SKKN Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số có công thức truy hồi đặc biệt bằng cách sử dụng cấp số cộng - Cấp số nhân

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
	Bài toán tính giới hạn của một dãy số là một bài toán khó đối với học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến những phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách áp đặt và chưa logic. Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không có đủ cơ sở lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng đối với người học toán. 
	Để tính giới hạn của một dãy số ta có nhiều phương pháp, trong đó có một phương pháp rất cơ bản là tìm số hạng tổng quát của một dãy số; để xác định số hạng tổng quát của một dãy số ta lại có nhiều phương pháp. Vì lí do về thời lượng nên trong SKKN này tôi chỉ xin đề cập phương pháp xác định SHTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi dạng đặc biệt bằng cách sử dụng CSC-CSN.Vì vậy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số có công thức truy hồi đặc biệt bằng cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số và giới hạn tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh chủ động, sáng tạo trong việc xác định SHTQ của dãy số qua đó tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Trên cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài toán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải tương ứng, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này sẽ nghiên cứu các dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt mà có thể dùng tính chất của CSC-CSN để tìm được số hạng tổng quát và được áp dụng vào học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Thực hành qua các bài dạy.
+ Khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Cấp số cộng
	Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) 
thoả mãn:() [1], d là số thực không đổi gọi là “công sai”.
	Tính chất:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng: [1].
	 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
	[1].
2.1.2. Cấp số nhân
	Định nghĩa:
	Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: (),q là số không đổi gọi là “công bội ”[1].
Tính chất:
	 Số hạng tổng quát:[1].
 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
	 (q1)[1].
(nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:
Bài tập 1. Cho dãy số (un) xác định như sau: 
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi là một cấp số nhân.
b) Tính limun[1].
 Bài tập 2. Cho dãy số () xác định bởi 
Tính lim[2].
Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận xét sau đây:
 Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh
thường lúng túng trong việc tìm ra cách giải cho bài toán.
 Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định SHTQ của dãy số nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một CSC-CSN qua đó tìm giới hạn của dãy số.
Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh biết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề không dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ động và sáng tạo trong việc giải quyết vấn đề này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
	Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đưa ra một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt và xây dựng phương pháp xác định SHTQ của dãy. Trong khuôn khổ của SKKN này, tôi xin đưa ra một số dạng sau đây:
Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định như sau. Hãy xác định SHTQ của dãy số[2].
Nhận xét:Để giải quyết bài toán này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau:
Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp)
	Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+0.2 =1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+1.2 =1+(2-1).2
u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2
 ...
 Dự đoán un = 1+(n-1).2
 Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng) 
 Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2 nN*
Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2. Vậy un = -1+2n
Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:.
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi là một cấp số nhân.
b) Tính limun[1].
Lời giải:
a) Ta có . 
Nên (vn) là một CSN có công bội và v1. Do đó .
b) Từ câu a) suy ra . Do đó .
Nhận xét:
	1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến để dãy (vn) là một CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm số b sao cho 
Do vậy nếu đặt thì nên (vn) là một cấp số nhân.
	2. Ngoài ra có thể đặt , khi đó ta có .
Suy ra 
	3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới: "đềxuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"
Bình luận:	Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm. Trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức phổ thông.
Ví dụ 1.3.Cho dãy số được xác định bởi:. Hãy xác định SHTQ của dãy số .
Lời giải:
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy () không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy () không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VP. Ta tìm cách làm mất -1 và đưa dãy số về CSN.
Ta có nên viết công thức truy hồi của dãy như sau:	 (1)
Đặt và Dãy là CSN công bội q=3 
 .Vậy 
 Nhận xét: Mấu chốt ở cách làm trên là ta phân tích để chuyển công thức truy hồi của dãy về (1), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy là 1 CSN . Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm ! Làm thế nào ta biết phân tích ? Ta có thể làm như sau:Ta phân tích 
Với cách làm này ta xác định được SHTQ của dãy : 
Thật vậy:
*Nếu a=1 thì dãy () là CSC có công sai d=b nên =.
*Nếu a1 ta viết 	. Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau: , từ đây ta có được : 
Hay 
Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 1:Dãy số (): là các hằng số) có SHTQ là:
Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ của dãy () được xác định: 
Lời giải:
Để tìm SHTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n-1 để chuyển về dãy số là một CSN. Muốn làm vậy ta viết:Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau:
Đặt ta có và 
Vậy SHTQ của dãy : 
Nhận xét :
1) Để phân tích được đẳng thức (2), ta làm như sau: 
 cho n=1;n=2 ta có 
2) Trong trường hợp tổng quát dãy :, trong đó là một đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ như sau:
phân tích =-a(3)Với cũng là 1 đa thức theo n . Khi đó ta có:
Vậy ta có:
Vấn đề còn lại ta xác định như thế nào?
Ta thấy:
*Nếu a=1 thì hàm số - là 1 đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của , mà là đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định thì trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n bất kì ta được hệ k+1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của 
*Nếu a1 thì -là 1 đa thức cùng bậc với nên ta chọn là đa thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được .Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 2:Để xác địnhSHTQ của dãy được xác định bởi trong đó là 1 đa thức bậc k theo n; a là hằng số. Ta làm như sau:
Ta phân tích: =- với là 1 đa thức theo n.Khi đó, ta đặt ta có được: 
(Lưu ý nếu a=1, ta chọn là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng không, còn nếu a1 ta chọn là đa thức bậc k)
Ví dụ 1.5. Cho dãy số Tìm SHTQ của dãy .
Lời giải: Ta phân tích 
(Trong đó ).
Cho: n=0,n=1 ta có hệ
Ví dụ 1.6. Cho dãy số 
Tìm SHTQ của dãyvà tính 
(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Lời giải: Trường hợp này ta phân tích 
Đến đây dễ dàng tìm được giới hạn 
Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát dãy , ta phân tích
 với .Khi đó:
Suy ra Trường hợp 	, ta phân tích Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 3: Để xác định SHTQ của dãy , ta làm như sau:
Nếu 
Nếu ta phân tích . Khi đó: 
Ta tìm được: .
Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ của dãy ;n=2,3,
Lời giải:Ta có cho n=1, ta được 
Hơn nữa 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau:
Vậy
Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ của dãy 
Lời giải: Ta phân tích:nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:
Vậy 
Dạng 4: Để xác định SHTQ của dãy , trong đó là đa thức bậc k của n.
Nhận xét:Đây là một sự kết hợp của dạng 2 và 3 nên ta phân tích từ và như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.
Ví dụ 1.9. Xác định SHTQ của dãy:
Lời giải:Để xác định SHTQ cả dãy số trên, ta thay thế dãy bằng một dãy số khác là một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:
, do đó ta phải chọn hay là nghiệm của phương trình :. Ta chọn . Khi đó :
Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm được:
Ví dụ 1.10. Cho dãy số 
Tìm SHTQ của dãy và tính 
(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Lời giải: Từ giả thiết ta có 
Suy ra dãy là một cấp số nhân có công bội (1)
Cũng từ giả thiết ta có 
Suy ra dãy là một cấp số nhân có công bội (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
Nhận xét: Tương tự với cách làm trên ta xác định SHTQ của dãy được xác định bởi:, trong đó a,b là các số thực cho trước và như sau:
Gọi là 2 nghiệm của phương trình:(phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy)
Khi đó:Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trường hợp sau:
Nếu thì .Hay , trong đó k,l là nghiệm của hệ: 
Nếu thì , hay , trong đó k, l là nghiệm của hệ: 
Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 5: Để xác định SHTQ của dãy , trong đó a,b,c là các số thực khác không; ta làm như sau:
Gọi là 2 nghiệm của phương trình đặc trưng:
Nếu thì , trong đó là nghiệm của hệ: 
Nếu thì , trong đó là nghiệm của hệ:.
Ví dụ 1.11. Cho dãy số được xác định bởi:.Hãy xác định SHTQ của dãy ().
Lời giải:
Phương trình có 2 nghiệm 
. Vì nên ta có hệ : Vậy .
Ví dụ 1.12. Xác định SHTQ của dãy: 
Lời giải:
Phương trình đặc trưng: có nghiệm kép x=2 nên 
Vì nên ta có hệ:.Vậy .
Ví dụ 1.13. Cho dãy . Xác định SHTQ của dãy .
Lời giải:
Với cách làm tương tự như ví dụ 5, ta phân tích: (1)
Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ: 
Đặt và 
Ta có hệ 
Nhận xét : Để xác định SHTQ của dãy số :(trong đó là đa thức bậc k theo n và ) ta làm như sau:
Ta phân tích (2) rồi đặt 
Ta có được dãy số.Đây là dãy số mà ta đã xét ở dạng 5. Do đó ta sẽ xác định được SHTQ của 
Vấn đề còn lại là ta xác định như thế nào để có (2)?
Vì là đa thức bậc k nên ta phải chọn sao cho là một đa thức bậc k theo n.Khi đó ta chỉ cần thay giá trị bất kì của n vào (2) ta sẽ xác định được .
Giả sử là đa thức bậc m. Khi đó hệ số của và trong VP là và 	
Do đó:
Nếu PT: (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì nên VP (2) là một đa thức bậc m.
Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm và nên VP (2) là một đa thức bậc 
Nếu PT (3) có nghiệm kép nên VP (2) là một đa thức bậc .
Vậy để chọn ta cần chú ý như sau:
+) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, thì là một đa thức cùng bậc với 
+)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn trong đó là đa thức cùng bậc với .
+)Nếu (1) có nghiệm kép thì ta chọn trong đó là đa thức cùng bậc với .
Dạng 6: Để tìm SHTQ của dãy(trong đó là đa thức theo bậc và) ta làm như sau:
Xét là một đa thức bậc k:
Nếu phương trình : (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta phân tích rồi đặt 
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm , ta phân tích rồi đặt 
Nếu (1) có nghiệm kép , ta phân tích rồi đặt
Ví dụ 1.14. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:
Vì phương trình có 2 nghiệm nên ta phân tích
, cho ta có hệ:
Đặt và 
 với 
Ví dụ 1.15. Tìm SHTQ của dãy số 
Lời giải: Ta phân tích .
Cho ta có Đặt và Vì phương trình có hai nghiệm nên Với 
Vậy 
Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ của dãy số được xác định bởi:
 (với ) như sau:
Ta phân tích (1).Cho thì (1) trở thành: 
Từ đây, ta tìm được khi không phải là nghiệm của phương trình:
 (8)
Khi đó, ta đặt ta có dãy 
 là 2 nghiệm của (2)).
Vậy nếu là nghiệm của (2) , tức là thì ta sẽ xử lí thế nào?
Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích:
(3).
Cho ta có: ().
có nghiệm là nghiệm đơn của phương trình (2).
Khi đó:.
Cuối cùng ta xét trường hợp là nghiệm kép của (2). Với tư tưởng như trên, ta phân tích:	 (4).
Cho ta có : (10) 	.
Khi đó:Vậy ta có kết quả sau: 
Dạng 7: Cho dãy số xác định bởi : ;
Để xác định SHTQ của dãy ta làm như sau:
Xét phương trình: (1).
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác thì
 với 
Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn thì 
 với 
Nếu là nghiệm kép của (1) thì:
Ví dụ 1.16. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:
Phương trình có 2 nghiệm , do đó 
Với .
Vậy 	.
Ví dụ 1.17. Tìm SHTQ của dãy 
Lời giải:
Phương trình có nghiệm kép nên 
Dựa vào ta có hệ: .Vậy 	.
Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau:
Dạng 8:Cho dãy .
Để xác định SHTQ của dãy ta xét phương trình: (1).
Nếu (1) có 3 nghiệm phân biệt. Dựa vào ta tìm được 
Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép:
Dựa vào ta tìm được .
Nếu (1) có nghiệm bội 3 
Dựa vào ta tìm được .
Nhận xét: Thực tế đến dạng toán này là bắt đầu phức tạp thêm, các ví dụ được trình bày lời giải chỉ mang tính minh họa. Dạng này ta ít gặp trong đề thi.
Ví dụ 1.18. Tìm SHTQ của dãy 
Lời giải: Xét phương trình đặc trưng : 
Phương trình có 3 nghiệm thực: Vậy 
Cho và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
Vậy 
Bài tập vận dụng:
Tôi xin trích một số câu trong các đề minh họa, giao lưu hoặc thi HSG cấp trường của một số trường trên địa bàn tỉnh thay cho các đề minh họa cho các dạng toán vì hai lí do: thứ nhất các ví dụ minh họa cho các dạng toán đã rất tốt; thứ hai tôi muốn định hướng đến các dạng toán mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp.
1. (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi: Tính số hạng tổng quát của dãy số.
2. (Đề giao lưu THPT Thạch Thành 1) Cho dãy số xác định bởi: Tính số hạng tổng quát của dãy số.Từ đó tính tổng 
3. (Đề minh họa nhóm toán THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác định bởi : Tính số hạng tổng quát của dãy và tìm
4. (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi: Tính 
5. (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi :Với a, b là 2 số thực dương cho trước. Tính số hạng tổng quát của dãy theo a, b và n.
6. (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi: Tính 
7. (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi:Tính 
8.(Đề giao lưu trường THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi: Tính 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
	Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
 Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối tượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
 Đề tài đã đưa ra được 8 dạng cơ bản từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi.
 Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp cũng như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.
 Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, phát triển tư duy chủ động, sáng tạo, phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn Toán.
 Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11,được học sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những học sinh được hướng dẫn các phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ để giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi HSG cấp tỉnh tăng qua các năm và đảm bảo chỉ tiêu nhà trường giao. Cụ thể ở các nhóm học sinhthực nghiệm(II) và nhóm đối chứng (I) tôi cho làm bài kiểm tra vaf thu được kết quả như sau :
Năm học
Nhóm/ Lớp
Tổng số HS
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến dưới 8
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2018-
2019
I /11B1
20
4
20 %
10
50 %
6
30 %
II /11B1
20
13
65%
6
30%
1
5 %
3. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhận thấy các em đã nắm được vấn đề, biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Từ đó giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi trung học phổ thông Quốc giasau này. 
Trong quá trìnhbiên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn. Hy vọng tài liệu này có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh và thầy cô giáo trong quá trình học tập, giảng dạy.
 Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
 Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện
 Trịnh Đình Hiểu