SKKN Một vài kinh nghiệm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình Đại số 10 – THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT VÀI KINH NGHIỆM ĐƯA CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN VÀO DẠY CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 ĐẠI SỐ 10 – THPT
Người thực hiện: Ngô Thị Duyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học 
THANH HOÁ NĂM 2016
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Mục tiêu của giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là rất cần thiết.
Toán học có vai trò quan trọng không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên.
Để đáp ứng được những đòi hỏi càng cao của nền kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường chúng ta phải dạy cho học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức thông qua các trải nghiệm thực tế, gắn bài học với thực tế cuộc sống làm cho bài giảng thêm sinh động, lí thú. Qua đó có thể tạo ra những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu về nguồn lực nhằm thúc đẩy cho mục tiêu phát triển kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào môn khác, vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại, qua đó càng làm nổi bật nguyên lý: “ Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội ”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Một vài kinh nghiệm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình Đại số 10 – THPT ”.
Mục đích nghiên cứu
	Mục đích nghiên cứu của SKKN là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học chương Phương trình, hệ phương trình môn toán 10 - THPT.
 Phân tích và hướng dẫn giải bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện mối liên hệ với phương trình, hệ phương trình đã được đưa vào giảng dạy ở THPT qua đó thấy được ý nghĩa “ Học đi đôi với hành ”.
Biết vận dụng phương trình, hệ phương trình trong toán học để giải một số bài toán trong thực tế, góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những đối tượng nghiên cứu của SKKN là:
a. Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học.
b. Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội dung chương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT.
c. Thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề vận dụng phương trình, hệ phương trình vào giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn.
d. Đề xuất một số bài toán thực tiễn, liên môn có thể áp dụng vào dạy học chương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT 
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo có liên quan.
Phương pháp tạo tình huống có vấn đề.
Phương pháp quan sát sư phạm.
Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế cho thấy, toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể, trong đó có kinh tế học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất. Ai cũng biết rằng không phải chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để phát huy được đầy đủ hiệu quả của kỹ thuật và máy móc ấy. Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phượng án tốt nhất. Bài toán về “ sự lựa chọn” ấy đã được một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết và kết quả nghiên đó có ý nghĩa rất lớn đối với sản xuất đồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế: công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận tải
Trong công nghiệp việc đưa vào lý thuyết phương trình tuyến tính để đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảm nguyên liệu.
Ví dụ 1: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo? 
Phân tích: 
Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng : 
+ Số lượng áo may trong một ngày x Số ngày may = Tổng số áo may. 
+ Toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng. 
+ Chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. 
+ Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch
 Khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày may là x - 9 và tổng số áo may là: 120(x - 9). 
Từ đó ta có, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi phương trình: 
 120 ( x - 9) = 90x + 60 Û x = 38 
Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may là 38 ngày. 
Trong nông nghiệp có thể áp dụng phương trình tuyến tính để cải tiến các kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi nhằm tận dụng năng xuất các loại đất, nâng cao mức thu hoạch 
Ví dụ 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ . Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là một tấn. 
Giải:
+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống mới là x ( tấn), x > 0
+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống cũ là y ( tấn), y> 0 
 + Ta có hệ phương trình 
Vậy:
Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn. 
Năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn. 
Trong giao thông vận tải dùng phương trình tuyến tính để chọn phương án vận chuyển tiết kiệm nhất, giảm bớt các quãng đường chạy không, chọn phương án hợp lí để giảm bớt thời gian quay vòng 
Ví dụ 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất giờ. Nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu. 
Giải:
 	+ Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0), thời gian dự định là t giờ 
( t > 0 ). 
 	+ Như vậy thời gian đi lúc ban đầu là , lúc sau là . 
 	+ Theo bài ra thời gian lúc đầu là t + , còn lúc sau là t - . 
 	+ Từ đó ta có hệ phương trình : 
Như vậy, trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán. Để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình. 
Những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán có thể chia thành hai loại: loại thứ nhất là những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và loại thứ hai là những mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật. 
Thuộc về loại thứ nhất có thể kể : 
- Năng xuất dự kiến + 5 = năng xuất thực tế.
- Thời gian dự kiến - 6 = Thời gian thực tế.
Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu: 
- Tổng sản lượng = năng xuất x thời gian sản xuất. 
- Đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động thẳng đều). 
- Nửa chu vi hình chữ nhật = chiều dài + chiều rộng.
Ta xét ví dụ sau;
 “ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó”. 
 Phân tích: 
Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là: x + 5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt học sinh biểu thị thời gian dự kiến là và thời gian sản xuất thực tế là ”. Bằng cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 
Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng.
 	Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho học sinh, thấy rằng phát hiện những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình giải bài toán đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho học sinh biết xem xét sự vật trong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là một yếu tố của tư duy biện chứng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán học với thực tế là còn yếu, học sinh ít được toán học hoá các tình huống trong thực tiễn cuộc sống. Thực trạng ấy, theo tôi có thể do những nguyên nhân sau: 
 + Tất cả các sách giáo khoa môn toán và tài liêu tham khảo ít đề cập đến các ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học mà hầu như chỉ tập trung chú ý tới các ứng dụng có tính chất nội bộ môn toán. 
+ Các đề thi toán còn hạn chế trong việc đưa các bài toán thực tiễn nên khi gặp các bài toán này học sinh thường lúng túng không biết chuyển ngôn ngữ từ đề bài sang ngôn ngữ toán học dẫn đến bế tắc trong quá trình tìm lời giải.
Từ những nguyên nhân đó mà trong quá trình giảng dạy giáo viên còn dè dặt trong việc dạy học sinh giải bài toán có nội dung thực tế nói chung và dạy học sinh giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nói riêng.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III 
 - Khái niệm phương trình.
 - Điều kiện của một phương trình.
- Phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương .
- Phương trình hệ quả.
- Giải và biện luận phương trình ax + b = 0.
- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax+ bx + c = 0 . 
- Định vi- ét ( thuận và đảo).
- Phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.
2.3.2. Các ví dụ về bài toán có nội dung thực tế - liên môn được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập.
Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và
phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các
đại lượng ấy. Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình, sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi.
Chúng ta quan tâm đến vấn đề: trong toán học phương trình, hệ phương trình giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ năng chuyển bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình ở học sinh. 
Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là
dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán.
Để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại
lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình.
Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế. Trong dạy học cần chú trọng cho học sinh lập phương trình là tập luyện cho học sinh biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho học sinh một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng, chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau: 
Bước 1: Đặt ấn số. 
Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì ( các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn ( các ẩn). Cũng có khi với cách đặt ẩn mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn. 
Bước 2: Lập phương trình. 
Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có) ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. Để lập được phương trình ( các phương trình) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và những cái đã cho). 
Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình. 
Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến phương trình nghiệm nguyên . Cũng có khi với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn. 
Chú ý: Trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau, khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó. 
Bước 3: Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn ( nếu có). 
- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho. 
- Lập phương trình ( hệ phương trình). 
- Chọn nghiệm thích hợp trả lời. 
Vai trò của phương trình, hệ phương trình đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật, Giáo viên có thể giúp học sinh thấy rõ điều này thông qua một số ví dụ trích dẫn sau: 
2.3.2.1. Toán năng xuất 
Bài toán 1. Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Phân tích tìm lời giải:
Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thì trong giờ một người thứ nhất làm được công việc và người thứ hai làm được công việc ( x > 0, y > 0). Cả hai người cùng làm thì trong 5giờ 50 phút hay giờ sẽ xong công việc thì trong một giờ họ làm được công việc. Từ đó ta lập hệ phương trình để giải. 
Giải: Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x giờ, y giờ ( x > 0, y > 0). Thì trong một giờ người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công việc. Cả hai người cùng làm xong công việc trong 5giờ 50 phút bằng giờ thì trong một giờ làm được công việc hay công việc, ta có phương trình ( 1): 
Trong hai giờ làm chung cả hai người làm được công việc, và người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được công việc, ta có phương trình ( 2): 
Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 
 	Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ; người thứ hai phải làm 14 giờ mới làm xong công việc.
Bài toán 2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?
Phân tích tìm lời giải:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất; y triệu đồng cho loại hàng thứ hai. 
+ Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất ( kể cả thuế VAT 10%) là (triệu đồng) , cho loại hàng thứ hai ( kể cả thuế VAT 8%) là (triệu đồng) . 
+ Ta có phương trình: + = 2,17 1,1x + 1,08y = 2,17 (1)
+ Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là :
 hay 1,09 x + 1,09 y = 2,18 (2)
+ Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai .
Bài toán 3: Hai cần cẩu lớn bốc rỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé ( công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc. Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. 
Phân tích tìm lời giải:
 + Gọi thời gian nếu chỉ có một cần cẩu lớn làm xong việc là x ( giờ), x > 0
 + Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình đến khi xong việc là y ( giờ). 
 + Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làm trong 3 giờ thì xong việc. Do đó ta có phương trình (1): 
Nếu bảy cần cẩu cũng làm từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó ta lại có phương trình (2): 
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x ; y) = ( 24;30). 
Vậy cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc, cần cầu bé làm một mình trong 30 giờ thì xong việc. 
Bài toán 4 ( Bài toán cổ ): Một người nói với bạn: “ Nếu anh đưa tôi 7 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ Nếu anh cho tôi 5 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ?
Phân tích tìm lời giải:
Bài toán có hai người khi đó gọi số đina của người đầu là x, số đina của người thứ hai là y ( x > 0, y > 0)
Với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình: 
Vậy người đầu có 7 đina, người thứ hai có 9 đina. 
Bài toán này được lấy trong cuốn “Liberabaci” của nhà toán học Italia Leonađơ Pizaxnki phibonaxi. 
Bài toán 5: Một thương gia hàng năm tăng tài sản lên và giảm tài sản do chi phí 100 bảng. Sau 3 năm ông nhận thấy gia tài tăng gấp đôi. Hỏi ban đầu ông có bao nhiêu tiền ?
Phân tích tìm lời giải:
Ta nhận thấy rằng nội dung của bài toán chứa những mệnh đề cần phải biểu thị bằng những biểu thức. 
Thương gia có một số tiền: x ( bảng) ( x > 0)
Năm đầu tiên chi phí mất 100 bảng ,còn : x - 100 ( bảng)
Bảng số dư của ông ta tăng lên : x – 100 + hay 
Năm