SKKN Một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
2
 1. Lý do chọn đề tài
2
 2. Mục đích nghiên cứu 
2
 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 
3
 4. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
 5. Các phương pháp nghiên cứu
3
II. NỘI DUNG:
3
 1. Cơ sở lý luận
3
 1.1. Nguyên hàm 
3
 1.2. Tích phân
4
 2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
 3. Giải pháp giải quyết vấn đề
5
 Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'x=hx. fnx, n ∈N*
5
 Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức 
 fnx.f'x=h(x) 
8
 Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng 
 U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
9
 Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng 
 f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
11
 Một số dạng khác 
15
 Bài tập vận dụng
17
 4. Kết quả thực hiện
18
 4.1. Kết quả vận dụng của bản thân
18
 4.2. Triển khai trước tổ bộ môn 
19
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
19
 1. Kết luận
19
 2. Kiến nghị
20
I.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết ,học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số kĩ năng mới mà khi thi tự luận chưa được khai thác . Chẳng hạn, trước đây thi tự luận khi dạy phần tích phân giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn cách học sinh vận dụng các phương pháp tính tích phân để tính các tích phân. Ví dụ, tính các tích phân sau:
a. 12x.lnx+1dx
b. 01x.exdx
c.0333x-1dx
Khi thi tự luận gặp các bài toán này học sinh phải trình bày được các bước để dẫn đến kết quả đúng . Nhưng khi thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, với những bài toán kiểu như thế này thì học sinh chỉ cần sử dụng máy tính cầm tay hoàn toàn có thể chọn được một đáp án đúng mà không cần phải biết cách tìm tích phân đó như thế nào. Đó chính là lý do quan trọng nhất mà người ra đề thi phải thay đổi hình thức ra đề để hạn chế tối đa việc sử dụng máy tính vào việc giải quyết các bài toán. Việc sử dụng máy tính cầm tay chỉ hỗ trợ một phần nào đó thôi, quan trọng các e vẫn phải nắm được bản chất của bài toán thì mới làm được. Vì vậy hệ thống bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn gần như còn mới và lạ đối với cả giáo viên và học sinh. Bằng những kinh nghiệm giảng dạy trên lớp và dạy bồi dưỡng tôi đã rút ra cho mình một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn . Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài "
2.Mục đích nghiên cứu:
Thông qua đề tài này giúp cho người đọc, đặc biệt là học sinh nhận thấy được có một số bài toán về tích phân không thể dùng máy tính để chọn được đáp án đúng. Từ đó giúp các em biết cách nhận biết và giải quyết một số bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn một cách nhanh chóng và hiệu quả cao trong các kì thi đặc biệt là trong các kì thi THPTQG ở các năm sau.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tập trung vận dụng lý thuyết về nguyên hàm và tích phân trong SGK Giải tích 12 để giải quyết một số dạng bài tập về tích phân có liên quan đến hàm ẩn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết, trên cơ sở đó phân dạng các bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn. Giúp học sinh nhận dạng và giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất.
5.Các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm vào các dạng bài tập được sắp xếp và phân chia một cách hợp lý.
II. NỘI DUNG :
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Nguyên hàm:
1.Định nghĩa:
+) F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), ∀x∈K
+) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K thì F(x) + C (C là một hằng số bất kì) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và được kí hiệu: fxdx=Fx+C
2. Tính chất:
+) f'xdx=fx+C
+) k.fxdx=kfxdx , ∀k≠0
+) f(x)±g(x)dx=fxdx±gxdx
+) mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
0.dx=C
axdx=axlna+C
dx=x+C
cosxdx=sinx+C
x∝dx=x∝+1∝+1+C ∝≠-1
sinxdx=-cosx+C
1xdx=lnx+C
1cos2xdx=tanx+C
exdx=ex+C
1sin2xdx=-cotx+C
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a. Phương pháp đổi biến số:
fux.u'xdx=Fux+C
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
ux.v'xdx=ux.vx-vx.u'xdx
Hay u.dv=uv-vdu
1.2. Tích phân:
1. Định nghĩa:
abfxdx=Fx|ab=Fa-F(b)
( Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])
2. Tính chất:
+) abfxdx=-bafxdx
+) abkfxdx=kabfxdx ( k là hằng số)
+) abf(x)±g(x)dx=abfxdx±abgxdx
+) abfxdx=acfxdx+cbfxdx
+) abf2xdx=0=>fx=0
3. Các phương pháp tính tích phân:
a. Phương pháp đổi biến số:
abfxdx=∝βfφt.φ'tdt
b. Phương pháp tính tích phân từng phần:
abux.v'xdx=ux.v(x)|ab-abvx.u'xdx
Hay abu.dv=u.v|ab-abv.du
2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Phần kiến thức về tích phân là một nội dung không thể thiếu trong cấu trúc đề thi THPTQG. Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, nhiều bài toán tích phân học sinh có thể dùng máy tính để chọn được được đáp án đúng mà không cần biết cách giải như thế nào. Nắm được khe hở đó từ năm 2017-2018 người ra đề thay đổi cách thức ra bài toán hạn chế việc sử dung máy tính chọn đáp án đúng. Vì vậy trong các đề sau này xuất hiện một số bài tập về tích phân liên quan đến hàm ẩn,đây là một dạng bài tập mới lạ đối với các em nên các em sẽ thấy bở ngỡ và khó khăn. Chính vì vậy đề tài này được đưa ra nhằm giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết một cách hiệu quả các dạng bài tập này.
3.Giải pháp để giải quyết vấn đề:
Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'x=hx. fnx, n ∈N* 
Phương pháp:
Nếu n = 1: Ta có f'x=hx.fx↔f'xfx=hx →lnfx=hx.dx 
Nếu n > 1: Ta có : f'x=hx.fnx↔f'xfnx=hx→11-n.fn-1x=hx.dx
Ví dụ 1: 
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn các điều kiện: 
fx>0,∀x∈R, f'x=-ex.f2x,∀x∈R và f0= 12 . Tính f(ln2)
A. 29 B.-29 C.23 D.13
Giải: 
Từ f'x=-ex.f2x↔-f'xf2x=ex→1fx=ex.dx=ex+C
Tại x = 0 ta có: 1f(0)=e0+C→C=1
Tại x = ln2: 1f(ln2)=eln2+1→fln2=13 . Vậy ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2:
Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định và liên tục trên R, thỏa mãn: fx>0,∀x∈R, f'x=x.fx2,∀x∈R và f0=2.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số (C).
A. y = 6x+ 30 B. y = -6x + 30 C. y = 36x - 30 D. y = -36x + 42
Giải: 
 f'x=x.f(x)2↔-f'xf2x=-x2→1fx=-x2.dx=-13x3+C
Tại x = 0: 1f(0)=C→C=12→1f(x)=-x33+12→fx=1-x33+12
Tại x = 1: f(1) = 6 và f’(1) = 36
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y = 36x - 30
Vậy chọn đáp án: C
Ví dụ 3:
 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0;+∞, thỏa mãn:
f'x+2x+4.f2x=0,fx>0,∀x∈R và f2=115.
Tính f(1) + f(2) + f(3)
A.715 B.1115 C.1130 D. 730
Giải:
 f'x+2x+4.f2x=0↔-f'xf2x=2x+4→1fx=2x+4.dx=x2+4x+C
Tại x = 2: 1f(2)=12+C→C=3
Tại x = 1: 1f(1)=8→f1=18
Tại x = 3: 1f(3)=24→f3=124
Suy ra : f1+f2+f3=18+115+124=730
Vậy ta chọn đáp án: D
Ví dụ 4: 
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
fx≠0,∀x∈R, f'x=2x+3.f2x và f0= -12 .
Tổng: f1+f2+f2018=ab, a∈Z,b∈N*và ab là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. ab1 C. a + b = 1010 D. b - a = 3029
Giải
f'x=2x+3.f2x↔-f'xf2x=-2x+3→1fx=-2x+3.dx=-x2+3x+C
Tại x = 0: 1f(0)=C→C=-2
Tại x = 1: 1f1=-6→f1=-16=-12-13
Tại x = 2:1f(2)=-12→f2=-112=-13-14
Tại x = 3: 1f(3)=-20→f3=-120=-14-15
.........
Tại x = 2018: 1f(2018)=-4078380→f2018=-14078380=-12019-12020
f1+f2++f2018=-12-12020=-10092020
Suy ra: b - a = 3029
Vậy chọn đáp án : D
Ví dụ 5:
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên 0;+∞, thỏa mãn: fx=f'x.3x+1, ∀x>0 và f1=1 . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. 4<f(5)<5 B. 2<f(5)<3 C. 3<f(5)<4 D. 1<f(5)<2.
Giải: 
fx=f'x.3x+1↔f'(x)f(x)=13x+1→lnfx=13x+1.dx=2.3x+13+C
Tại x = 1: lnf1=43+C→C=-43
Tại x = 5: lnf5=43→f5=e43≈3,79→3<f5<4
Vậy chọn đáp án: C
Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức fnx.f'x=h(x)
Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế ta đươc:
fn+1x=hx.dx
Ví dụ 1:
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện: f’(x).f(x) = x4+x2 và f(0) = 2. Tính f2(2)
A.31315 B. 33215 C.32415 D. 32315
Giải:
 Ta có: f'xfxdx=x4+x2dx12f2x=x55+x33+c
Mà f(0) = 2 =>12f20=c=>c=2
Vậy f2x=25x5+23x3+4=>f22=33215.
Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 2: 
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện: f6x.f'x=12x+13, f0=2. Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm.
A. 2 B. 3 C.7 D. 1
Giải: Ta có:
 f6xf'xdx=12x+13dxf7x=6x2+13x+C
Mặt khác: f(0) = 2 nên C= 128
Xét pt: fx=3 f7x=376x2+13x+128=2187
6x2+13x-2059=0
Suy ra pt có 2 nghiệm nên chọn đáp án A
Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
 U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Phương pháp: từ gt ta có (U(x).f(x))’= h(x)
Lấy đạo hàm hai vế ta được: U(x).f(x) = hxdx
Ví dụ 1:
 Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R và thỏa mãn: (x+1).f’(x)+f(x) = 3x2 - 2x , f(1) = -1. Tính f(2)
A.2 B. 23 C. 3 D. 52
Giải: Từ gt ta có 
 ((x+1).f(x))’ = 3x2-2x=>x+1.fx=3x2-2xdx=x3-x2+C
Mà f(1) = -1 nên C = 2.f(1) = -2
Tại x = 2 ta có: 3.f(2) = 2 nên f(2) = 2/3
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 2:
 Cho hàm số y = f(x) xác định, có đạo hàm trên (0;+∞) va thỏa mãn: f'x+f(x)x=4x2+3x (1), f(1) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 2 là:
A. y = 16x + 20 B. y = -16x+ 20 C. y = -16x -20 D. y = 16x - 20
Giải: 
Từ (1)x.f'x+fx=4x3+3x2x.fx'=4x3+3x2
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: 
x.fx= 4x3+3x2dx=x4+x3+C
Mà f(1) = 2 nên C = 0. Vậy : fx=x3+x2
Tại x = 2: f(2) = 12, f’(2) = 16 nên pttt là: y = 16(x-2)+12 hay y = 16x-20
Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 3:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
 sinx.f’(x) + cosx.f(x) = 2x - 1 . Tính: f(π2).
A. π2+2π4 B. π2-2π4 C. 2π-π24 D. π2-π2
Giải:
 Từ gt ta có: (sinx.f(x))’=2x - 1
→sinx. fx=2x-1.dx=x2-x+C
Mặt khác với x = 0 ta có: sin0.f(0) = 0 +C suy ra C = 0
Với x=π2→sinπ2.fπ2=(π2)2-π2→fπ2=π2-2π4
Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 4: 
 Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
x2+1.f'x+2x.fx=-x (1) và f(0) = 2. Tính f(3)
A. -14 B. 14 C. 12 D. -12
Giải: 
Từ (1) ta có:
 x2+1.fx'=-x→x2+1.fx=-x.dx=-x22+C 
Mặt khác : f(0) = C = 2
Tại x = 3: 10.f(3) = -52→f3=-14. Vậy chọn đáp án A
Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
 f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Phương pháp : Nhân cả hai vế với epx.dx ta được:
ePx.dx.fx+ePx.dx.Px.fx=ePx.dx.h(x)
↔ePx.dx.fx'=ePx.dx.h(x)
→ePx.dx.fx=ePx.dx.hx.dx
Ví dụ 1 : 
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f(x) + f’(x) = sinx, ∀x∈R (1) và f(0) = 1. Tính: eπ.f(π)
A. eπ-12 B. eπ+12 C. eπ+32 D. π+12
Giải: dễ dàng nhận thấy:
 P(x) = 1 →Px. dx= dx=x→ePx.dx=ex
Nhân cả hai vế với ex ta được: 
ex.fx+ex.f'x=ex.sinx
↔ex.fx'=ex.sinx
→ex.fx=ex.sinx.dx=12ex.sinx-ex.cosx+C
Tại x = 0: e0.f0=12e0.sin0-e0.cos0+C→C=32
Tại x=π: eπ.fπ=12eπ.sinπ-eπ.cosπ+32= eπ+32
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2 :
 Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f'x=fx+ x2.ex+1, ∀x∈R, (1) và f(1) = -1.Tính: f(3).
A. 26.e3+33 B. 26.e3-33 C. 9.e3+1 D. 9.e3-1
Giải:
Từ (1) : f'x-fx=x2.ex+1 (2)
 Nhận thấy: P(x) = -1→ePx.dx=e-dx=e-x
Nhân hai vế của (2) với e-x ta được:
e-x.f'x-e-x.fx=x2+e-x
↔e-x.fx'=x2+e-x
→e-x.fx=x2+e-x.dx=x33-e-x+C
Tại x = 1: e-1.f1=13-e-1+C→C=-13
Tại x = 3: e-3.f3=9-e-3-13→f3=26.e3-33
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 3:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
x+2.fx+x+1.f'x= ex,∀x∈R, 1và f0= 12
Tính f(2). 
A. e3 B. e6 C. e32 D. e26
Giải: 
Từ (1) ta có: f'x+x+2x+1.fx=exx+1 (2)
Nhận thấy : Px= x+2x+1→ePx.dx=ex+2x+1.dx=ex+ln⁡(x+1)=x+1.ex
Nhân cả hai vế của (2) với x+1.ex ta được:
x+1.ex.f'x+x+2.ex.fx=e2x
↔x+1.ex.fx'=e2x
→x+1.ex.fx=e2x.dx=e2x2+C
Tại x = 0: e0.f0=e02+C→C=0
Tại x = 2: 3.e2.f2=e42→f2=e26
Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 4:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 0;π3, thỏa mãn:
f’(x).cosx + sinx.f(x) = 1 ,∀x∈0;π3 (1) và f(0) = 1. Tính: I=0π3fx.dx
A. 3+12 B. 3-12 C. 12 D. 12+π3
Giải: 
Từ (1) ta có: f'x+sinxcosx.fx=1cosx (2)
Nhận thấy:
 Px=sinxcosx→ePx.dx=esinxcosx.dx=e-d(cosx)cosx=e-ln⁡(cosx)=1cosx
Nhân cả hai vế của (2) với 1cosx ta được: 
1cosx.f'x+sinxcosx2fx=1cosx2
↔1cosx.fx'=1cosx2
→1cosx.fx=1cos2x.dx=tanx+C
Tại x = 0: 1cos0.f0=tan0+C→C=1→fx=sinx+cosx
I= 0π3sinx+cosx.dx=0π3sinx.dx+0π3cosx.dx=3+12
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 5:
 Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R\{0;-1} và thỏa mãn:
xx+1f'x+fx=x2+x (1) và f1=-2.ln2. 
 Giá trị f(2) = a + b.ln3, (a,b∈R). Tính: a2+b2
A. 254 B. 92 C. 52 D. 134
Giải:
Từ (1) f'x+1x.x+1fx=1 (2)
Nhận thấy: Px=1xx+1→ePx.dx=e1x.x+1dx=e1x-1x+1dx=
=elnx-ln⁡x+1=xx+1
Nhân hai vế của (2) với xx+1 ta được:
xx+1.f'x+1x+12.fx=xx+1
↔xx+1.fx'=xx+1
→xx+1.fx=xx+1.dx=1-1x+1.dx=x-lnx+1+C
Tại x = 1: 12.f1=1-ln2+C→C=-1
Tại x = 2: 23.f2=2-ln3-1→f2=32-32ln3→a=32 , b= -32
→a2+b2=92
Vậy chọn đáp án B
Một số dạng khác
Ví dụ 1:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn:
x2.f2x+2x-1.fx=x.f'x-1, ∀x∈R{0} (1) và f(1)=-2
Tính: I=12fx.dx
A. -12-ln2 B. -32-ln2 C. -1-ln22 D. -32-ln22
Giải:
 Từ (1) x2.f2x+2xfx-fx=x.f'x-1
↔x2.f2x+2x.fx+1=fx+x.f'(x)
↔x.fx+12=fx+x.f'(x)
↔fx+x.f'(x)xfx+12=1→1x.fx+1'=-1
→1x.fx+1=-dx=-x+C
Tại x = 1: 11.f1+1=-1+C→C=0
→1x.fx+1=-x→fx=-1x-1x2
I=12fx.dx=12-1x-1x2.dx=-12-ln2
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 2:
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và 
f(x) ≠0, ∀x∈4;8 và thỏa mãn: 48f'(x)2f(x)4.dx=1 và f4=14,f8=12
Tính: f(6).
A.58 B. 23 C. 38 D. 13
Giải:
Ta có 48f'(x)f2(x)dx=48-1fx'dx=1f4-1f8=2
Giả sử k là một số thực thỏa mãn: 48f'(x)f2(x)+k2dx=0
↔48(f'(x)2f(x)4+2k.f'(x)f(x)2+k2).dx=0
↔48f'(x)2f(x)4dx+2k48f'(x)f(x)2dx+k2.48dx=0
↔1+2k.2+k2.4=0↔k=-12
Tức: 48f'(x)f(x)2-122dx=0↔f'(x)f2(x)=12→46f'(x)f2(x)dx=4612dx=1 (a)
Mặt khác: 46f'(x)f2(x)dx=46-1fx'.dx=1f4-1f(6) (b)
Từ (a) và (b) suy ra : f(6) = 13
Vậy chọn đáp án D.
Chú ý: abfx.dx=0 thì không suy ra được fx=0 nhưng 
abf2kxdx=0↔fx=0
Bài tập vận dụng:
Câu 1(Đại học Vinh lần 2- 2018) : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên [1;2] thỏa mãn: f(1) = 4 và fx=x.f'x-2x3-3x2.
Tính: f(2)
A. 5 B. 20 C. 10 D. 15
Câu 2(Quỳnh Lưu 1- Nghệ An - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn: f'x+2x.fx=2x.e-x2 và f(0) = 1. Tính: f(1).
A. e B.1e C. -2e D. 2e
Câu 3(Cẩm Bình - Hà Tĩnh - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn: x.f'x-x2.ex=f(x) và f(1) = e. Tính:
I=12fx.dx
A. e2-2e B. e C. e2 D. 3.e2-2e
Câu 4(SGD Bắc Ninh) : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạohàm tại ∀x∈0;+∞ và thỏa mãn: f(x) = x.(sinx + f’(x)) + cosx và
π23π2fx.sinxdx=-4
Khi đó fπ nằm trong khoảng nào?
A. (6;7) B. (5;6) C. (12;13) D. (11;12)
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;π2 đồng thời thỏa mãn:
 fx+tanx.f'x=xcos3x biết 3.fπ3-fπ6=aπ3+bln3
Trong đó a,b∈R. Tính giá trị của biểu thức: P = a + b.
A. 149 B. -49 C. 79 D. -29
Câu 6: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn 
01fxdx=1, f(1) = cot1. Tính tích phân 
I = 01fxtan2x+f'xtanxdx
A. 1 - ln(cos1) B. 0 C. 1 - cot1 D. -1
Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], f(x) và f’(x) đều nhận giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn: f(0) = 2, 
01f'x.f2x+1dx=201f'x.fxdx. Tính 01f3xdx
A. 154 B.152 C. 172 D.192
Câu 8: Cho fx=xcos2x trên -π2;π2 , F(x) là một nguyên hàm của x.f’(x) thỏa mãn: F(0) = 0. Biết a∈-π2;π2, thỏa mãn: tana = 3. Tính
Fa-10a2+3a
A. -12ln10 B. -14ln10 C. 12ln10 D. ln10
Câu 9: Cho hai số a, b thỏa mãn: F(x)= ax+bx+4, (4a-b≠0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn: 2.f2x=Fx-1.f'(x). Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất ?
A. a= 1, b = 4. B. a= 1, b = -1. 
 C. a=1, b∈R\4 D. a∈R, b∈R.
Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên [0;+∞) và thỏa mãn: 3.fx+f'x=1+3.e-2x. Tính: e3.f1-f(0)
A. 1e2+3-12 B. 12.e2+3-14 C. e2+3e2+3-83 D.e2+3e2+3- 8.
4.Kết quả thực hiện: 
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân:
Tôi đã thực hiện việc giảng dạy mảng kiến thức này trong hai năm gần đây với mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hay các khóa học khác nhau. Đề tài đã được thực hiện khi tôi tham gia giảng dạy môn toán của lớp 12A1 trường THPT Ngọc Lặc, trong quá trình giảng dạy học sinh dễ dàng tiếp nhận kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt . Kết quả học sinh cảm thấy tự tin và hứng thú khi gặp các dạng toán này.Qua các bài kiểm tra về phần này và các đề thi thử THPTQG nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và kết quả tốt. Cụ thể như sau:
Lớp 12A1 năm học 2018-2019 (Sỉ số 41)
G
K
TB
Y
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
20
48,1
21
51,9
0
0
0
0
0
0
4.2. Triển khai trước tổ bộ môn: 
Tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi và rút kinh nghiệm, đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh, giúp các em hiểu sâu, nắm vững và tự tin hơn khi đứng trước các bài toán tích phân liên quan đến hàm ẩn. 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận: 
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán tích phân nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán. 
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. .Tuy nhiên, vẫn còn một số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập. 
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu . Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên. 
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
2. Kiến nghị:
Đối với tổ chuyên môn : 
Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung tích phân, đặc biệt là các dạng bài mới lạ liên quan đến tích phân. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng. 
Đối với trường : 
 Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán. 
Đối với ngành giáo dục : 
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
Đào Quỳnh Giao