SKKN Nâng cao năng lực tư duy Toán học qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Lê Lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
NÂNG CAO NĂNG LỰC TƯ DUY MÔN TOÁN QUA VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÉC TƠ. 
Người thực hiện: Lê Thị Lịch
Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
 MỤC LỤC
STT
 Nội dung
Trang
1
1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Mục đích nghiên cứu
1
2
2
2. Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.2.1. Thuận lợi
2.2.2. Khó khăn
2
2
3
3
3
3
2.3. Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng
2.3.1. Một số kiến thức liên quan
2.3.2. Các bài tập áp dụng
2.3.2.1. Hướng dẫn HS các bài tập phân tích véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương.
2.3.2.2.Các bài tập áp dụng phương pháp phân tích véc tơ
3
4
5
6-8
8-14
4
2.3.3. Các bài tập rèn luyện
2.3.3.1. Các bài tập tự luận
2.3.3.2. Bài tập trắc nghiệm
14-15
15-17
5
2.4. Kết quả
17-18
6
3.1. Kết luận
3.1.1. Bài học kinh nghiệm
3.1.2. Kiến nghị
19
20
7
Tài liệu tham khảo
21
8
 Các SKKN đã được xếp loại
22-23
1. Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài. Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắng liền với thực tiễn...”[3]. Trước bối cảnh mà toàn nghành giáo dục nước ta đang chuẩn bị cho quá trình đổi mới toàn diện chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông sau năm 2015, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo chủ trương cần thiết phải đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học. Đất nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế sâu rộng, trong sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnh vực giữa các quốc gia trên thế giới. Xu thế chung của thế giới khi bước vào thế kỉ XXI là các nước tiến hành đổi mới mạnh mẽ và cải cách giáo dục [ 3 ].
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất nước. Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với các bài tập vận dụng và có tính tư duy . Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội [ 3]
Trong hình học lớp 10, chương I - Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thức mới đối với các em học sinh, đặc biệt là những kiến thức này các em thường cho là khó và lạ với các em khi bước vào Trung học phổ thông. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai lực thành phầnvà nó còn giúp các em sử dụng để giải quyết những bài toán hình học không gian liên quan đến véc tơ ở lớp 11 và 12, đặc biệt là các bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi [4]
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bài toán tính tổng của hai vectơ, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các em yêu thích môn Hình học. Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn lúng túng và rất ngại học khi gặp các bài tập về dạng này. 
Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, đặc biệt hướng tư duy khái quát. Xuất phát từ những lí do chủ quan của bản thân và tính tất yếu về yêu cầu thực tiễn của đổi mới giáo dục. Chính vì lẽ đó mà tôi chọn đề tài: "Nâng cao năng lực tư duy Toán học qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Lê Lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ "
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trong quá trình công tác và giảng dạy môn Toán ở trường THPT Lê Lợi tôi thấy. Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao đạt điểm 8 thậm chí đạt điểm 9 đến điểm 10, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí điểm yếu hoặc không thể học tiếp. Lí do vì sao? Có một số em không chú ý học nhưng nguyên nhân chủ yếu là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu, chưa quen với chương trình Toán ở cấp THPT. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:
+ Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tư duy của các em.
+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập để nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng. 
+ Cần giúp các em giải quyết các bài tập để nâng cao năng lực tư duy Toán học từ đó các em học Toán dể dàng hơn.
 Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn các em học sinh có thể tiếp cận với môn hình học, đặc biệt là hình học véc tơ ở lớp 10 để các em học sinh có hứng thú, say mê học tập môn toán và đáp ứng một phần câu hỏi khó trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu. Trong nhà trường phổ thông khi dạy bộ môn Toán thì sự hứng thú và đam mê học để có kết quả cao là một nhiệm vụ quan trọng đối với học sinh và các thầy cô giáo cũng như tập thể nhà trường. Nhiệm vụ quan trọng này được các em học sinh quyết tâm nổ lực phấn đấu và rèn luyện để đạt kết quả tốt nhất. Kết quả này phụ thuộc rất lớn vào sự nổ lực phấn đấu của các em học sinh và quá trình giảng dạy của các thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cô dạy lớp 10, lớp đầu tiên của cấp học Trung học phổ thông. Chính vì vậy đề tài này của tôi tập trung nghiên cứu dành chủ yếu cho các em học sinh lớp 10 trường THPT Lê lợi khi mà các em còn bở ngỡ, chưa quen với tư duy cách học của cấp Trung học phổ thông.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
Nghiên cứu các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài như: Sách, báo, các phương tiện truyền thông.
1.4.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Phương pháp thống kê sử lí số liệu.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề giúp nâng cao năng lực tư duy Toán học cho học sinh.
 Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ các bài tập đơn giản, với cách giải là áp dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy: 
Có nhiều cách trình bày giải khác nhau.
Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao. 
 Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1.Thuận lợi:
Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tính chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học.
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế.
Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.
Đa số các em học sinh ở trường tôi chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
Khó khăn:
“Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài tập dạng này và áp dụng của nó là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bày bài giải. 
Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh 
2.3. Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng.
2.3.1. Một số kiến thức liên quan:
*Quy tắc ba điểm: với 3 điểm M, N, P tùy ý ta có:
 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
 (hoặc ) hay 
A
B
C
D
*Quy tắc hình bình hành: 
 Cho hình bình hành ABCD thì 
*Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB 
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm I ta có: 
*Tính chất trọng tâm của tam giác: 
 G là trọng tâm tam giác ABC 
 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
.
*Điều kiện hai vectơ cùng phương:
 Hai véc tơ cùng phương , (). Khi k>0 thì ta có cùng hướng.
*Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng sao cho , (, k). 
*Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số thực m, n sao cho . 
*Nếu không cùng phương mà .
*Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.
Có hai hướng giải:
Hướng1: Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm.
Hướng 2: Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước rồi dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n.
2.3.2. Các bài tập vận dụng :
2.3.2.1. Hướng dẫn học sinh phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương qua bài tập sau.
Bài tập 1: Cho D ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. 
Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ 
A
Giáo viên: Với bài này học sinh dể dàng sử dụng tính chất trung điểm, quy tắc 3 điểm, tính chất trọng tâm mà không phải tư duy nhiều. Giáo viên có thể gọi học sinh lên bảng để giải.
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Bài tập 2. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích s vectơ sau theo hai vectơ .
a, Véc tơ 
b, Véc tơ 
 Hướng dẫn giải:
C
A
B
M
K
G
a, Trước hết hướng dẫn học sinh phân tích vectơ theo hai vectơ 
.
Giáo viên: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Nêu các hướng giải?
Giáo viên: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ có thể phân tích thành tổng của hai vectơ không cùng phương nào?
 Trả lời : 
 .
Giáo viên : Gọi một em lên bảng làm bài . 
Khi học sinh hoàn thành bài giải trên bảng, giáo viên sửa lời giải:
 Lời giải chi tiết:
Cách 1: Theo quy tắc ba điểm ta có:
, mà (vì MK là đường trung bình của tam giác ABC).
Do đó: 
Hay .
Giáo viên: Theo em còn cách nào phân tích vectơ theo hai vectơ nữa không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào?
Cách 2: Ta có: 
Để rèn luyện tư duy của học sinh, giáo viên cho nhận xét về vị trí của điểm M và K? Từ đó suy ra cách giải 3.
Cách 3: Vì M, K lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC và BC, ta có:
Hay .
Giáo viên : Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?
Cách 4: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
Theo qui tắc ba điểm, ta có: . 
Nếu trình bày bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ? 
Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: (1). 
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
Ta có: 
Theo qui tắc ba điểm: 
Do đó (1) (2) 
Vì không cùng phương nên từ (2) 
Vậy .
Sau khi hướng dẫn học sinh các cách giải và trình bày ý thứ nhất, giáo viên cho các em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất. Qua đó giáo viên cũng lưu ý các em là cách phân tích véc tơ có nhiều hướng để làm. Tuy nhiên các em nên tư duy để đưa ra cách ngắn nhất để tiết kiệm thời gian trong các lần thi trắc nghiệm và đặc biệt là phát triển tư duy cho các em như cách giải 3.
b, Làm tương tự với việc phân tích vectơ theo hai vectơ 
Giáo viên : Gọi học sinh trình bày cách giải và nên cho học sinh tư duy theo hướng ngắn và khoa học nhất. Kết quả: 
Để học sinh luyện khả năng khái quát giáo viên có thể hỏi: Có một công thức nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước không? Cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ , .
Học sinh dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán mà không phải tư duy nhiều.
Lời giải: 
Ta có: 
Giáo viên :Lưu ý học sinh đưa ra nhận xét k = – 1
Nếu k = – 1 thì ta có . Đúng với tính chất trung điểm của đoạn thẳng. 
Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ , .
Giáo viên: Gọi học sinh nhận xét giả thiết của bài toán 3 so với bài toán 2 để áp dụng được công thức của bài toán 3 ta làm thế nào? 
Bài giải: Ta có: 
Ta có : . Theo kết quả bài toán 3 khi đó .
Giáo viên: Từ hai bài toán trên đưa ra bài toán tổng quát 
- Nếu thì với điểm A bất kì ta có: (*)
- Nếu thì với điểm A bất kì ta có: (**)
Giáo viên : Gọi học sinh lên bảng học sinh làm bài tập áp dụng.
Áp dụng 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho . Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ và . 
Bài giải: Với bài này học sinh sẽ tư duy và áp dụng ngay dụng công thức (*),
Ta có: 
Áp dụng 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ và .
Bài giải: Bài này thì các em thấy ngay được việc áp dụng công thức (**)
Ta có: . Do đó: .
Giáo viên: Lưu ý hai kết quả trên rất phù hợp với các bài tập trắc nghiệm.
Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.
2.3.2.2. Từ các bài toán trên, ta có thể hướng dẫn học sinh giải một số bài tập áp dụng phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương .
Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ? Khi nào điểm M thuộc đoạn thẳng BC.
Để giải quyết vấn đề đó ta xét ba bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi tồn tại các số sao cho với 
Bài giải: M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng (điều kiện 3 điểm thẳng hàng) 
 (đặt ) ( Điều phải chứng minh)
các số xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học)
 Để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh giáo viên có thể đưa ra bài toán mở rộng sau:
Bài toán 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi tồn tại các số sao cho 
Bài giải: M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ cùng hướng.
 (k>0, k 
(đặt ). Khi đó: m,n ( Điều phải chứng minh )
Bài toán 7: Cho đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi tồn tại các số sao cho 
Giáo viên: Với bài này thì giáo viên gợi ý cho học sinh vẽ hình . Từ hình vẽ có có thể đưa ra điều kiện điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ cùng hướng. Từ đó đưa ra hướng giải.
Lời giải: M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ cùng hướng.
 (k>0, k 
Khi đó đặt : m=1- k, n = k. Ta thấy : m + n =1 và m, n 
Do đó ta có: 
Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho học sinh làm thêm các bài tập.
Bài tập 8 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho .
a) Phân tích vectơ theo hai vectơ 
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích theo hai vectơ .
Giáo viên : Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất
Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.
Bài giải:
B
M
C
D
N
A
G
a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có: ; 
ABCD là hình bình hành nên: 
Vậy .Do đó:
b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:
Vậy, 
*Bài toán 8 ta có thể tổng quát, mở rộng, phát triển bài toán trên như sau: 
Bài tập 9 : Với giả thiết bài toán 8, giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi sau:
c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ và p, q.
d) Xác định p để AI đi qua G.
Với câu c) học sinh có thể dễ dàng tìm ra lời giải
Lời giải:
c, Theo qui tắc 3 điểm, ta có:
 .
Từ giả thiết : 
 Mà 
 Vậy 
Giáo viên  : Gọi học sinh giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm phân biệt thẳng hàng ?
d, Theo kết quả câu b, ta có: ;
Theo kết quả câu c, ta có: 
 Để AI đi qua G thì 3 điểm A, I, G thẳng hàng. Khi đó cùng phương
Suy ra: 
Vậy với thì AI đi qua G 
Bài tập 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên AC sao AK=AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Lời giải: Với bài toán này giáo viên có thể cho học sinh
tư duy và đưa ra hướng giải. Giáo viên có thể gợi ý
hướng giải cho học sinh. 
Ta có:
Từ (1) và (2)Þ Þ B, I, K thẳng hàng.
Bài tập 11: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a.Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ .
b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G.
A
B
C
M
N
G
Giáo viên: Gọi học sinh vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a.
Chú ý tìm cách ngắn gọn nhất.
Bài giải: a) Ta có: (1)
Giáo viên : Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G? Với câu hỏi này thì học sinh sẽ tư duy : MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
Giáo viên : Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì? Học sinh sẽ buộc phải nghĩ đến hướng chứng minh hai véc tơ cùng phương.
Từ đó suy ra cách giải câu b.
b) Theo kết quả câu a. Từ (1) và (2) ta có: 
Suy ra: hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G
Giáo viên cũng lưu ý cho các em là với bài này khi đề bài không cho câu a thì các em phải tư duy được hướng giải để giải câu a, từ đó giải câu b.
Bài tập 12: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt là các điểm thoả . 
a) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ;
b) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ;
c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa . Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ .
d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng.
A
B
C
I
J
D
E
F
Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**)
Bài giải:
a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có: 
Chú ý : Học sinh có thể chưa biết cách áp dụng công thức (**). Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tư duy để biến đổi giả thiết suy ra 
Vậy theo công thức (**), ta có: .
b)Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo qui tắc 3 điểm: Ta được kết quả: .
Giáo viên: Với câu c) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của đề bài thì vectơ có thể phân tích thành tổn