SKKN Nâng cao chất lượng học sinh giỏi qua việc khai thác ứng dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh một số bài tập hình học lớp 9 ở Trường THCS Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Với quan điểm là đào tạo nên con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “Tài sản riêng” của các em. Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, học sinh có phương pháp trên lớp học và phương pháp tự học ở nhà được tốt hơn, nhằm đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy và tìm hiểu thực tiễn tại trường THCS Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa. Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học. Đây thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toán này. Thực sự đây là một phần rất quan trọng của hình học, và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của Toán học.
So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm nhiều. Một trong những nguyên nhân khó giải quyết vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong hình học, và cũng không phải chỉ là phương pháp đại số thuần tuý. Để giải một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cách thích hợp và nhạy bén.
Qua thực tế những năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, tôi nhận thấy việc khai thác bất đẳng thức Côsi trong quá trình giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học là một hướng tiếp cận hiệu quả, không chỉ bởi lẽ đối tượng của hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đo góc, ) và đối tượng để áp dụng bất đẳng thức Côsi là tương đồng (đại lượng không âm), mà còn bởi tính đa dạng của bất đẳng thức Côsi trong vận dụng. Sự khéo léo, linh hoạt trong việc khai thác bất đẳng thức Côsi là một yêu cầu đối với học sinh giỏi Toán. Mức độ khó, dễ của bài toán cũng có thể được điều chỉnh tuỳ theo chủ ý của người ra đề. Hơn nữa qua theo dõi nhiều năm tôi thấy cực trị hình học có rất nhiều trong các đề thi: Tuyển sinh vào lớp 10 nhất là trường chuyên; trong các đề thi học sinh giỏi huyện, học sinh giỏi tỉnh... Song khi giải các bài toán này học sinh gặp không ít khó khăn, phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh thường bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay và gọn gàng. 
 Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Nâng cao chất lượng học sinh giỏi qua việc khai thác ứng dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh một số bài tập hình học lớp 9 ở Trường THCS Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa”. 
 Mong muốn đây là một tài liệu tham khảo hữu ích với các em học sinh giỏi Toán lớp 9, và các thầy cô tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS cùng các độc giả yêu thích Toán học. 
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 Trên cơ sở lý luận và thực tiễn , tôi đã đề ra “Nâng cao chất lượng học sinh giỏi thông qua việc khai thác ứng dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh một số bài tập hình học lớp 9 ở Trường THCS Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa”. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
“Nâng cao chất lượng học sinh giỏi thông qua việc khai thác ứng dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh một số bài tập hình học lớp 9 ở Trường THCS Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa”. 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
 - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
 - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến 
 Bản thân tôi đã đi sâu vào nghiên cứu,vận dụng các phương pháp trên với mong muốn giúp các em thích học dạng “ Cực trị hình học - ứng dụng của bất đẳng thức Côsi ” và nắm chắc kiến thức của từng dạng bài, tự tin hơn khi học phần toán này. Để làm được điều đó học sinh cần nắm được:
- Khái niệm cơ bản của bất đẳng thức Côsi (BĐT cô si):
	 Cho a1, a2, , an là các số không âm. Ta luôn có: 
 ³ (với n)
 Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 =  = an. [3]
* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân. Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi và chỉ khi các số đó bằng nhau.[3]
* Ý nghĩa của BĐT Côsi: 
	+ n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau. 
 + n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau.[3]
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán là dạng toán nào, và có thế chuyển đổi việc tìm cực trị của bài toán qua việc vận dụng BĐT côsi không, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết định cách giải bài toán dễ dàng hay phức tạp.``
 - Học sinh cần nắm được 5 yêu cầu khi giải một số bài tập Toán nâng cao hình học mà áp dụng BĐT côsi. Cụ thể: 
 Yêu cầu 1: Sai lầm do không xác định các giá trị của đoạn thẳng tương ứng để bất đẳng thức trở thành đẳng thức ( Tức là dấu bằng của BĐT xảy ra vi phạm nội dung giả thiết cho)
Để học sinh không mắc phải sai lầm này giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề toán. Trước khi giải phải đọc thật kỹ đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho biết gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc lựa chọn cách giải bài toán gọn, chính xác.
 Yêu cầu 2: Sai lầm do sử dụng sai các điều kiện tồn tại để áp dụng bất đẳng thức ( BĐT ) 
Khi giải bài toán hình học có áp dụng BĐT, cần lưu ý học sinh lập luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liên quan đến các đoạn thẳng, diện tích, góc .... và các dữ kiện đã cho trong đề. Do đó giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu được đâu là yêu cầu, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho để vận dụng linh hoạt việc áp dụng các BĐT trong việc giải quyết các bài toán dạng này. Giáo viên nên hướng dẫn mẫu cho Hs và chỉ rõ những sai lầm này trong quá trình dạy lý thuyết và luyện tập áp dụng. 
 Yêu cầu 3: Sai lầm do chưa chỉ ra hết các trường hợp hình 
 Giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu được đâu là yêu cầu, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng để chỉ ra các trường hợp hình.Vận dụng linh hoạt việc áp dụng các BĐT trong việc giải quyết các bài toán dạng này. 
 Yêu cầu 4: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
 Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừa cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán, tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của bài toán cho chính xác. Thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất.
 Yêu cầu 5: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
 Bài giải phải đảm bảo được 5 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức,trình độ của học sinh, đại đa số HS hiểu , làm được.
 Khi giải toán chúng ta cần lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước. 
	Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi áp dụng BĐT côsi trong việc giải các bài toán cực trị hình học lớp 9 mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững kiến thức cơ bản của BĐT côsi, vẽ hình chính xác ..., nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất ,thành công dạy học vẫn là do sự dẫn dắt của người thầy. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh.Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm , cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng. Từ đó chất lượng học sinh mũi nhọn sẽ được nâng cao hơn. 
2. 2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học tập là bất đẳng thức. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được làm quen với dấu >; < và so sánh với các số tự nhiên đơn giản, sau đó so sánh các phân số, so sánh các biểu thức ở lớp 4, lớp 5. Đến cấp II học sinh được tiếp cận với một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức trong đó có cả biểu thức số, biểu thức đại số, hình học và bất đẳng thức còn gắn liến với chương hình học của các em đến hết lớp 12.Như vậy BĐT xuất hiện từ lớp 1 đến lớp 12, xuyên suốt chương trình của các em, thường xuyên có mặt trong các đề thi cuối cấp, thi vào các trường chuyên chọn, thi học sinh giỏi, thi đại học ... Toán về bất đẳng thức là khó, chúng được giải không hoàn toàn dựa vào một công thức nào cả Đặc biệt lại là bất đẳng thức hình học. Hơn nữa các bài tập sách trong giáo khoa chưa thể hiện đủ các phương pháp chứng minh vì thế học sinh thường thiếu tự tin và lúng túng khi gặp phải dạng toán này. Đặc biệt, dạng toán áp dụng BĐT giải bài tập hình học. 
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Trong thực tế có thể giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của lí thuyết mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tập nhiều các dạng tương tự . Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn chưa thành thạo , cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng BĐT chưa thạo, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Vi vậy kết quả học tập của các em lớp mũi nhọn chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Điều đó được thể hiện thông qua bài thi khảo sát chất lượng cuối kì hai năm học 2015 – 2016 cụ thể như sau:
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
52
2
8
8
31,1
22
84,1
17
67,3
3
11,5
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp. Từ các lí do đó, tôi đề xuất các giải pháp cụ thể sau:	
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp 1: Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết bài
Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại Bất đẳng thức Côsi:
	 Cho a1, a2, , an là các số không âm. Ta luôn có: 
 ³ (với ) 
 Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 =  = an.
* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân. Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi và chỉ khi các số đó bằng nhau.
* Ý nghĩa của BĐT Côsi: 
	+ n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau. 
 + n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau.[3]
Bài toán gốc 1: Chứng minh rằng nếu a1, a2, , an là các số dương, thì
 (a1 + a2 +  + an)( + +  + ) ³ n2 
 Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 
 ³ (1)
 ³ (2)
 	Do các vế của (1) và (2) đều là các số dương, nên nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta được: (a1 + a2 +  + an)( + +  + ) ³ n2 
 	Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 =  = an. [3]
 Trong nhiều bài toán, người ta thường sử dụng hai trường hợp riêng sau đây:
	1. Với mọi a, b > 0, ta có: (a + b)( + ) ³ 4
	2. Với mọi a, b, c > 0, ta có: (a + b + c)( + + ) ³ 9 [3]
 2.3.2. Giải pháp 2: Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải toán hình học nâng cao có áp dụng BĐT qua nội dung các ví dụ
Tuy đã nắm chắc nội dụng lí thuyết trên nhưng giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực hiện theo những yêu cầu đã nêu ra ở phần cơ sở lí luận của sáng kiến. Điều đó được thể hiện rõ qua nội dung các ví dụ sau:
 A. Một số bài toán điển hình
Bài 1: (Một kết quả đẹp và thú vị về tứ giác nội tiếp) [9]
	Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:
 + + + £ + + + ( 1) 
* Phân tích bài toán: Để chứng minh đẳng thức (1) ta chuyển đổi mỗi hạng tử của vế trái thành dạng căn bậc hai của một tích ( = , ), từ đó áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh được mỗi hạng tử đó của vế trái £ một nửa tổng hai hạng tử của vế phải cụ thể:
 Hướng dẫn: (Hình 1)
 	Dễ thấy ABI ∽ DCI (g.g) 
 Þ = = Þ = (1)
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: 
 £ ( + ) (2)
 Dấu bằng trong (2) xảy ra Û = 
 Từ (1) và (2) Þ £ ( + ) (3)
Hình 1
 Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
 	 £ ( + ) (4)
 £ ( + ) (5)
 £ ( + ) (6)
 Dấu bằng trong (4), (5), (6) xảy ra tương ứng khi = , = , = . 
Cộng từng vế của (3),(4), (5), (6) ta được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi IA = IB = IC = ID Û tứ giác ABCD là hình chữ nhật. [9]
* Nhận xét: Chìa khoá để giải quyết bài toán ở đây chính là việc chuyển đổi mỗi hạng tử của vế trái thành dạng căn bậc hai của một tích, từ đó áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh được bài toán. Việc linh hoạt biến đổi bài toán để áp dụng được bất đẳng thức Côsi trong những trường hợp cụ thể là rất cần thiết, đòi hỏi ở người làm toán sự tư duy, rèn luyện nhiều dạng bài hình thành kĩ năng cần thiết, tìm tòi và sáng tạo.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ba chiều cao AA1, BB1, CC1; ba trung tuyến AA2, BB2, CC2. Giả sử AA2 Ç BB1=P, BB2 Ç CC1=Q, CC2 Ç AA1=R. Chứng minh rằng: + + ³ 6 (2) [9]
*Phân tích: Để chứng minh (2) thì ta chuyển đổi mỗi tỉ số ở vế trái về bằng các tỉ số lượng giác. Sau đó ta áp dụng định lí Menelauyt tìm mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác ấy như = . = 2. ;  
 rồi áp dụng BĐT Côsi để chứng minh các tỉ số lượng giác đó .
Hướng dẫn: 
Áp dụng định lý Menelauyt trong tam giác AA2C với đường thẳng BRB1, ta có:
 . . = 1 
 Suy ra: = . (1)
 Do AA2 là trung tuyến nên BC = 2.A2B,
 và BB1 ^ AC nên = = 
Hình 2
 Vậy từ (1) Þ = 2..
Hoàn toàn tương tự, ta có:
 = 2. ; = 2. 
Từ đó: + + = 2.( + + )
Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi, thì: 
 + + ³ 3. = 3
Vậy: + + ³ 6. Dấu “=” xảy ra khi = = , tức là tam giác ABC đều. [9]
Bài 3: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. [7]
Phân tích: Để xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất căn cứ vào GT bài toán, ta đưa bài toán về việc sử dụng các tỉ số lượng giác để tính các cạnh MC, MD theo tỉ số lượng giác sinα, cosα. Và nhớ tới hệ thức sin2α + cos2α = 1 liên hệ bởi BĐT Côsi: x2 + y2 ³ 2xy. Dấu đẳng thức xảy ra chính là vị trí của 2 điểm C, D tìm được .
Hướng dẫn: (Hình 3)
Ta có: SMCD = MC.MD
Đặt : MA = a, MB = b, = α
 Khi đó MC = , MD = 
 Nên: SMCD = . 
 Do a, b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất 
Û 2sinαcosα lớn nhất. 
Hình 3
Theo bất đẳng thức Côsi: 2sinα.cosα £ sin2α + cos2α = 1
 Nên SMCD ³ ab. Dấu bằng xảy ra khi sinα = cosα Û α = 450
 Như vậy Min SMCD = ab. Điểm C, D được xác định thứ tự trên các tia Ax, By sao cho AC = AM, BD = BM. [7]
Nhận xét: Điểm sáng tạo trong cách giải trên là ta đã chọn biến là các tỉ số lượng giác sinα, cosα. Giữa sinα. Cosα với sin2α + cos2α có liên hệ bởi BĐT Côsi: 
x2 + y2 ³ 2xy.
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D, E. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất. [9]
* Phân tích: Ta đã xét một biểu thức trung gian, đó là tỉ số giữa diện tích hình bình hành ADME và diện tích tam giác ABC tức là = 2. (Kẻ BK ^ AC, cắt MD ở H) Đặt MB = x, MC = y, ta có:
 = = , = = , bất đẳng thức Côsi dạng £ 
Hướng dẫn:
 Cách 1 : 
 Ta thấy SADME lớn nhất Û lớn nhất.
 Kẻ BK ^ AC, cắt MD ở H. 
 SADME = MD.HK, SABC = AC.BK
 Suy ra: = 2. . 
 Đặt MB = x, MC = y, ta có:
 = = , = = 
 Do đó : = (*)
Hình 4
 Theo bất dẳng thức Côsi: x + y ³ 2 Û (x + y)2 ³ 4xy Û £ (**). Từ (*) và (**), ta được: £ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.
 Như vậy max SADME = SΔABC, khi đó M là trung điểm của BC. [9]
* Phân tích: Dựa vào diện tích miền đa giác ta xét biểu thức trung gian đó là tỉ số giữa tổng diện tích của các tam giác DBM, EMC và diện tích tam giác ABC, vì vậy lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng ³ 
 Cách 2: Ký hiệu SABC = S, SDBM = S1, SEMC = S2. 
 Rõ ràng SADME lớn nhất Û S1 + S2 nhỏ nhất Û nhỏ nhất.
 Vì các tam giác DBM và EMC cùng đồng dạng với tam giác ABC nên:
 = ( )2, = ( )2 
 Suy ra: = = ³ . Như vậy S1 + S2 ³ S 
nên SADME £ S. Xảy ra dấu bằng Û x = y.
Kết luận: max SADME = SΔABC, khi đó M là trung điểm của BC. [4]
Nhận xét: Qua bài toán 4, cùng một bài toán, nhưng với cách khai thác khác nhau thì việc vận dụng bất đẳng thức Côsi sẽ ở những dạng khác nhau. Vấn đề là đòi hỏi ở người làm toán khả năng vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt được mục đích cụ thể.
B. Khai thác ý nghĩa của BĐT Côsi	vào bài toán cực trị liên quan đến thực tế 
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC. Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH. Khi đó hình thang trở thành hình gì? [7]
 Phân tích: Ta có 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK. Từ đây ta nhớ tới ý nghĩa của BĐT Côsi: Với hai số dương x, y có tổng x + y không đổi, thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Ngược lại nếu tích xy không đổi thì tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
Ta thấy tổng (BH + KC) + HK không đổi (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn nhất khi và chỉ khi BH+KC = HK = .Từ đó tìm được diện tích lớn nhất và khi đó hình thang trở thành hình nào ?
Hướng dẫn (Hình 5)
Ta có: 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK
Ta thấy tổng (BH+KC) + HK không đổi (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn nhất khi và chỉ khi BH+KC = HK = .
 Do đó: max S = . . = 
 Khi đó hình thang DEKH có đường cao HK= và nếu kẻ AM ^ BC thì do tam giác ABC vuông cân tại A nên MB = MC = 
nên HB = HM = 
 Hình 5
 Vậy KC = BC - BH - HK = a - - = 
 Khi đó DH = HB = , EK = KC = . Hình thang DEKH là hình chữ nhật, E là trung điểm của AC. [7]
 Bài 6: Hai anh em chia tài sản là một mảnh đất hình tam giác ABC. Họ muốn chia mảnh đất đó thành 2 miếng đất có diện tích bằng nhau bởi một bờ rào thẳng ngắn nhất. Tính độ dài m của bờ rào này theo diện tích S và góc nhỏ nhất α của tam giác. [2]
* Phân tích: Một tình huống của thực tế đã