SKKN Nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi

1.MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình phổ thông, học sinh được làm quen với bất đẳng thức từ rất sớm và nó luôn song hành với các em ở từng cấp học. Ở bậc tiểu học học sinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánh phân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh số nguyên, lũy thừa, các số hữu tỷ rồi các biểu thức chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến.... Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện trong chương trình phổ thông mà còn thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi các cấp. Trong nền giáo dục phổ thông, toán học là môn khoa học quan trọng đóng vai trò nền tảng, then chốt để phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ, trong đó có thể nói bất đẳng thức là một trong những thành tố quan trọng để phát triển năng lực tư duy logic cho học sinh. Trong thực tế, việc giải các bài toán Bất đẳng thức đối với học sinh THCS là hết sức khó khăn, đôi khi dẫn đến tình trạng các em rất sợ loại bài toán này. Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và tăng cường cho các em ý thức năng lực, vận dụng một cách thông minh những điều đã học làm giảm bớt nỗi sợ hãi cũng như tăng thêm lòng tin cho học sinh khi gặp loại bài toán này. Qua thực tế giảng dạy ở trường và qua các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng trong việc dùng Bất đẳng thức Côsi đối với các số dương là cần thiết. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trong các bài toán ở kì thi học sinh giỏi khối THCS hay sử dụng tới bất đẳng thức đặc biệt là bất đẳng thức Côsi. Vấn đề này là một trong những vấn đề khó, mục đích của đề tài làm cho học sinh không cảm thấy khó khăn, e dè khi gặp các bài toán liên quan đến bất đẳng thức đồng thời cũng làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng trong cuộc sống.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh đội tuyển môn Toán, Trường THCS Tế Lợi huyện Nông Cống.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
+ Khảo sát kết quả học tập của học sinh
+ Qua thực tế giảng dạy cho các em học sinh 
+ Qua kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi áp dụng đề tài.
+ Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: Bổ sung thêm phần “Một số bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các kì thi học sinh giỏi”
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận : 
Khi vận dụng phương pháp phù hợp để giải một bài toán, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian và bài giải sẽ ngắn gọn hơn. Bất đẳng thức Côsi là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh, nhất là học sinh khá giỏi. những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng sẽ làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống. 
2.2. Thực trạng của vấn đề:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng đối với những học sinh khá, giỏi ban đầu chỉ cần nhìn thấy đề bài chứng minh bất đẳng thức là các em đã không có thiện cảm hay nói đúng hơn là không có hứng thú để giải do đó dẫn đến thực trạng các em không đầu tư suy nghĩ và có khi bỏ qua.
Sau nhiều năm kiểm nghiệm, tôi nhận thấy rằng nếu quyết tâm dẫn các em đi khai thác, tìm hiểu sẽ có hiệu quả nhất định. Cụ thể : Khi học phần hằng đẳng thức ở lớp 8 tôi đã đưa ra bài toán chứng minh bất đẳng thức 
 (a + b) 4ab với a, b 0 lúc đầu học sinh rất lúng túng, nhưng trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn các em từng cách giải:
Cách 1 : Xét hiệu 
Cách 2 : Biến đổi tương đương 
Cách 3 : Dựa vào một số bất đẳng thức cơ sở 
Cách 4 : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Cách 5 : Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Sau khi hướng dẫn các cách cơ bản như vậy học sinh được làm quen và giải quyết được một số bài tập tương tự tôi bắt đầu dẫn các em đến không gian bất đẳng thức Côsi khi các em đã học xong chương 1 lớp 9 và lúc này học sinh không còn sợ rồi bỏ qua loại toán này như trước đây. Thực tế qua các kỳ thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi vào lớp 10 có một số học sinh của tôi đã giải quyết tốt bài toán số 5 này do đó đã được giải học sinh giỏi cấp huyện. Trong phạm vi bài viết này tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh đó là: “Nâng cao kỹ thuật dùng bất đẳng thức Côsi đối với 2 số dương trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Một số phương pháp sử dụng BĐT Côsi:
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Cho n số thực không âm: a1, a2, ...an. Ta có thể phát biểu BĐT Côsi dưới các dạng sau:
 hay 
Hay 
Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau 
Đặc biệt:
* Trong trường hợp đối với 2 số không âm x, y, ta có
; ; ; ; ; . Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y
 * Trong trường hợp đối với 3 số không âm x, y, z, ta có
;;
Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y = z
I. Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện
Nội dung của phương pháp này thể hiện ở các ý tưởng chung như sau: 
- Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng.
- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức và áp dụng tương tự cho toàn thể.
- So sánh bậc của vế trái và bậc của vế phải để xét xem có cần phải thêm bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn hoặc một hằng số để khi sử dụng BĐT Côsi ta thu được bậc cần thiết.
- Hết sức chú ý điều kiện để dấu bằng xảy ra, điều kiện đó giúp ích rất nhiều trong quá trình tìm tòi hướng giải.
Bài 1. Chứng minh rằng: 
Phân tích:
- Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng.
- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức và áp dụng tương trợ cho toàn thể.
- Bậc của vế trái và bậc của vế phải bằng nhau (cùng bằng 6) nên không cần phải thêm bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn.
- Nhận xét rằng khi thì đẳng thức xảy ra.
Giải:
Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 = 2|xy| ta có:
Þ 
Dấu “ = ” xảy ra 
Bài 2: Cho x, y, z dương thỏa mãn x.y.z = 1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn và giải:
Vẫn với kiểu phân tích sự bình đẳng giữa các biến, các biểu thức như trên, ngoài ra, theo giả thiết, ta có thể hiểu 1 = (x.y.z)r vì vậy do vế phải là hằng số, cũng có thể được hiểu như nên ta cố gắng biến đổi vế trái thành tích của các lũy thừa cùng bậc của x, y, z. Từ đó có 2 cách biến đổi như sau:
Cách 1: 
Tương tự:
 ; . Từ đó:
 Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z 
Cách 2:
. Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z.
Nhận xét: Với hướng giải trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau:
Cho các số dương a1, a2,...,an thỏa mãn a1. a2....an = 1. Chứng minh rằng:
 với 
Bài 3: Cho a, b, c 0. Chứng minh:
Hướng dẫn và giải: 
Phân tích: Mỗi số hạng ở vế phải đều có bậc 3 (cùng bậc với mỗi số hạng ở vế trái), nhưng trong mỗi số hạng ở vế phải thì nhân tử thứ nhất có bậc gấp đôi nhân tử kia.
Cách giải:
Cộng các vế và rút gọn ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1. 
Chứng minh rằng: 
 (Đề thi Lam Sơn năm học : 2000 - 2001)
Phân tích:
- Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng.
- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức và áp dụng tương tự cho toàn thể.
- Bậc của vế trái là 1, của vế phải là số hạng tự do nhưng cũng có thể xem như là bậc 1 ( do giả thiết a + b + c + d = 1 nên với mọi hằng số k ta có: 
 k(a + b + c + d) = k
- Nhận xét rằng khi thì đẳng thức xảy ra, khi đó nên ta xem xét việc thêm bớt vào một số hạng bậc nhất sao cho có thể rút gọn mẫu số và giá trị của biểu thức đó khi dấu bằng xảy ra cũng là .
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số và 
Ta có: + 2+ 2 + a (1)
Tương tự ta có: + b (2) ; + c (3) ; + d (2)
Từ (1); (2):
+++++++ a + b + c + d
(+ + + )+ (+++)1 
(+ + + )+1
(+ + + )+ 1 (+ + + )
Bài 5: Chứng minh rằng: " a,b 0
Giải:
II. Kỹ thuật tách nghịch đảo:
Bài 1. Chứng minh rằng: 	
Giải: 
Ta có : 	
Bài 2. Chứng minh rằng: 	
Giải :
Ta có : 
Dấu “ = ” xảy ra Û 
III. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng 
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b . Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. 
Bài 1. Chứng minh rằng: (1)
Giải :
(1) Û Theo BĐT Côsi ta có:
(đpcm)
Bài 2. Chứng minh rằng: 	 (1)
Giải:
Ta có (1) tương đương với: 
Theo BĐT Côsi ta có:
Bài 3. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện : a + b = 2001. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab. (Đề thi lớp 10 năm học: 2007 - 2008).
Giải :
Áp dụng BĐT Côsi ta có: ab = = 1001000,25
Vì a,b là số tự nhiên nên ab 1001000
Dấu bằng xảy ra khi a + b = 2001 a = 1000 hoặc a = 1001
 ab =1001000 b = 1001 b = 1000
Vậy giá trị lớn nhất của ab = 1001000 khi a = 1000 hoặc a = 1001
 b = 1001 b = 1000
IV. Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá TBN sang TBC :
	Bài 1. Chứng minh rằng: 
Giải: Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số.
Ta có : 	
Þ 	
Dấu “ = ” xảy ra Û 
V. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm được một số thao tác sau :
Phép cộng : 
Phép nhân :
Bài 1. Chứng minh rằng : 
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ .
Dấu “ = ” xảy ra Û a = b = c.
Bài 2. Chứng minh rằng: 
Giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ 
Bài 3. Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng : 
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ	 
Dấu “ = ” xảy ra Û ABC đều : a = b = c.
VI. Kỹ thuật đổi biến số :
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn. Phương pháp trên gọi là phương pháp đổi biến số.
Bài 1. Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit)
Giải :
Đặt : .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Û 
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
VT 
Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c
Bài 2. Cho ABC. Chứng minh rằng : 
Giải:
Đặt : .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Û 	
Ta có : VT 
Bài 3. Cho ABC. Chứng minh rằng :
( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) abc (1)
Giải: 
Đặt : .
Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau : 
Áp dụng BĐT Côsi, ta có : (đpcm)
VII. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:
Bài 1. Giải phương trình : (1)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : 
Þ 	 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: 
Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Giải :
Điều kiện: x ³ 1, y ³ 1. ¸ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
	 (1)
Tương tự :	 	 	(2)
Cộng (1), (2) ta được : . 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi. 
Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thứ nhất của hệ.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 )
Bài 3: Giải phương trình
Giải: 
Nhận xét: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x6 ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: . Do đó phương trình trên thỏa mãn 
Bài 4: Giải phương trình: 
Giải: 
ĐK: 
Vế trái = 
Vế phải =
Vậy phương trình đã cho 
Bài 5: Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau 
Giải:
Ta chứng minh cho (*) với x, y, z dương.
Thật vậy: (*) 
	Áp dụng bất đẳng thức vào vế trái của (**) được:
Vậy (*) đúng, đẳng thức chỉ xảy ra x = y = z. Do x + y + z = 1 nên hệ có nghiệm x = y = z = 1/3
2. Một số bài tập vận dụng 
Bài 1. Giải phương trình sau
Bài 2. Chứng minh với b > 0 ta có:
 + (Đề thi vào lớp 10 năm học: 2006 - 2007)
Bài 3. Tìm nghiệm dương của phương trình:
(1 + x - )2006 + (1 + x + )2006 = 22007.
Bài 4. Cho a, b là các số dương thoả mãn : a + b = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: (Đề thi vào lớp 10 năm học: 2010-2011)
3. Áp dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán cực trị:
Nhận xét: Đối với bài toán cực trị, học sinh thường hay mắc sai lầm hơn bài toán chứng minh bất đẳng thức bởi trong bài toán chứng minh bất đẳng thức thì học sinh có thể coi một vế là mục tiêu để cố gắng biến đổi vế kia theo mục tiêu đó, ngoài ra đôi khi không cần xét đến điều kiện dấu bằng xảy ra. Còn đối với bài toán cực trị thì học sinh không có mục tiêu để theo đuổi và nhiều em mắc sai lầm khi không để ý đến điều kiện dấu “=” xảy ra, hoặc dấu bằng xảy ra nhưng không thuộc điều kiện xác định .
Trong bài toán cực trị, 2 tiêu chí quan trọng nhất mà chúng ta phải luôn bám sát đó là:
- Phải khử được biến.
- Phải đảm bảo được điều kiện cho dấu bằng xảy ra thỏa mãn điều kiện xác định .
Như vậy ta nhận thấy phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị khi dùng bất đẳng thức Côsi là phương pháp khử biến.
Bài 1: Cho Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải: 
Sai lầm thường gặp:
. Vậy .
Phân tích:
Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu bằng xảy ra không tồn tại x.
Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra .
Bài 2: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Giải: 
Sai lầm thường gặp phải: do . Vậy .
Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu bằng xảy ra không tồn tại x.
Cách giải đúng:
Nhận xét: Cần phải biến đổi các biến có cùng bậc, và đảm bảo cho dấu bằng xảy ra thỏa mãn điều kiện xác định. Vì vậy ta giải như sau:
Vậy . Dấu “=” xảy ra 
Bài 3: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Giải:
Sai lầm thường gặp:
	Vậy 
Phân tích: Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu bằng xảy ra 
.
Cách giải đúng:
khi 
Bài 4. Cho a>b>c>0. Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải:
Vậy khi 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của với 
Giải: Sai lầm thường gặp: . 
Vậy 
Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu bằng xảy ra 
 không tồn tại x.
Cách giải đúng:
. Vậy khi: 
Nhận xét: Đôi khi việc dự đoán được giá trị của x làm cho bài toán thỏa mãn cũng gợi ý cho chúng ta tìm ra cách giải bài toán, chúng ta cùng xét những ví dụ minh họa sau:
Bài 6: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của S=
Sai lầm thường gặp: . Vậy Smin = 2
Phân tích: Sai lầm ở chỗ theo cách áp dụng trên thì dấu “=” xảy ra không thỏa mãn .
Cách giải đúng: Dự đoán: S đạt min tại a=5, khi đó . xét điều kiện để dấu “=” xảy ra, ta có 2 định hướng sau.
- Với a=5 thì , ta có cách giải 1.
- Với a = 5 thì ta có cách giải 2.
Cách 1:
Vậy Smin= , khi 
Cách 2:
. 
Vậy Smin=, khi 
Bài 7: Cho a2, tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Dự đoán S đạt min tại a = 2, cũng phân tích tương tự như trên nhưng để cho phương pháp có hướng ứng dụng rộng ta làm như sau: Ta tìm số thỏa mãn 
 tại a = 2 
Sai lầm thường gặp: .Vậy 
Phân tích : Bài giải trên cho đáp số đúng nhưng mắc sai lầm ở chỗ sử dụng bất đẳng thức sai sau:
Cách giải đúng:
.
Vậykhi 
Bài 8: Cho tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải: 
. Dự đoán S đạt min khi ta tìm số thỏa mãntại ta có lời giải như sau: 
Vậy Smin = khi 
4. Một số bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các kì thi học sinh giỏi.
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
(Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2016 – 2017)
Giải
Vì a, b, c > 0 nên .
Tương tự: 	 (1)
* Ta có: 
Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
Tương tự: 
Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
 (2) 
Từ (1) (2) ta có đpcm.
Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 .
 Chứng minh : 52 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 
 (Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2014 – 2015 )
Giải. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC ta có :
p - a = > 0 
Tương tự p - b > 0 ; p - c > 0 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số dương p -a; p -b; p -c ta có:
 (p –a) +(p - b) + (p –c) 
 => 0 < (p-a)(p-b)(p-c) £ 
Vì a + b + c = 6 nên bất đẳng thức trên trở thành : 
 0 < p3 - p2(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc £ 1 
 0 < 33 - 32.6 + 3(ab + bc + ca) - abc £ 1 
Û 0 < 27 - 54 + 3. - abc £ 1 
Û 27 < 3. - abc £ 28 
Û 54 < 108 - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc £ 56 
Û - 54 < - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc £ -52 
Û 52 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 ( ĐPCM )
Dấu " = " xảy ra Û a = b = c = 2
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện:
 x2014 + y2014 + z2014 = 3. Tìm GTLN của biểu thức B = x2+ y2+ z2
 (Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2014 – 2015 Vòng 2)
	Giải: Áp dụng BĐT CôSi cho 2014 số không âm:
 ( x2014; x2014; ) ta có:
 Tương tự : 
 Cộng 3 BĐT trên theo từng vế ta được
Mà x2014 + y2014 + z2014 = 3 
x2 + y2 + z2 . Hay B .
Dầu “ =” xảy ra ó x = y = z = 1.
Vậy GTLN của B = 3 khi x = y = z = 1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã đạt được một số kết quả cụ thể như sau:
1. Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó học sinh dần tiếp cận và sử dụng được các kĩ thuật dùng bất đẳng thức côsi.
2. Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán.
3. Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổng hợp nhiều kiến thức. 
Với đồng nghiệp trau dồi thêm kiến thức kỹ năng về bất đẳng thức, nhà trường có thêm tài liệu nâng cao kiến thức cho học sinh. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua quá trình giảng dạy, khi áp dụng đề tài: “ Nâng cao kỹ thuật dùng Bất đẳng thức Côsi đối với hai số dương” tôi nhận thấy đã đạt được hiệu quả cao và gây được hứng thú cho HS khi học loại toán này. Vì vậy, nếu mỗi thầy giáo, cô giáo có quyết tâm và chọn được hướng đi đúng chúng ta sẽ được kết quả như mong muốn. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu sách hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy cho các em học sinh của mình đã chọn từ đó kiểm nghiệm và bổ sung thiếu sót cần thiết, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp. Qua đây tôi xin đề nghị cấp trên nên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên được tham gia nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. 
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
Nông Cống, ngày 30 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Thị Huệ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Tạp chí toán học & Tuổi trẻ
- Các bài giảng luyện thi môn toán - Phạm Đức Chính (chủ biên)
- Bất đẳng thức - Phan Huy Khải
- Đề thi Olympic 30 – 4
- Chuyên đề bất đẳng thức - Võ Giang Giai
 MỤC LỤC
Mục
Tên mục
Trang
1
Mở đầu
1
1.1
Lí do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu
1
1.4
Phương pháp nghiên cứu
1
1.5
Những điểm mới của SKKN
2
2
Nội dung nghiên cứu
2
2.1.
Cơ sở lí luận
2
2.2
Thực trạng
2
2.3
Những giải pháp
2
I
Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện
3
II
Kỹ thuâth tách nghịch đảo
6
III
Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
7
IV
Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng
7
V 
Kỹ thuật đối xứng
8
VI
Kỹ thuật đổi biến
9
VII
Một số ứng dụng của bất đẳng thức côsi
10
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
18
3
Kết luận và kiến nghị
19