SKKN Nâng cao chất lượng đại trà khi dạy học sinh lớp 9 các dạng Toán ứng dụng Định lí Vi - Ét

	1. Mở đầu.
1. 1. Lý do chọn đề tài
Trong xu thế hội nhập quốc tế hiện nay, giáo dục và đào tạo có vài trò vô cùng quan trọng, là chìa khóa mở cửa mọi thành công của đất nước. Đảng và nhà nước ta đã khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu, giáo dục – đào tạo cùng với khoa học công nghệ là nhân tố quyết định sự tăng trưởng kinh tế và phát triển xã hội, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển.
Mục tiêu giáo dục của nước ta trong thời kì hiện nay là “ phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đào tạo nên những con người có kiến thức văn hoá khoa học, có kĩ năng nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo và có kỉ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội.”.
Nghị quyết 29 –NQ/TW của Ban chấp hành Trung ương Đảng khoá 11 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế-xã hội”[1]. Muốn phát triển giáo dục phải xuất phát từ các cơ sở giáo dục – nhà trường. Trong nhà trường cần phải coi trọng giáo dục toàn diện cho học sinh, giáo dục cho học sinh thông qua các môn học. 
Nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học là phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh. Đó cũng là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học. 
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.[2]
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh. [3] 
Trong chương trình toán THCS, các bài toán ứng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng. Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + b = 0; a – b + c = 0 hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn. Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng. Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình. Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà không biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu. Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số. Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức, quan hệ giữa 2 nghiệm, các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình.
 Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phong phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách giải linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Vì vậy, những năm gần đây, trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện nhiều bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét. Tuy nhiên nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa Đại số 9 lại rất ít( chỉ có 02 tiết), lượng bài tập chưa phong phú, đa dang, điều đó làm cho những ứng dụng của hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới. Các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này. 
Qua một số năm giảng dạy môn Toán lớp 9 THCS, đồng thời tham khảo ý kiến của đồng nghiệp, với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài : “ Nâng cao chất lượng đại trà khi dạy học sinh lớp 9 các dạng Toán ứng dụng Định lí Vi-ét” 
1.2. Mục đích của đề tài
Như chúng ta đã biết Toán học là một bộ môn khoa học khó đối với đa số học sinh ở vùng nông thôn, nơi có điều kiện học tập còn nhiều khó khăn, thời gian dành cho học tập còn hạn chế. Công tác trong ngành đã nhiều năm tôi thấy đa số các em còn ngại học môn Toán chưa đầu tư, chưa say mê với bộ môn này. 
 	Đa số các bài tập ứng dụng định lí Vi-ét học sinh cần phải vận dụng nhiều khiến thức mới có thể làm được bài tập vì vậy giáo viên phải ôn tập lại các kiến thức cơ bản có liên quan thông qua một số bài tập được sắp xếp theo mức độ tăng dần và hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải, cách trình bày lời giải. Người giáo viên cần thấy được dạy học sinh giải toán không chỉ đơn thuần là cho học sinh có được lời giải mà là giúp học sinh tìm lời giải bài toán thông qua dạy kiến thức và truyền thụ tri thức phương pháp. Làm như vậy học sinh sẽ tự đúc kết được phương pháp giải bài toán dẫn đến có được phương pháp học tập bộ môn, vì vậy trong đề tài này tôi đề cập đến các nội dung sau:
- Tổng hợp các kiến thức nội dung Định lí Vi-ét, các ứng dụng của Định lí Vi-ét trong chương trình đại số lớp 9.
	- Phân dạng và nêu phương pháp giải của từng dạng ứng dụng Vi-ét giúp học sinh ôn tập dễ dàng hơn bởi trong chương trình SGK không có điều kiện đi sâu vào các ứng dụng do thời lượng chương trình và chuẩn kiến thức kĩ năng.
 	- Một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng đại trà khi dạy các dạng Toán ứng dụng Định lí Vi-ét.
	- Đưa ra đề xuất kiến nghị về việc nâng cao chất lượng đại trà trong giảng dạy ứng dụng định lí Vi-ét ở trường THCS.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy Toán lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT, tôi xác định rõ đối tượng là “ Nâng cao chất lượng đại trà khi dạy học sinh lớp 9 các dạng Toán ứng dụng Định lí Vi-ét” 
Nghiên cứu việc sử dụng hệ thức Vi – ét để giải các bài toán về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 THCS. Tư đó giúp các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, đồng thời kích thích, định hướng cho học sinh cách tìm hiểu kiến thức không chỉ về toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp trên địa bàn.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số
- Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể
- Đưa ra bài toán tổng quát.
- Nêu ứng dụng của phương pháp.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến minh nghiệm :
2.1.1. Định lý Vi-et đối với phương trình bậc hai một ẩn:
a. Định lí Vi ét thuận [5]
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì:
S = x1 + x2 = P = x1 . x2 = 
* Hệ quả:	Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0	(*)
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = 
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có một nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 = 
b. Định lý Viét đảo
Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: X2 - SX + P = 0 (Điều kiện $ 2 số x1, x2 là S2 – 4P ³ 0)
Chú ý: 
* Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 
Û hoặc a.c < 0
2.1.2. Định lý Vi-et đối với phương trình bậc cao [6]
a. Đinh lí thuận 
Nếu phương trình bậc n:
	anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 ( a ≠ 0)
có n nghiệm x1, x2, ..xn ( các nghiệm không nhất thiết phân biệt) thì ta có hệ thức Viét sau:
	x1 + x2 +..+ xn = 
	x1x2 + x1x3 +..+x1xn + x2x3 +x2xn + ..+ xn-1xn = 
	........................................................
	x1x2...........xn = (-1)n
b. Định lí đảo
	Cho n số thực tuỳ ý a1, a2, ...............an. Đặt:
	S1 = a1 + a2 + .................an
	S2 = a1a2+ a1a3 +.....a1an + a2a3 +.........a2an + ......an-1an
	......................................................
	Sk = 
	......................................................
	Sn = a1a2...............an
Thì a1, a2,...............,an là các nghiệm của phương trình:
	xn – S1xn-1 + S2xn-2- .........+(-1)kSkxn-k + ............+ (-1)nSn = 0
	Chẳng hạn, định lí Viét cho phương trình bậc ba được phát biểu như sau: Nếu x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0) thì:
	x1 + x2 + x 3 = ; x1x2 + x2 x3 + x3x1 = ; x1x2x3 = 
2.2.Thực trạng việc dạy và học hệ thức Vi – ét và vận dụng hệ thức Viét vào giải toán.
 	 Là địa phương có điều kiện kinh tế tương đối khó khăn so với các xã lân cận, điều kiện trật tự an toàn xã hội cũng tương đối phức tạp, ảnh hưởng không nhỏ tới chất lượng giáo dục toàn diện của nhà trường. Mặc dù vậy, đội ngũ cán bộ giáo viên nhà trường vẫn nhiệt tình, toàn tâm toàn ý trong công tác, thực hiện rất nghiêm túc qui chế chuyên môn. Do vậy chất lượng giáo dục toàn diện của nhà trường đã có những bước tiến trong những năm gần đây. Số lượng học sinh giỏi tăng trong từng năm học, chất lượng đại trà cũng từng bước được nâng lên.
 Khảo sát 70 học sinh năm học 2016 - 2017 về một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi ét:
Bài toán 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 a) 3x2 - 5x + 2 = 0 b) -7x2 - x + 6 = 0
Bài toán 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
 a) 3x1 + 2x2 = 1	b) x12 - x22 = 6	c) x12 + x22 = 8
Bài toán 3: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)
 Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
 a) x12 + x22 	b) x13 + x23 	c) 
Bài toán 4: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 
 a) Có hai nghiệm khác dấu
 b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
 c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
 d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Với 4 bài toán trên được thực hiện trong các thời điểm khác nhau trong năm học( từ sau khi học sinh học xong chương diện tích đa giác), đối với học sinh khối 8 và 9, kết quả thu được như sau:
Bài Toán
Điểm 0 ® < 3,5
3,5 ® < 5
5 ® < 6,5
6,5 ® 8,5
8,5 ® 10
1
6
20
23
16
5
2
15
30
14
7
4
3
35
20
7
6
2
4
35
24
6
3
2
Từ kết quả trên và qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng kĩ năng vận dụng hệ thức Vi - ét và tư duy giải toán của nhiều học sinh còn hạn chế. Với bài toán 1 vẫn còn nhiều em không nhẩm được nghiệm của phương trình bằng cách áp dụng hệ quả hệ thức Vi ét hoặc sử dụng sai công thức a+ b+ c = 0 hoặc công thức ( a- b + c = 0)
Với bài toán 2 và 3 thì chỉ có một số học sinh khá có thể giải được, các học sinh còn lại không biết cách biến đổi và sử dụng hệ thức Vi – ét để tính toán. Đa số học sinh không tính được giá trị của m để x12 – x22 = 6; x12 + x22 = 8, không biến đối được chúng về dạng tổng và tích hai nghiệm
Với bài toán 4 thì hầu hết học sinh không tìm được hướng giải quyết, chỉ có rất ít học sinh khá giỏi có thể trình bày được song chưa thật sự chặt chẽ, logich.
2.3. Những giải pháp
Trong hệ thống các bài tập Toán THCS, loại toán ứng dụng hệ thức Vi ét là rất phong phú và đa dạng. Tôi nghĩ, giáo viên dạy toán lớp 9 không thể đạt được mục đích nếu như không chọn lọc hệ thống những kiến thức cơ bản, nhóm các bài tập theo từng dạng, nêu đặc điểm của dạng và xây dựng hướng giải cho mỗi dạng. Đây là khâu có ý nghĩa quyết định giúp học sinh tìm ra được hướng giải một cách dễ dàng, hạn chế tối đa những sai lầm trong quá trình giải bài tập, đồng thời phát triển được tiềm lực trí tuệ cho học sinh ( thông qua các bài tập tương tự mẫu và các bài tập vượt mẫu).
	Khi thực hiện đề tài vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập ứng dụng hệ thức Vi - ét rất phong phú đa dạng, đòi hỏi sự linh hoạt trong quá trình vận dụng. Do đó tôi đưa ra hệ thống bài tập, các dạng bài theo các mức độ rèn luyện từ dễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹ năng từ biết làm đến đạt độ mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Để bồi dưỡng mỗi dạng tôi thường thực hiện theo các bước sau:
B1:	Giới thiệu bài tập mẫu và hướng dẫn giải.
B2:	Rút ra nguyên tắc và phương pháp áp dụng.
B3:	Học sinh tự luyện theo mẫu và nâng cao.
Tuỳ độ khó mỗi dạng tôi có thể hoán đổi thứ tự của bước 1 và 2.
Sau đây là một số dạng bài tập, cách nhận dạng, kinh nghiệm giải quyết đã được tôi thực hiện và đúc kết từ thực tế. 
Dạng 1: Bài toán tính nhẩm nghiệm của một số phương trình đơn giản.
I. Phương pháp: 
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) có a + b + c = 0 thì phương trình 
có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) có a - b + c = 0 thì phương trình 
có 2 nghiệm là: x1= -1; x2= 
* Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) 
Thì và 
 Có thể tính nhẩm được ngay x1, x2 nếu S và P là những số nguyên tố có giá trị tuyệt đối không lớn quá.
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của phương trình sau: [5]
 a) 2x2 - 31x +29 = 0 b) x2 - 2011x +2010= 0 c) 0,01x2 - x - 1,01 = 0 
Giải: a) 2x2 - 31x + 29 = 0
Ta có a + b +c = 2 - 31 + 29= 0 Vậy PT có hai nghiệm: x1=1; x2 = 
b) x2 - 2011x +2010 = 0
Ta có a + b + c = 1- 2011+ 2010 = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 2010
c) 0,01x2 - x - 1,01 = 0
Ta có a - b + c = 0,01 + 1 - 1,01 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = = 101
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau bằng hệ thức Viet [5]
 a) x2 - 7x + 12 = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0 c) x2 + 11x + 18 = 0 
Giải: a) x2 - 7x + 12 = 0
Do ' = 49 - 48 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Vì: 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên x1 = 3 và x2 = 4 là nghiệm của phương trình đã cho
b) x2 + 5x + 6 = 0
Do = 25 - 24 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 
 Vì: (-2) +(-3) = 5 và (-2).(-3) =6
 nên nghiệm của phương trình là: x1 = -2; x2 = -3
c) x2 + 11x + 18 = 0
Do =121- 4.18 =121 - 72 =49 > 0 nên PT có hai nghiệm x1, x2: 
 Vì: (-2) + (-9) = 11 và (-2) .(-9) = 18 nên nghiệm của PT là: x1= -2; x2 = -9
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) 5x2 - 9x + 4 = 0 b) ()x2 + ( 5 - )x - 10 = 0 [7] c ) 
Bài 2: Dùng hệ thức Viet để tính nhẩm nghiệm của phương trình: [5]
a) x2 - 6x + 8 = 0 b) x2 - 12x + 32 = 0 c) x2 - 3x - 10 = 0 
Dạng 2: Bài toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
I. Phương pháp:
 Nếu hai số u, v có: 
 Thì u và v là nghiệm của phương trình: t2 - St +P = 0 (1)
Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm t1, t2 (điều kiện S2 - 4P 0) thì ta được:
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm hai số u và v biết tổng u + v = 17 và tích u.v = 72 [5]
Giải: Theo Vi-ét ta có u, v là hai nghiệm của phương trình: t2 - 17t + 72 = 0
 Có = (-17)2 - 4.1.72 = 1 = 1 
 Do đó: t1 = ; t2 = Vậy 
Ví dụ 2: Tìm hai số u và v biết tổng u + v = 5 và tích u.v = 40
Giải: Theo Vi-ét ta có u, v là hai nghiệm của phương trình: t2 - 5t + 40 = 0
 Có = (-5)2 - 4.40 = -135 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy không có hai số nào thoả mãn có tổng là 5 và tích là 40
Ví dụ 3: Tìm hai số u và v biết: u - v = -2 và u.v = 80 [5]
Giải: Đặt v' = -v ta có u + v' = -2 và u.v' = -80. Khi đó u và v' là nghiệm của phương trình: t2 + 2t - 80 = 0
 Có ' = 1 + 80 = 81 = 9 Do đó t1 = 8; t2 = -10
Suy ra u =8, v' = -10 hoặc u = -10, v'=8 Vậy u = 8, v = 10 hoặc u = -10, v =-8
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v =29 và u.v = 198 b) u - v =10 và u.v = 24 c) u2 + v2 = 85 và u.v = 18
Bài 2: Tìm x và y biết [8]
Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng: 
a) và b) 4 và 1 - 
Dạng 3: Bài toán tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
I. Phương pháp:
	Ta tìm cách biến đổi để biểu diễn các hệ thức đó theo tổng và tích các nghiệm, sau đó thay các tổng và tích theo - và .
	Đặc biệt trong các hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc 2, ta thường quan tâm đến hệ thức đối xứng của các nghiệm. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình: ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không đổi khi ta hoán vị x1 và x2 .Ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P như sau: 
 * x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P
 * 
 * x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) = S3 - 3SP
 * [9]
	 Đối với các hệ thức không đối xứng của các nghiệm ta kết hợp hệ thức với tổng S = x1 + x2 để tính x1, x2 rồi thay vào tích x1.x2 = P
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giả sử phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0)có 2 nghiệm x1, x2 .
 Hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) -x1 và -x2 b) 2x1 và 2x2 c ) x12 và x22 d) x1 + x2 và x1.x2 
Giải: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1,x2 
Ta có: 
a) Ta có: thì -x1, -x2 là nghiệm của phương trình:
 t2 +St + P = 0
b) Ta có: thì 2x1 và 2x2 là nghiệm của phương trình: 
 t2 - 2St + 4P = 0
c) Ta có: thì x12, x22 là nghiệm của phương trình: 
 t2 -(S2 -2P)t +P2 = 0
d) Ta có: 
 thì x1 + x2 và x1.x2 là nghiệm của phương trình: t2 - ( S + P)t + SP = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tìm giá trị của các biêu thức sau:
a) A = b) B = c) C = x12 + x22 d) D = 
Giải: ta có = 9 - 8 = 1 > 0 do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt, hơn nữa x1 0, x2 0. 
Theo hệ thức Viet ta có: 
a) A = 
b) B = = 
c) C = x12 + x2 2 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 
d) D = = 
 = 
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2x + 1 = 0
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
a) A = x13 + x23 b) B = x12 - x22 
Bài 2: Cho phương trình: x -5x-11 = 0 không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
x+ x, +, x-x(trong đó x,xlà nghiệm của phương trình đã cho)
Bài 3: Tìm m để phương trình: mx-2(m+3)x + m + 1 = 0
có 2 nghiệm x, x.Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau
a) - xvà -x b) 2 x và 2x 
c)x và x d) x12 + x22 và xx
Dạng 4: Bài toán tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
 không phụ thuộc vào tham số
I. Phương pháp:
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số(giả sử tham số là m) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x,x
Bước 2 : Áp dụng định lý Viet ta có (I)
Bước 3: Khử m từ hệ (I) để tìm được 1 hệ thức giữa S và P không chứa tham số . Đó chính là hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số.
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc 2: [8]
 (m - 4)x2 - 2(m - 2) + m - 1 = 0 trong đó m là tham số
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình độc lập với m.
Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là: 
Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn:
Lấy (1) chia cho