SKKN Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân

1. MỞ ĐẦU
 Lí do chọn đề tài
Trong năm học qua, đây là năm đầu tiên thi đại học toán bằng trắc nghiệm. Đối với các câu hỏi về nguyên hàm tích phân, có rất nhiều câu hỏi liên quan đến việc vận dụng các công thức cơ bản của phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần mà học sinh không thể sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả. Thực tế nhiều em phản ứng không nhanh đối với các dạng câu hỏi này. Để giúp các em tự tin, tiếp cận và nâng cao năng lực giải toán trắc nghiệm tích phân, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân”.
 Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh nhận dạng, giải nhanh một số dạng tích phân bằng phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Bồi dưỡng cho học sinh các kĩ năng của toán học, nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo của bản thân trong học toán nói chung và nâng cao khả năng giải bài toán tích phân trong các đề thi THPT Quốc gia nói riêng.
Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp sử dụng phép biến đổi vi phân, phương pháp tích phân từng phần, ứng dụng tích phân vào các bài toán thực tế.
Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu và viết đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin, đàm thoại, vấn đáp ( nghiên cứu phân phối chương trình, lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết ( nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, chuyên môn liên quan đến đề tài.)
Phương pháp thống kê và xử lí số liệu ( tiến hành thực hiện đề tài trên một số lớp giảng dạy, phân tích và đánh giá kết quả đề tài qua việc thống kê và xử lí số liệu bài kiểm tra).
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Toàn nghành giáo dục hiện nay đã và đang thực hiện nhiệm vụ học tập và giảng dạy với phương pháp dạy học tích cực lấy người học là trung tâm. Các em học sinh tiếp thu tri thức, phát triển bản thân trở thành chủ thể tích cực, sáng tạo. Các em biết vượt qua khó khăn, sự thiếu tự tin( sợ sai), hứng thú tiếp cận tri thức, biết dựa trên kiến thức đã biết, tìm hiểu, khai thác, sáng tạo tìm ra những vấn đề mới. Các em có khả năng tự học, tự nghiên cứu và tìm ra kiến thức dựa trên những kĩ năng toán học như đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa,..
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
-Đặc điểm tình hình của nhà trường.
Trường THPT Bỉm Sơn là trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích trong công tác giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng như ôn thi đại học với thế mạnh là các môn tự nhiên. Trường có đội ngũ giáo viện giỏi, nhiệt tình, tâm huyết với công tác chuyên môn, Các em học sinh đa phần là ngoan, chịu khó, thông minh với khả năng tư duy tốt.
 Thực trạng của vấn đề “ Một hường giải nhanh trắc nghiệm về tích phân” tại trường THPT Bỉm Sơn là:
 Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vứng bản chất các phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dung phương pháp tích phân từng phần.
Về kỹ năng: Học sinh chưa biết cách tính nhanh các bài toán tích phân, thay vào đó lại quá lạm dụng máy tính dẫn đến thiếu sáng tạo trong quá trình giải.
 Cụ thể: trong đề kiểm tra kiến thức về nguyên hàm tích phân ở hai lớp ( THPT Bỉm Sơn, năm học 2013-2014) có các bài toán:
 Đề 1: 
 Câu 1: Cho . Tính 
 Câu 2: Tính tích phân . 
 Đề 2: 
 Câu 1: Tính tích phân 
 Câu 2: Tính tích phân . 
 Qua khảo sát 86 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
Số bài
Không làm được câu nào
Làm được cả 2 câu
Chỉ làm được câu 1
Chỉ làm được câu 2
Đề 1
42
25 (59,52%)
9 (21,43%)
7 (16,67%)
1 (2,38%)
Đề 2
46
27 (58,70%)
11 (23,91%)
6 (13,04%)
2 (4,35%)
 Qua kết quả bài làm và thời gian giải bài tập của các em, bộc lộ những nhược điểm sau:
 * Chưa nhận dạng: nếu thì cũng có quy tắc tương ứng .
 * Chưa nhận biết được , với thường là các hàm dễ tìm được nguyên hàm, xuất hiện trong bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
 * Chưa áp dụng được ngay công thức tích phân từng phần.
 Để giúp các em có kỹ năng giải và tính nhanh các bài tập về nguyên hàm tích phân, tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân” 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 2.3.1. Giải pháp tổ chức thực hiện 
 - Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản, liên quan mà học sinh cần sử dụng.
 - Yêu cầu học sinh nhận diện dạng toán thông qua ví dụ, phân tích hình thành phương pháp giải.
 - Đưa ra các bài toán mới để học sinh củng cố kiến thức và kĩ năng. Học sinh phân tích, trình bày lời giải. Hướng dẫn các em hình thành, sáng tạo bài toán tương tự. 
- Áp dụng kĩ năng đặc biệt hóa, hướng dẫn các em sáng tạo bài toán mới.
Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành ba phần dạy cho học sinh vào ba buổi, mỗi buổi ba tiết.
2.3.2 Hệ thống các kiến thức cơ bản.
a) Phép tính vi phân.
Nếu hàm số f có đạo hàm f’ thì tích gọi là vi phân của hàm số . Kí hiệu hay .
b) Sự tồn tại nguyên hàm.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
c) Một số phương pháp tính tích phân.
* Phương pháp đổi biến số:
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây: , trong đó hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
* Phương pháp tích phân từng phần.
Cơ sở của phương pháp là công thức sau: , trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K.
2.3.3 Sử dụng phép biến đổi vi phân để tính tích phân có dạng 
* Để học sinh vận dụng thành thạo công thức: , tác giả không đưa ngay ra ví dụ minh họa. Trước khi cho các em luyện tập, cần hướng dẫn các kỹ năng sau:
a) Viết lại hàm số cần tìm nguyên hàm về dạng , và nhận dạng hàm số .( thường là các hàm số dễ tìm được nguyên hàm, xuất hiện trong bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp).
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 
1) . Ta có , trong hai hàm và thì hàm số dễ tìm được nguyên hàm. Vậy 
2) . Ta có , trong hai hàm và x thì hàm số x dễ tìm được nguyên hàm. Vậy 
3) . Ta có , trong hai hàm và thì hàm dễ tìm được nguyên hàm. Vậy .
b) Kỹ năng biến đổi 
Vídụ: 
c) Kỹ năng chuyển đổi nguyên hàm của hàm số sơ cấp sang nguyên hàm của hàm số hợp.
Ví dụ : 
d) Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho . Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là A.
Bài 2 : Cho . Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là A
Bài 3: Tính tích phân bằng cách đặt , mệnh đề nào dưới đây đúng:
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là C.
Bài 4: Cho . Tính bằng?
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là B.
Bài 5: Cho .Tính bằng?
A. B. - C. 2 D. 0
Hướng dẫn: Đáp án đúng là A.
Bài 6: Cho . Khi đó a bằng?
A. 2 B. -2 C. ln2 D. –ln2
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là A.
Bài 7: Cho . Khi đó b bằng?
A. 9 B. -1 C. 1 D. -9
Hướng dẫn: . Đáp án đúng là B
Nhận xét: Các bài tập minh họa trên đều rất khó có thể tìm đáp án đúng bằng máy tính, còn các em giải bằng phương pháp đặt thì giải sẽ mất thời gian đổi cận, tính du của tích phân hơn.
2.3.4 Phương pháp tích phân từng phần.
*Để học sinh vận dụng thành thạo công thức: ,(**) tác giả không đưa ra ví dụ minh họa. Trước khi luyện tập, cần lưu ý các em:
a) Phương pháp tích phân từng phần tỏ ra rất hiệu quả khi giải một số tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm khác nhau và thường là hàm số dễ tìm được nguyên hàm, đặc biệt tác giả khuyến khích các em trực tiếp vận dụng công thức (**) 
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 
Giải : 
b) Dấu hiệu nhận biết hàm 
Dạng tích phân
Hàm 
1) , trong đó là một đa thức, là một hàm số lượng giác.
2) , trong đó là một đa thức.
3) , trong đó là một hàm số lượng giác.
4) , trong đó là một đa thức, hoặc là một hàm số lượng giác.
1) Ta có 
2) Ta có 
3) Ta có hoặc 
4) Ta có 
c) Vì , công thức (**) có thể viết lại như sau :
, với c là hằng số bất kỳ và theo một “ thói quen” ta thường chọn . Nhưng đôi khi việc chọn lại làm cho khó tính toán. Vì c là hằng số bất kỳ nên căn cứ vào mỗi bài toán cụ thể, ta có cách xác định số c sao cho đơn giản dễ tính được.
Ví dụ 1: Tính .( Báo toán học tuổi trẻ, đặc san số 10) 
Nếu biến đổi thì sẽ làm xuất hiên ( giải mất thời gian hơn). Vì vậy, tác giả hướng dẫn các em theo cách :
 Ví dụ 2: Tính . Ta có :
	d) Bài tập minh họa.
Bài1 : Cho . Khi đó bằng
A. -32 B. 8 C. 4 D. 32
Hướng dẫn : . Đáp án đúng là B.
Bài 2: Biết , hãy tính giá trị của biểu thức .
A. B. C. D. 
(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-ĐT Quảng Nam)
Hướng dẫn: 
 . Vậy đáp án đúng là A.
Bìa 3 : Xét các mệnh đề sau :
(I) 
(II) 
(III) 
Số mệnh đề đúng là : A. 2 B. 0 C. 3 D. 1
(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Bắc Ninh)
Hướng dẫn : 
Vậy đáp án đúng là A.
Bài 4: Tính tích phân .
A. B. C. D. 
(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Quảng Ninh)
Hướng dẫn : 
Vậy đáp án đúng là D.
Bài 5: Biết . Giá trị của tích bằng:
A. 32 B. 2 C. 4 D. 12
(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-lần 3, THPT Quảng Xương I-Thanh Hóa)
Hướng dẫn: 
. Vậy đáp án đúng là A.
Bài 6 : Tính tích phân 
A. B. C. D. 
(Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD TPHCM)
Hướng dẫn : 
Vậy đáp án đúng là D.
Nhận xét : Đề tiết kiệm thời gian và nâng cao năng lực giải toán thì các em phải nắm vứng bản chất các phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh khi sử dung phương pháp tích phân từng phần.
2.3.5 Ứng dụng các bài toán tích phân qua các bài toán thực tê.
* Đề các bài toán tính tích phân ‘gần gũi’ hơn thưc tế , các môn học khác. Tác giả hướng dẫn các em lại các bài toán sau :
Bài 1 : Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian . Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thòi gian từ thời điểm a đến thời điểm b là .
Bài 2 : Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ . là diện tích thiết diện của , vuông góc với trục Ox tại . Thể tích V của vật thể được cho bởi công thức .
	* Bài tập minh họa.
 Bài 1.Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 30 km/h đến 40 km/h. Khi nhìn thấy chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc và dừng lại hẳn khi gặp chướng ngại vật. Hỏi người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao nhiêu mét.
	A. 10m.	B. 15m.	C. 20m.	D. 5m.
 Hướng dẫn: Ta có: . Từ lúc người điều khiển xe máy phanh đến khi dừng hẳn thì đã di chuyển trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 2.
Quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian đó là: 
Do đó, cần phanh trước cách chướng ngại vật ít nhất là 10m. Đáp án đúng là A.
 Bài 2 : Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16. Ông muốn trồng hoa trên mảnh đất rộng 8m, và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là : 100.đồng /1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó ?( số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
(Đề minh họa –lần 2-Bộ Giáo Dục và Đào tạo)
A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng
C. 7.128.000 đồng	D. 7.826.000 đồng
Hướng dẫn: Chọn câu B. Xét hệ trục Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình (E): . Khi đó số tiền cần dùng bằng: 7.653.000 đồng.
( Để tính được số tiền các em dùng máy tính thì sẽ nhanh hơn, không phải giải chi tiết bằng tự luận).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Thông qua tiến hành nghiên cứu các lóp 12 trong năm học này tôi đã thu được một số kết quả đó là đa số các em có tư duy toán học linh hoạt, sáng tạo giải nhanh trong các bài toán trắc nghiệm về tích phân. Có thể nói rằng, các em hoàn toàn chủ động, tích cực trong hoạt động học tập của mình và là trung tâm của quá trình giảng dạy của thầy, cô. Với cách thực hiện này, các em từng bước chinh phục được những đỉnh cao của kiến thức toán học .
	 Sau khi áp dụng ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân’ tôi đánh giá kết quả học tập của học sinh bằng điểm số. Tôi chọn lớp 12A2 làm lớp dạy thực nghiệm và lớp 12A1 làm lớp dạy học đối chứng. Kết quả sau khi kiểm tra được thống kê qua bảng sau :
Lớp
Sĩ số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
48
13
27
17
35.4
15
31,3
3
6,3
0
0
12A1
40
5
12,5
9
22,5
19
47,5
7
17,5
0
0
 Như vậy, qua quá trình dạy học thực nghiệm và kết quả thống kê cho thấy đề tài nghiên cứu có tính khả thi và áp dụng rộng rãi trong việc dạy học chủ đề ‘Nguyên hàm - tích phân’.
Thông qua cách áp dụng đề tài vào giảng dạy , các thầy cô càng phát huy được tính sáng tạo cùng học trò của mình, nâng cao năng lực chuyên môn và làm nhiều thêm kho tài liệu kiến thức của Nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 Kết luận.
Thông qua việc tìm hiểu và phân tích kết quả của việc ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân’ trong năm 2016-2017 tôi nhận thấy :
- Đối với giáo viên, đây là tài liệu tham khảo tốt trong công tác dạy ôn thi đại học.
Đối với học sinh khá, giỏi, sáng kiến kinh nghiệm giúp cho các em kỹ năng tư duy, suy luận lôgíc để chủ động, tự tin vào bản thân trong việc giải quyết các bài tập hay và các bài toán mà các em sẽ gặp trong cuộc sống.
Từ kết quả nghiên cứu, bản thân tôi cũng đã rút ra các bài học kinh nghiệm sau:
Đối với giáo viên phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo để nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm cho bản thân, phải chú ý việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài giảng lí thuyết, thông qua giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó tập cho các em cách phân tích, tổng hợp, xử lí thông tin để hiểu sâu hơn, ham mê hơn môn học và ứng dụng môn học vào cuộc sống. Tất nhiên cũng cần lựa chọn đối tượng để áp dụng sao cho hợp lí, tránh ôm đồm.
- Đối với học sinh nếu muốn trở thành một học sinh giỏi thật sự thì ngoài khả năng của bản thân cần phải rất chú ý ngay cả các bài giảng tưởng như đơn giản của Thầy cô. Bởi đó là một cách giúp các em nghe để làm, để phát triển, để học cách phân tích, xử lí các tình huống khác, nghĩa là học một để làm mười.
 Kiến nghị.
Sở Giáo dục và Đào tạo cần tập hợp các sáng kiến kinh nghiệm hay thành tâp san phổ biến tới các trường học để mỗi giáo viên cùng với tổ chuyên môn thảo luận, học tập kinh nghiệm và áp dụng linh hoạt vào thực tiễn ở trường mình. 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Kí và ghi rõ họ tên)
Lê Thị Thu Hà
Tài liệu tham khảo.
[1] Đoàn Quỳnh (chủ biên) – Giải tích 12 nâng cao.
[2] Tạp chí toán học và Tuổi trẻ- đặc san số 10. 
[3] Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-ĐT Quảng Nam
	 Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Bắc Ninh
 Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Quảng Ninh
 Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-lần 3, THPT Quảng Xương I-Thanh Hóa
 Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD TPHCM
 Đề minh họa –lần 2-Bộ Giáo Dục và Đào tạo