SKKN Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải dạng toán về rút gọn biểu thức chưa căn bậc hai

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài :
 Trong những năm gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy. Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải coi học sinh là nhân vật trung tâm của mỗi tiết học.Truyền thụ kiến thức cơ bản phải theo một tiến trình bài bản và phải phân thành những dạng toán, mỗi dạng toán nên dạy thành những chuyên đề một cách có hệ thống, đưa ra được các tình huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu trong việc khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập. Giáo viên luôn khuyến khích cho học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh phát triển trí tuệ. Ngoài ra còn giúp học sinh làm quen với phương pháp tự tìm tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên. 
 	Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra cho mình. Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới. 
 1.2.Mục đích nghiên cứu:
 	 Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó là con người. Chính vì vậy môn toán không thể thiếu được: “ toán học là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo”.
 	 Là một giáo viên dạy toán 9 nhiều năm cả chương trình trình cũ và chương trình đổi mới thay sách. Tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 9 đều có những thiếu xót trong quá trình biến đổi rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2 ,từ việc tiếp thu kiến thức các phép biến đổi của căn bậc 2 , kỹ năng vận dụng công thức vào giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2, học sinh còn lúng túng nhiều,từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài cơ bản đến những bài toán nâng cao còn gặp nhiều khó khăn.
 	Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về căn thức, về rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2 đòi hỏi học sinh cần có các kỹ năng biến đổi nhạy bén , chính xác , tổng hợp được nhiều kiến thức , kỹ năng biến đổi ở các lớp dưới .Mặt khác đối với những đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để bản thân tôi phát huy được hết khả năng của các em ,đó là trách nhiệm của giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 9 tôi nhận thấy đề tài về “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải dạng toán về rút gọn biểu thức chưa căn bậc hai “là một đề tài mang tính thực tiễn cao. 
Cần phải luyện tập các bài tập trong sách giáo khoa ,nếu biết khai thác, phát triển ta có thể xây dựng được các dạng bài tập hoặc hệ thống các bài tập để sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi. Việc giải bài toán rút gọn biểu thức chứa căn với mong muốn cung cấp cho các em một số kỹ năng, phương pháp giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn giúp các em làm bài tập một cách có hệ thống nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy. Đó chính là lí do tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ” với mục đích cụ thể: 
 	Hệ thống ,củng cố kiến thức cơ bản về các phép biến đổi về căn thức .
Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai , häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc, biÕt vËn dông vµo gi¶i bµi tËp, vËn dông trong giải phương trình vô tỉ , giải bất đẳng thức , 
 	Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao. 
 	Xây dựng, hình thành và phát huy tính tự giác , chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được ở học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu : 
Trước thực tại nhận thức của học sinh còn hạn chế khi tiếp thu dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai . Trong khi đó biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là một trong những kiến thức , hay dạng toán quan trọng nhất trong kiến thức toán THCS , một trong những dạng toán quan trọng trong các kỳ thi vào các trường chuyên , trường THPT , là một trong những dạng toán có sự vận dụng , hội tụ rất nhiều các kiến thức , các kỹ năng cơ bản của người học tóan. Chính vì vậy đối tượng nghiên cứu của đề tài này chính là tìm ra các giải pháp mang tính thực tiễn cao , ứng dụng có hiệu quả vào công tác giảng dạy , với mục đích giúp các em học sinh hình thành được con đường tư duy , và có kỹ năng biến đổi chính xác dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai . 
1.4. Phương pháp nghiên cứu : 
Là một giáo viên với kinh nghiệm 15 năm dạy toán , để nghiên cứu đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
	Nghiên cứu qua tài liệu , xây dựng và nghiên cứu dạng toán trong toàn cấp học 
	Nghiên cứu qua mỗi giờ dạy của chính bản thân mình , của đồng nghiệp , của các chuyên viên chuyên trách .
	Nghiên cứu qua sự tiếp thu , và kỹ năng biến đổi của học sinh 
	Thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra giải pháp phù hợp .
Nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh để có những điều chỉnh phù hợp trong phương pháp giảng dạy nhằm xây dựng giải pháp mang tính thực tiễn cao . 
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Toán học là một môn học quan trọng và rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng . Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng . Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu, dễ nhớ, dễ vận dụng và thấy được trong từng dạng toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp các bài tương tự học sinh có thể liên hệ được và từ đó tiếp cận tới những dạng toán cao hơn. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng toán phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thứcvà có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc. Bên cạnh đó mỗi giáo viên phải không ngừng nỗ lực nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan đến bài giảng, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, để khi giảng dạy hay bồi dưỡng một vấn đề nào đó có thể tự xây dựng cho mình một hệ thống phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Lớp 9A, 9B có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp. Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới. Có thể nói sau khi học xong các kiến thức về căn thức học sinh còn rất nhiều lúng . Như chúng ta đã biết các kiến thức về căn thức ,đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán , nhưng sự vận dụng của các em phần lớn là chưa tốt, còn nhiều em chưa biết vận dụng kiến thức vào giải toán. Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho giải toán về căn thức như quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế, một số công thức vế luỹ thừa, thực hiện phối các phép toán về cộng trừ nhân chia phân số , các hằng đẳng thức ,quy đồng , phân tích thành nhân tử , rút gọn phân thức chưa thành thạo chính vì vậy các em đều hấp tấp, hay sai và nhầm lẫn khi giải các bài tập dạng này.
Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm,đối phó chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô.
 	 Đứng trước thực trạng này tôi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học toán hơn .Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng 
đắn với tình trạng và sức học của học sinh trường tôi hiện nay.
 Chính vì vậy sau khi dạy xong kiến thức về căn thức, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Quảng Định và thu được quả như sau:
Lớp
Số HS được khảo sát
Số học sinh giải được
Số HS biết hướng nhưng không giải được
Số HS không thể giải được
SL
%
SL
%
SL
%
9A
40
8
2
10
25
22
55
9B
42
6
14,3
12
28,6
24
57,1
Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. Chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số giải pháp để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải bài tập về dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai .
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
Giải pháp 1: Hệ thống , củng cố và khắc sâu một số công thức biến đổi về căn bậc hai:
a. Kiến thức : ( Cơ bản) 
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a≥0, có ; với a bất kỳ có )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : ”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : 
= | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
 ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
 ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
 ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
 ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
 ( với A, B là biểu thức và B > 0)
 (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2 )
 ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
b. Hệ thống bài tập củng cố :
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu : 
Gợi ý:
Gợi ý :
Gợi ý :
Bài 2: Rút gọn biểu thức : 
Bài làm : 
Bài 3: Thực hiện phép tính : 
 Ta có 
 Vậy A = :==4-
c. Yêu cầu đối với giáo viên khi thực hiện giải pháp:
- Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, yêu cầu phù hợp với nhận thức của từng đối tượng học sinh.
- Thường xuyên kiểm tra việc ghi nhớ và vận dụng công thức của HS.
- Xây dựng kế hoach phụ đạo ngay trong các giờ học đối với những học sinh mất gốc , giúp đỡ các em tiến bộ từng bước. 
Giải pháp 2: Cho học sinh phát hiện những chỗ sai trong các lời giải sai, và phân tích nguyên nhân , từ đó đưa ra biện pháp để khắc phục : 
1. Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a.
Ví Dụ: 
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng.
	 + HS giải:
	 = 13 
	 số 169 có 2 căn bậc hai được viết là = 13 và = -13 (!)
	+ Cách giải đúng là: 
	Căn bậc hai số học của 169 là: = 13, còn căn bậc hai của 169 là: = 13; - = - 13 .
	- Nguyên nhân: 
	Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này.
	- Biện pháp khắc phục: 
	+ GV cần yêu cầu HS nắm vững : Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
	+ Khi nói đến ta phải có: a0 và 0, nghĩa là không thể âm. Vì vậy không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là = 13 và = - 13.
2. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
	Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: A = ( Với a < 0 )
	+ HS giải:
	A = = ( với a < 0 ) (!)
	+ Cách giải đúng là:
	 A = = ( với a < 0 )
	- Nguyên nhân: 
	HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu thì a<0 thì 
	- Biện pháp khắc phục:
	+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
	+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
3. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: 
Ví dụ1: 
	Tìm x, biết: 
	+ HS giải:
	Vì nên ta có: 3x = 12 x = 4.
	+ Cách giải đúng là: 
	Vì nên ta có:
	 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ2: 
	Rút gọn biểu thức: 
	+ HS giải:
	HS1: 
	HS2: 
	+ Cách giải đúng là: 
Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “ Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
	Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 
	Ta có : hay (1)
	Lấy căn bậc hai hai vế ta được: 
	 Do đó: 
	Từ đó : 	
	Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
	HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: chứ không thể có a-b = b-a.
	- Nguyên nhân: 
	HS chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá trị tuyệt đối của một số âm.
	- Biện pháp khắc phục:
	Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS nắm rõ hằng đẳng thức , với mọi biểu thức A; cũng cố và mở rộng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
	 = 
Giải pháp 3: Chỉ ra những khó khăn và vướng mắc của học sinh khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa cân bậc hai . Từ đó đưa ra biện pháp khắc phục .
1. Khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương hay lập phương của một biểu thức.
Ví dụ 1:Tính ; 
	Để giải quyết vấn đề trên HS cần vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến đổi biểu thức và dưới dạng bình phương , lập phương của một biểu thức.
	Trong các hằng đẳng thức :
học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng trên.
; 
Ví dụ 2: 
	Chứng minh : 
	HS dễ dàng biến đổi 
	Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng thức và khả năng tính toán )
Ví dụ 3: 
	Chứng minh 
	Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính là một điều khó ! Để tính nhanh và không nhầm lẫn. GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi như sau:
	 Đối với biểu thức có dạng:
	 với a,b 0 và x = a + b thì 	- Đối với biểu thức có dạng:
 với a,b 0 và x = a2 + b thì 
	Áp dụng:
	Bài 1: Tính 	
	Bài 2: Tính 
	Bài3: Tính 	
	Bài 4: Tính 
	Bài 5: 
	Chứng minh: 
	Ta có :
	Vế trái: 
2 . Vướng mắc khi HS thực hiện các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai
 Ví dụ 1: 	
	Rút gọn biểu thức sau: 
	+HS giải: 
	+ Cách giải đúng là:
	- Nguyên nhân:
	Sai lầm ở chỗ HS xác định chưa đúng các căn thức đồng dạng , còn nhầm lẫn giữa thu gọn căn thức đồng dạng và nhân các căn thức .
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV cần nhấn mạnh ta chỉ thực hiện được phép cộng ,trừ đối với các căn thức đồng dạng và không đối với các căn thức không đồng dạng , để HS khắc sâu mà tránh những sai sót.
3. HS gặp vướng mắc khi không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1: 
	Có HS viết: 
	+ Vì và 
	 nên 	 (!)	
	+ Vì và nên 	 Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 
	+ HS giải: 
Ví dụ 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 NXBGD – trang 18).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	+ HS giải:
	Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để xác định mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào mà biến đổi 
	 Vậy 	
	+ Cách giải đúng:
	 xác định khi . Do đó: 
	- Nguyên nhân:
	+ Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để tồn tại.
	+ HS chưa nắm rõ các điều kiện ,quy tắc khi thực hiện nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi dạy GV cần khắc sâu và đưa ra phản VD để học sinh khắc phục được sai xót :
	Điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai.	
	Điều kiện để có nghĩa .
	Điều kiện để 
	4. Khó khăn của học sinh vận dụng vận dụng căn bậc ba , chưa tìm ra điểm khác biệt giữa căn bậc ba và căn bậc hai .
	Ví dụ 1: 
	Giải phương trình: 	(2)
	+ HS giải: 
	Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!)
	+ Cách giải đúng là: 
	 hoặc hoặc .
	Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: 
	- Nguyên nhân:
	+ HS quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số 
	+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
	- Biện pháp khắc phục:
Khi giảng phần này GV cần cho HS nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số ; căn bậc hai số học của một số và căn bậc ba của một số a.
	5. Vướng mắc của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình.
Ví dụ 1: Rút gọn: ( với )
	 +HS giải :
	 + Cách giải đúng là : 
	Với . Ta có:
Ví dụ 2: 
	Rút gọn biểu thức: 
	+HS giải :
	+ Cách giải đúng là: 
	 . Điều kiện để M xác định là: x < 0.
	 Khi đó:
Ví dụ 3: 
	Giải phương trình : (*)
	+ HS giải :
	 (*) 
	Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = -2 (!)
	+ Cách giải đúng là :
	 (*) 
	Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5.
	Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:	
	+ HS giải : 
	+ Cách giải đúng là :
	Đk để M xác định: ; . Ta xét hai trường hợp:
	* ; y < 0 .
	* ; y>0.
	Vậy: 	nếu ; y0 thì 
	- Nguyên nhân: 
	HS năm chưa vững quy tắc với , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
 	HS thiếu thận trọng khi làm toán chứa căn bậc hai.
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi dạy GV cần yêu cầu HS nắm vững và đưa ra phản ví dụ bằng số cụ thể để học sinh tự tháo gỡ vướng mắc trong quá trình biến đổi :
	+ với 
	+ 
	+ tồn tại khi 
	+ , 
	+ Nếu , B > 0 thì 
	6. Vướng mắc khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương.
Ví dụ 1: Giải các bài tập sau:
	Tính:	a. ;	b.
	+ HS giải:
	a. (!)
	b. (!)
	+ Cách giải đúng là:
	a. 
	b. 
Ví dụ 2: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
	+ HS giải :
	a. 
	b. 
	hoặc	 
	hoặc 
	hoặc 
	hoặc 
	c. 
	hoặc	 	 	 
	d. 
	hoặc	 
	- Cách giải đúng là
	a, 
	b,
	c,	
	d,
	.
	 	(với và )
	- Nguyên nhân:
	+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ ” tương tự như ( với và ) để tính .
	+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương.
	+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức.
	+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: 
	- Biện pháp khắc phục, khi dạy:
	+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng tương tự như ( với và ) .
	+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
	+ Cần khắc sâu các công thức:
	, với B > 0
	, với và 
	, với và 	
Giải pháp 4: Rèn các kỹ năng biến đổi cơ bản :
Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử , kỹ năng bỏ ngoặc , kỹ năng xử lý về dấu , kỹ