SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm cực trị đại số và chứng minh bất đẳng thức từ kết quả bài toán thường gặp ở bậc THCS

Mục lục
Nội dung chính
Trang
1. Mở đầu.
2
 1.1.Lí do chọn đề tài
2
 1.2.Mục đích nghiên cứu.
3
 1.3.Đối tượng nghiên cứu.
3
 1.4.Phương pháp nghiên cứu.
3
2. Nội dung.
3
 2.1. Cơ sở lí luận.
3
 2.2. Thực trạng .
4
 2.3. Các giải pháp.
 Dạng 1:Tìm cực trị đại số.
 Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức
5
6
10
 2.4. Hiệu quả .
13
3. Kết luận, kiến nghị.
14
 3.1.Kết luận
14
 3.2. Kiến nghị
14
Tài liệu tham khảo
16
---------------–&—---------------
	1. Mở đầu.
 	 1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong trường phổ thông môn toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở cho các môn học khác đặc biệt là các môn học tự nhiên. Từ xa xa con người đã biết đến toán học, toán học là nền tảng của nhiều môn khoa học tự nhiên khác, các ứng dụng của toán học đã mang lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội và là nền tảng tư duy tri thức rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, phát triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức.Vậy dạy toán trong trường THCS ngoài mục đích cung cấp kiến thức cơ bản cho học sinh, còn phải dạy cho học sinh phương pháp nghiên cứu, tìm tòi, từ một bài toán có thể mở rộng và ứng dụng vào nhiều bài toán khác để phát triển tri thức toán. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã, đang và mãi mãi nghiên cứu, cải tiến phương pháp dạy, học toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học.
Để có thể dạy toán theo phương pháp đổi mới hiện nay, quá trình dạy và học phải "Lấy học sinh làm trung tâm nhưng phát triển theo năng lực học sinh''. Người thầy giáo có kiến thức sâu rộng chưa đủ mà còn phải thường xuyên đổi mới tư duy trong từng bài giảng. Toán học là một môn khó trong khi đó kiến thức lại nhiều, đặc biệt đối với các em hay tham gia các kỳ thi học sinh giỏi thì có vô vàn những bài toán khó đòi hỏi các em phải tư duy nghiên cứu. Chỉ tính đến các bài toán về bất đẳng thức thôi cũng đã nhiều không kể hết. Bất đẳng thức là kiến thức không thể thiếu trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học và cao đẳng. Bất đẳng thức áp dụng rất nhiều trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn như: giải phương trình, giải hệ phương trình, bài toán cực trị đa số học sinh khi gặp bất đẳng thức thường hay lúng túng không biết bắt đầu từ đâu vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không có một phương pháp giải nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán. Với vai trò là giáo viên dạy toán khối THCS tôi muốn học sinh được tiếp cận với bất đẳng thức từ những kiến thức bình thường, dễ hiểu nhất.Vì vậy sau các năm giảng dạy ở các khối lớp tôi trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu và viết được đề tài này tôi thấy việc cần thiết phải có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải không chỉ mình dạng toán này mà cho những loại toán khác có liên quan.Với đề tài này tôi muốn giới thiệu "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm cực trị đại số và chứng minh bất đẳng thức từ kết quả bài toán thường gặp ở bậc THCS ".
Trong nội dung của đề tài tôi chỉ đề cập đến một phần rất nhỏ các bài toán về bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số hy vọng rằng giúp học sinh có thể định hướng được phương pháp chứng minh và có hứng thú khi học về bất đẳng thức và bài toán cực trị nói riêng và bộ môn toán nói chung.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
	- Nhằm giúp cho giáo viên phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng được năng lực tự học, tự rèn, lòng say mê học tập và ý chí không ngừng vươn lên của học sinh tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn.
	- Hiệu quả học tập của học sinh cao, nhiều học sinh thể hiện được khả năng cá nhân, và có tinh thần giúp đỡ lẫn nhau trong học tập.
	- Góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới sách giáo khoa mà BGD triển khai trong thời gian tới.
	- Nêu lên được một số kinh nghiệm của bản thân về:" Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm cực trị đại số và chứng minh bất đẳng thức từ kết quả bài toán thường gặp ở bậc THCS ".
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Đối tượng nghiên cứu của đề tài là  kết quả một bài toán để tìm cực trị đại số và chứng minh bất đẳng thức. Trong phạm vi thời gian không cho phép tôi chỉ vận dụng đề tài nghiên cứu trong lớp 9 do tôi giảng dạy.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây :
	1) Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
	2) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
	3) Phương pháp phân tích.
	4) Phương pháp tổng hợp.
	5) Phương pháp khái quát hóa.
	6) Phương pháp quan sát.
	7) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
	 2. Nội dung.
 2.1. Cơ sở lí luận.
Để đáp ứng được yêu cầu phát triển của sự nghiệp phát triển giáo dục và nhu cầu học của học sinh. Thì trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, nội dung kiến thức phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng để học sinh có thể tự mình tìm ra cách giải và phát triển tư duy toán học.
Việc giảng dạy môn Toán ở nhà trường không những nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học mà còn vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.Dạy học như thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập. Đó là một câu hỏi mà mỗi thầy, cô giáo luôn đặt ra cho mình.
Khi học toán học sinh thường thấy sợ từ đó dẫn đến ngại học khi nhắc tới bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số nhưng nó lại là một phần rất quan trọng trong chương trình toán THCS, nó có mặt trong tất cả các bộ môn : số học, hình học, đại số,Tuy nhiên để giải quyết bài toán có liên quan tới bất đẳng thức thì không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp kết hợp với kỹ năng biến đổi suy luận, dự đoán, biết phát hiện ra đặc điểm của bài toán từ đó có hướng đi đúng trong từng bài, từng dạng.
 2.2. Thực trạng.
Với phương châm đổi mới phương pháp dạy học, việc dạy - học Toán ở THCS hiện nay đã có những bước chuyển biến mới: không còn tình trạng“ thầy đọc – trò chép”, học sinh đã chủ động trong việc tiếp thu kiến thức. Nhưng kỹ năng giải toán của một bộ phận không ít học sinh vẫn còn yếu: Các em không biết vận dụng kiến thức để giải bài tập hoặc chỉ biết vận dụng kiến thức một cách máy móc, khi gặp các bài toán cần vận dụng kiến thức một cách tổng hợp, linh hoạt (các dạng toán khác thường) các em thường không tập trung tư duy mà có ý chờ thầy, cô “mở nút”. 
Qua thực tế giảng dạy toán ở khối 9 những năm qua tôi nhận thấy: số lượng các em không nhớ kiến thức hoặc chưa biết vận dụng vào bài tập khá nhiều. Do đó việc rèn luyện cho học sinh biết "đúc rút", "tổng hợp" để nhớ các kiến thức đã học một cách dễ dàng là một công việc vô cùng quan trọng và cần được rèn luyện ngay từ lớp 6 và liên tục sau này.
Tôi bắt đầu nghiên cứu và thử nghiệm sáng kiến của mình bắt đầu từ năm học 2011 - 2012 cho đến nay. Năm học 2013 – 2014, 2014 - 2015 tôi được nhà trường phân công giảng dạy khối 9. Tôi đã áp dụng sáng kiến của mình năm 2013 – 2014 cho lớp 9A với số học sinh là 10 em. Thấy sáng kiến của mình có hiệu quả nên năm học 2014 - 2015 tôi tiếp tục áp dụng sáng kiến của mình với tổng số học sinh là 8 em thì nhận thấy thực trạng như sau: 
Thực trạng
Tổng: 10
Tổng: 8
2013 – 2014
2014 - 2015
SL
TL
SL
TL
Đầu năm
1/10
10%
1/8
12,5%
Cuối học kỳ 1
6/10
60%
6/8
75%
 Từ những thực trạng trên để sáng kiến của mình đạt hiệu quả tốt hơn tôi đã mạnh dạn cải tiến mọi nội dung và phương pháp tôi quyết định chọn" Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm cực trị đại số và chứng minh bất đẳng thức từ kết quả bài toán thường gặp ở bậc THCS" làm đề tài nghiên cứu cho mình.
 2.3. Các giải pháp.
Để có thể giúp học sinh biết tổng hợp các phương pháp làm và vận dụng linh hoạt chúng, trong quá trình giảng dạy của mình tôi đã có một số biện pháp như sau :
	- Đầu năm khảo sát chất lượng và tìm hiểu nguyên nhân gây ra sự yếu kém của học sinh đối với dạng toán từ đó phân loại đối tượng học sinh .
	- Ở mỗi khối tôi đều định hướng cho học sinh phân tích từ những kiến thức cơ bản liên quan để học sinh tự khái quát nên các phương pháp làm.
	- Khi gặp các bài toán cực trị và bất đẳng thức tôi đều yêu cầu học sinh nhắc lại các phương pháp đã biết. Như thế vừa giúp học sinh nhớ lại các phương pháp vừa giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để làm bài.
	- Đối với các lớp 9 ngoài việc hướng dẫn học sinh tự rút ra các phương pháp mới, tôi còn chủ động đưa thêm những bài tập ngoài những bài sách giáo khoa và sách bài tập, để cho học sinh có cơ hội rèn luyện và củng cố các phương pháp phục vụ cho việc ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 sau này.
	- Ngoài ra tôi còn áp dụng sáng kiến của mình để đưa vào chuyên đề tự chọn lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi.
	- Tăng cường phối hợp giữa gia đình với nhà trường, giữa giáo viên bộ môn với giáo viên chủ nhiệm để tạo ra một sức mạnh tổng hợp .
	 - Thường xuyên tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ từ đó tích lũy những bài toán hay, những phương pháp tốt. 
Sau đây tôi xin giới thiệu một bài toán mà được áp dụng rất nhiều để chứng minh các bất đẳng thức và tìm cực trị đại số.
Bài toán:
	Cho a, b, c là những số thực bất kỳ và x, y, z là những số thực dương. Khi đó ta có các bất đẳng thức sau: 
a) a2x+b2y≥(a+b)2x+y (1) b) a2x+b2y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z (2)
Chứng minh: 
a) Do x, y là các số thực dương nên: 
 a2x+b2y≥(a+b)2x+yÛ(a2y+b2x)x+y≥xya+b2
 Ûa2xy+a2y2+b2x2+b2xy-a2xy-2abxy-b2xy ≥0
 Ûa2y2-2abxy+b2x2≥0
 Û(ay-bx)2≥0 bất đẳng thức này luôn đúng với mọi a, b, x, y. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ax=by
b) Áp dụng liên tiếp 2 lần bất đẳng thức câu a ta có :
a2x+b2y+c2z≥a+b2x+y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z
	Đẳng thức xảy ra khi ax=by=cz
Tổng quát: Cho a1; a2; a3; ...an là những số thực, b1; b2; b3; ...bn là những số thực dương. Ta có a12b1+a22b2+a32b3++an2bn≥(a1+ a2+ a3+ ..+.an )2b1+ b2+ b3+ ...+bn 
	 Đẳng thức xảy ra khi a1b1=a2b2=a3b3=anbn
	 Bây giờ tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của bài toán trên. Ứng dụng đầu tiên đó là đi tìm cực trị đại số. Đây là dạng toán có mặt ở hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kỳ thi vào THPT
Dạng 1:Tìm cực trị đại số.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 21-x+1x với 0 < x < 1.
	Chắc rằng bài này các bạn đã gặp nhiều nhưng tôi muốn hướng dẫn học sinh áp dụng bài toán (1) để giải quyết. Ban đầu có thể rất nhiều học sinh bỡ ngỡ trước bài toán như vậy. Vậy thì nhiệm vụ của giáo viên đó là phải hướng dẫn học sinh biết tìm ra cách làm và biết nhận ra được đặc điểm bài toán để từ đó phát hiện ra vấn đề và có thể áp dụng để làm các dạng toán khác. Bản thân tôi kinh nghiệm cũng chưa nhiều nhưng cũng xin đưa ra một cách hướng dẫn học sinh làm dạng toán này như sau:
Giáo viên có thể lần lượt đưa ra từng câu hỏi : 
	Em có nhận xét gì về tổng hai mẫu 1-x và x trong bài toán trên ? 
 Em hãy viết 21-x+1x về dạng vế trái của công thức (1)
Từ những câu hỏi trên giáo viên tổng quát lại và hướng dẫn học sinh cách làm.
Hướng dẫn: 
	Ta có: A = 21-x+1x=221-x+12x≥2+121-x+x = 3 + 22
	Giá trị nhỏ nhất của A = 3 + 22 khi 21-x=1x hay x = 2-1∈0;1
	Đây mới chỉ là một bài toán đơn giản trong các bài toán sau đây tôi giới thiệu.	Qua các ví dụ sau đây tôi cũng hướng dẫn học sinh như ví dụ trên nhưng ở mức độ và câu hỏi đặt ra có khác nhau cho từng đối tượng khác nhau, từng bài khác nhau. Không phải bài toán nào cũng đơn giản như vậy mà có bài phải khéo léo thêm bớt :
Ví dụ 2: Cho x, y, z là những số dương và x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất B = xx+1+yy+1+zz+1
Hướng dẫn: Ta có x, y, z là những số dương. 
	B = xx+1+yy+1+zz+1 = x+1-1x+1+y+1-1y+1+z+1-1z+1
 =1 - 1x+1+1 - 1y+1+1 - 1z+1 = 3 – (1x+1+1y+1+1z+1 )
 ≤ 3 - (1+1+1)2x+y+z+3=3 - 94= 34
	Giá trị lớn nhất của B = 34 khi x = y = z = 13
Ví dụ 2 còn có cách giải khác như sau: 
Ta có 12=1.x+1.y+1.z2≤3x2+y2+z2 =>x2+y2+z2≥13
 =>x2+y2+z2 + 1 ≥43 =>1x2+y2+z2 + 1≤ 34
	B = xx+1+yy+1+zz+1 = x2x2+x+y2y2+y+z2z2+z≥x+y+z2x2+y2+z2+ x + y + z
 = 1x2+y2+z2+ 1≤ 34
	Giá trị lớn nhất của B = 34 khi x = y = z = 13
	Như vậy cùng là cách áp dụng công thức (2) nhưng ta có nhiều cách biến đổi, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh để các em tìm ra các cách khác nhau.
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất C = 1abc+11-2(ab+bc+ca)
Hướng dẫn: 
	Do a + b + c = 1Ûa+b+c2 = 1 Û1-2(ab+bc+ca) = a2+b2+c2
	=> C = 1abc+11-2(ab+bc+ca) = 1abc+1a2+b2+c2 = a+b+cabc+1a2+b2+c2
 C = 1a2+b2+c2+1ab+1ac+1bc≥1a2+b2+c2 + 9ab+bc+ca
 = 1a2+b2+c2+1ab+bc+ca+1ab+bc+ca+7ab+bc+ca
 ≥(1+1+1)2a+b+c2+7ab+bc+ca≥ 9 +7a+b+c23 = 9 + 21a+b+c2= 30
	Giá trị nhỏ nhất của C = 30 khi a = b = c = 13
	Ở ví dụ 3 chúng ta phải khéo léo vận dụng giả thiết để thay vào bài toán từ đó tách hạng tử a+b+cabc thành nhiều hạng tử khác nhau rồi đưa về dạng (2) quen thuộc.
Ví dụ 4: Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn 1a + 1b+1c = 1 và x, y, z là các hằng số dương x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của :
D = 1xa+yb+zc+1xb+yc+za+1xc+ya+zb
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
 xa+yb+zc=x2ax+y2by+z2cz≥x+y+z2xa+yb+zc=S2xa+yb+zc (đặt x + y+ z = s)
	=>S2xa+yb+zc ≤xa+yb+zc =>1xa+yb+zc≤1S2(xa+yb+zc) (1)
Chứng minh tương tự:
 1xb+yc+za≤1S2xb+yc+za (2); 1xc+ya+zb≤1S2(xc+ya+zb)(3)
Cộng theo vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có: 
	D ≤1S2( x+y+za+x+y+zb+x+y+zc) = SS2(1a + 1b+1c) = 1S=1x+y+z=13
Vậy giá trị lớn nhất của D là 13 khi a = b = 3 và x = y = z = 1.
	Qua cách làm ví dụ 4 cho thấy, không phải bài nào ta cũng áp dụng bài toán (2) theo một chiều từ trái qua phải, mà có những bài ta phải áp dụng từ phải qua trái.
Ví dụ 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của
 M = ab+c-a+bc+a-b+ca+b-c
	Như ví dụ này ta thấy tử chưa có dạng như công thức (2) vậy thì giáo viên có thể hướng dẫn học sinh bằng cách đặt câu hỏi: 
 Có cách nào để đưa tử về dạng bài toán (2) ?
	Từ câu hỏi đó học sinh sẽ phát hiện ra cách làm là nhân tử và mẫu mỗi hạng tử với chính tử thức của nó.
Hướng dẫn: M = ab+c-a+bc+a-b+ca+b-c
 =a2 ab+ac-a2+b2bc+ab-b2+c2ac+bc-c2≥ a+b+c22ab+ac+bc-(a2+b2+c2) 
 ≥a2+b2+c2+2ab+ac+bc2ab+ac+bc-ab+ac+bc≥3ab+ac+bcab+ac+bc = 3
Giá trị nhỏ nhất của M = 3 khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều.
	Học sinh được làm quen với bài toán lớn hơn, bé hơn khi còn học ở tiểu học. Thế nhưng càng lên cao các bài toán thuộc dạng này càng khó. Mỗi bài toán có một số liệu riêng đòi hỏi một cách giải riêng, điều này có tác dụng rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. Đây là dạng toán chúng ta cần quan tâm vì nó đa dạng và phong phú, đề cập tới những kiến thức trong trường phổ thông, nó có tính tổng hợp cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng lúc vào giải quyết một vấn đề. Nhưng vấn đề đặt ra là dù bài toán nào đi chăng nữa thì giáo viên cũng phải hướng dẫn học sinh tìm ra đặc điểm của bài toán và từ đặc điểm đó tìm ra phương pháp làm, từ đó có cách làm cho nhiều dạng toán khác. 
Bài tập áp dụng
1) Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 2. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 1a+4b+9c. Hướng dẫn: E = 12a+22b+32c
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất A = 1a2+ 2bc+ 1b2+ 2ac+ 1c2+ 2ab. 
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b+ c = 3. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của G = a2a+b2+b2b+c2+c2c+a2
 Hướng dẫn: Viết G về dạng G = a4a3+a2b2+b4b3+b2c2+c4c3+a2c2.
4) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz . 
 Tìm giá trị lớn nhất H = 14x+3y+z+1x+4y+3z+13x+y+4z
 Hướng dẫn: Ta có : 4x+3y+1z=424x+323y+1z ≥ 4+3+124x+3y+z= 644x+3y+z
	Bài toán như trên không chỉ áp dụng để tìm cực trị đại số mà còn ứng dụng nhiều trong chứng minh bất đẳng thức.
Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1: Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng
A =a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 
 A = a2b+c+b2c+a+c2a+b≥(a+b+c)22(a+b+c)=a+b+c2
	Đẳng thức xảy ra khi a = b= c.
	Ví dụ này có nhiều cách giải nhưng tôi thấy cách giải này có vẻ ngắn gọn và dễ hiểu hơn cả. Với bài toán sau ta thấy ngay ở các mẫu cũng đã hướng dẫn ta cách làm.
Ví dụ2: Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c ≤ 1.
 Chứng minh rằng: B = 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥ 9
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 
 B= 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab
 ≥(1+1+1)2a2+2bc+b2+2ac+c2+2ab= 9(a+b+c)2≥91 = 9
	Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 13
	Cũng giống như dạng toán trên có những bài ta phải nhân cả tử và mẫu với một số nào đó.
Ví dụ 3: Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
C = 3xy+yz+zx+2x2+y2+z2>14
Hướng dẫn: 
	C = 3xy+yz+zx+2x2+y2+z2= 62(xy+yz+zx)+2x2+y2+z2
 C = (6)22(xy+yz+zx)+(2)2x2+y2+z2≥6+22x+y+z2=6+221 = 8 + 43> 14
	Bài toán trên chỉ cần chú ý đến mẫu thì sẽ gợi ý cho ta cách làm ví dụ, nhiều khi còn phải sử dụng thêm thừa số trung gian để làm toán. Đây cũng là kỹ thuật trong khi làm toán mà nhiều học sinh cần biết. 
Ví dụ 4: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
D = 3+a2b+c+3+b2c+a+3+ c2a+b≥ 6
Hướng dẫn: D = 3+a2b+c+3+b2c+a+3+ c2a+b
 =3b+c+3c+a+3a+b+a2b+c+b2c+a+ c2a+b
 ≥ 3(1+1+1)22(a+b+c)+(a+b+c)22(a+b+c)=276+32= 6
	Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ví dụ 5: Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn: x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
E = 1x2+y2+z2 + 2018xy+yz+zx ≥ 673
	Mới nhìn qua chúng ta tưởng bài này giống như ví dụ 3 nhưng nếu áp dụng cách làm đó có thể cho ta kết quả nhưng sẽ dài hơn cách làm như sau : 
Hướng dẫn: E = 1x2+y2+z2 + 2018xy+yz+zx
 = 1x2+y2+z2 + 1xy+yz+zx+1xy+yz+zx+2016xy+yz+zx
 ≥(1+1+1)2x+y+z2+2016xy+yz+zx≥9(x+y+z)2+2016(x+y+z)23 ≥ 673
	Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
	Qua ví dụ 4, ví dụ 5 cho thấy nhiều khi làm toán ta cần phải tách một phân thức thành nhiều phân thức khác để rồi khéo léo vận dụng bài toán (1), (2) một cách hợp lí.
Ví dụ 6: Cho ba số a, b, c dương. Chứng minh rằng:
 1a+1b+1c≥3(1a+2b+1b+2c+1c+2a)
Hướng dẫn: 
	Ta có: 1a+1b+1b≥(1+1+1)2a+b+b = 9a+2b
 Tương tự: 1b+1c+1c≥9b+2c; 1c+1a+1a≥9c+2a
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: 
	3(1a+1b+1c≥ 9(1a+2b+1b+2c+1c+2aÛ1a+1b+1c≥3(1a+2b+1b+2c+1c+2a)
	Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 
	Như bài toán trên vì a, b, c có vai trò như nhau nên từ 1a+1b+1c ta thay thành 1a+1b+1b bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn vì các mẫu của nó cộng lại chính bằng a + 2b. 
Ví dụ 7: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a2+b2+c2 = 3. 
 Chứng minh rằng: F = 11+8 a3+11+8 b3+11+8 c3≥1
Hướng dẫn: Ta có 11+8 a3 = 12a+14a2-2a+1≥12a+1+4a2-2a+12 = 24a2+2=12a2+1
Chứng minh tương tự 11+8 b3≥12b2+1; 11+8 c3≥12c2+1
Cộng theo vế với vế các bất đẳng thức trên ta có: 
 F ≥12a2+1+ 12b2+1+12c2+1≥1+1+122a2+b2+c2+3=1
	Vậy F≥1. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
	Lúc đầu nhìn bài toán trên có vẻ rất phức tạp, có thể nhiều học sinh sẽ bị rối. Nhưng giáo viên có thể mở nút cho các em bằng cách vận dụng các hằng đẳng thức đã học và bất đẳng thức cơ bản như: ab ≤ a+b2 thì bài toán không có gì là khó.
Ví dụ 8: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn:12(1a2+1b2+1c2) = 3 +1a+1b+1c. 
 Chứng minh rằng: G= 14a+b+c+1a+4b+c+1a+b+4c≤16
	Chắc các bạn đã gặp bài này trong đề thi học sinh giỏi sau đây tôi xin giới thiệu một cách giải cũng khá độc đáo như sau: 
Hướng dẫn: 
Theo bài ra ta có: 12 (1a2+1b2+1c2) = 3 +1a+1b+1c
 Û36(1a2+1b2+1c2) = 9 +3 (1a+1b+1c)
 Û36a2+36b2+36c2 - 3 (1a+1b+1c) – 9 = 0
 Û(6a-2)2+(6b-2)2+(6c-2)2+21(1a+1b+1c )– 21= 0 
 Û21(1a+1b+1c) = 21 - (6a-2)2-6b-22-(6c-2)2≤ 21
 =>1a+1b+1c≤ 1
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
4+1+124a+b+c≤424a+12b+12c=4a+1b+1c
Tương tự: 1+4+12a+4b+c≤12a+424b+12c=1a+4b+1c
 1+1+42a+b+4c≤12a+12b+424c=1a+1b+4c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có : 
 36G ≤6a+6b+6c =6( 1a+1b+1c)
 => G ≤636 ( 1a+1b+1c)≤16(điều phải chứng minh)
	Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.
Tóm lại, thông qua các ví dụ trên học sinh có thể củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện các kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình tìm ra kiến