	 (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)
 (Hình 1)
hoặc (Hình 2)
Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn
Dạng 6: Hệ thức trong hình học:
BÀI TOÁN 7: Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: 
Cách giải 1: (Hình 1)
Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC
Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân 
Vì và (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều
Xét hai tam giácCQP và BQN có: 	 (Hai góc đổi đỉnh)
 = 600
Nên: CQP BQN 
 ( Đpcm)
Cách giải 2: (Hình 2)
Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC 
Ta có: = 600 ( Vì = 1200 góc nội tiếp chắn cung 1200)
nên tam giác CPD là tam giác đều = 600 
Vì vậy AP // CDBPQ BDC.
 (Đpcm)
Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng. HS cần áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã được học ở lớp 7 vào giải bài toán.
Hai cách giải trên tương tự giống nhau. Song sau khi đã tìm được lời giải 1 giáo viên cần gợi ý cho HS qua câu hỏi. Vậy nếu trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC thì ta có thể chứng minh được hệ thức trên hay không?
Như vậy thì học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho bài toán.	
 Bài tập có thể giải được nhiều cách.
Bài tập 1: Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho 
= 150. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác đều.
Bài tập 2: Chứng minh định lí Pitago.
Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đường chéo AC và BD gọi M và N là trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đường tròn.
Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD; AD = BC; M và N là trung điểm chính giữa của AB và DC kéo dài AD, MN cắt nhau tại E kéo dài BC, MN cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: 
Bài tập 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân.
Khái quát hoá bài toán.
Sau khi đã tìm ra các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá bài toán bằng cách trả lời được một số câu hỏi cụ thế sau:
1) Trong các cách chứng minh những kiến thức nào đã được vận dụng ?
2) Có những cách chứng minh nào tương tự nhau? Khái quát đường lối chung của các cách ấy?
3) Và trong cách chứng minh trên kiến thức nào đã vận dụng và kiến thức