SKKN Làm rõ hơn tính chất tuần hoàn theo không gian, thời gian trong các phương trình sóng cơ học chương trình Vật lý lớp 12

LÀM RÕ HƠN TÍNH CHẤT TUẦN HOÀN THEO KHÔNG GIAN, THỜI GIAN TRONG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CƠ HỌC 
 CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ LỚP 12
I - MỞ ĐẦU
	1. Lý do chọn đề tài.
	Phần sóng cơ học trong chương trình Vật lý 12 về lý thuyết thực tế không phải là dễ hiểu với đa số học sinh. Nếu ở chương I chỉ xét dao động cơ học của một chất điểm ( một vật ) và chỉ dao động trên một đường thẳng nhất định, thì trong phần sóng cơ học vừa phải xét dao động của một tập hợp liên tục các phần tử của môi trường vật chất, đồng thời sự dao động lại được truyền đi trong không gian. Đối với đa số học sinh khi làm các bài tập về sóng thường chỉ áp dụng một số công thức chứ chưa thực sự hiểu rõ quá trình dao động và truyền sóng của các phần tử.
	Từ thực tế giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm tôi chọn đề tài “ Làm rõ hơn tính chất tuần hoàn theo không gian, thời gian trong các phương trình sóng cơ học - Chương trình Vật lý 12” nhằm giúp học sinh khi học phần này nắm vững hơn cả về lý thuyết và khi vận dụng trong các bài toán
	2. Mục đích nghiên cứu.
	- Tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm khi giảng dạy phần sóng cơ
	- Xây dựng tài liệu áp dụng trong quá trình dạy học
	3. Đối tượng nghiên cứu.
	- Lý thuyết về các phương trình sóng cơ học trong chương trình Vật lý 12
	- Kết quả sau khi áp dụng dạy học vơi học sinh khối 12
	4. Phương pháp nghiên cứu.
	- Phương pháp nghiên cứa lý thuyết
	- Khảo sát định tính kết quả dạy học
II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý thuyết :
	 1.1 Sóng cơ và sự truyền sóng cơ : 
	a. Sóng cơ- Định nghĩa- phân loại
+ Sóng cơ là những dao động lan truyền trong môi trường .
 + Khi sóng cơ truyền đi chỉ có pha dao động của các phần tử vật chất lan truyền còn các phần tử vật chất thì dao động xung quanh vị trí cân bằng cố định.
 + Sóng ngang là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương vuông góc với phương truyền sóng. Ví dụ: sóng trên mặt nước, sóng trên sợi dây cao su.
 + Sóng dọc là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương trùng với phương truyền sóng. 
 Ví dụ: sóng âm, sóng trên một lò xo.	
	b. Các đặc trưng của một sóng hình sin
 + Biên độ của sóng A: là biên độ dao động của một phần tử của môi trường có sóng truyền qua.
 + Chu kỳ sóng T: là chu kỳ dao động của một phần tử của môi trường sóng truyền qua.
 + Tần số f: là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ sóng : f = 
 + Tốc độ truyền sóng v : là tốc độ lan truyền dao động trong môi trường . 
 + Bước sóng l: là quảng đường mà sóng truyền được trong một chu kỳ.
 +Bước sóng l cũng là khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương truyền sóng dao động cùng pha.
A
C
B
I
D
G
H
F
E
J
Phương truyền sóng
λ
2λ
 +Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương truyền sóng mà dao động ngược pha là .
 +Khoảng cách giữa hai điểm gần 
nhau nhất trên phương truyền
 sóng mà dao động vuông pha là .
 +Khoảng cách giữa hai điểm
 bất kỳ trên phương 
 truyền sóng mà dao động cùng pha là: kl.
 +Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên phương 
 truyền sóng mà dao động ngược pha là: (2k+1).
 +Lưu ý: Giữa n đỉnh (ngọn) sóng có (n - 1) bước sóng.
O
M
x
sóng
u
x
	c. Phương trình sóng: 
 Tại điểm O: uO = Acos(wt + j).
Tại điểm M cách O một đoạn x trên phương
 truyền sóng.
* Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox thì:
uM = AMcos(wt + j - ) = AMcos(wt + j - )
 * Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì: 
 uM = AMcos(wt + j + ) = AMcos(wt + j + )
 Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x1, x2
 -Nếu 2 điểm đó nằm trên một phương truyền sóng và cách nhau một khoảng x hoặc d thì:
 hoặc Dj = 
 - Vậy 2 điểm M và N trên phương truyền sóng sẽ:
	+ dao động cùng pha khi:	d = kl	 
d1
0
NN
d
d2
M
	+ dao động ngược pha khi:	d = (2k + 1)
	+ dao động vuông pha khi: 	d = (2k + 1) 
 với k = 0, ±1, ±2 ...
 Lưu ý: Đơn vị của x, x1, x2,d, l và v phải tương ứng với nhau.
1.2 Giao thoa sóng
 a. Điều kiện để có giao thoa: 
 Hai sóng là hai sóng kết hợp tức là hai sóng cùng tần số và có độ lệch pha không đổi theo thời gian (hoặc hai sóng cùng pha).
b. Lý thuyết giao thoa:
Giao thoa của hai sóng phát ra từ hai nguồn sóng kết hợp S1, S2 cách nhau một khoảng l:
+ Phương trình sóng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d1, d2)
 	 và 
+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:
M
S1
S2
d1
d2
 và 
+ Phương trình giao thoa sóng tại M: 
 uM = u1M + u2M
+ Biên độ dao động tại M: với 
+ Chú ý:Tìm số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu trên đường thẳng nối hai nguồn cũng chính là số vân cực đại cực tiểu 
Cách 1 * Số cực đại: 
 * Số cực tiểu: 
Cách 2: 
Ta lấy: S1S2/l = m,p (m nguyên dương, p phần phân sau dấu phảy)
Số cực đại luôn là: 2m +1 ( chỉ đối với hai nguồn cùng pha)
Số cực tiểu là:
 + Trường hợp 1: Nếu p<5 thì số cực tiểu là 2m.
 + Trường hợp 2: Nếu p ³ 5 thì số cức tiểu là 2m+2.
Nếu hai nguồn dao động ngược pha thì làm ngược lại.
M
d1
d2
S1
S2
k = 0
-1
-2
1
Hình ảnh giao thoa sóng
2
+. Hai nguồn dao động cùng pha ( hoặc 2kp)
+ Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M: 
+ Biên độ sóng tổng hợp: AM =2.A.
Amax= 2.A khi:
+ Hai sóng thành phần tại M cùng pha « Dj = 2.k.p (kÎZ)
 + Hiệu đường đi d = d2 - d1 = kλ 
Amin= 0 khi:
+ Hai sóng thành phần tại M ngược pha nhau « Dj=(2.k+1)p (kÎZ)
 + Hiệu đường đi : d = d2 - d1 = ( k+1/2)λ 
+ Để xác định điểm M dao động với Amax hay Amin ta xét tỉ số 
 -Nếu k = số nguyên thì M dao động với Amax và M nằm trên cực đại giao thoa thứ k
 - Nếu k + thì tại M là cực tiểu giao thoa thứ (k+1)
+ Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp của hai hypecbol cùng loại xét trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng (giữa hai cực đại (hai cực tiểu) giao thoa): l/2.
+. Hai nguồn dao động ngược pha: ()
A
B
k=1
k=2
k= -1
k= - 2
k=0
k=0
k=1
k= -1
k= - 2
Điểm dao động cực đại: 
d1 – d2 = (2k+1) (kÎZ)
 Số đường hoặc số điểm dao động 
cực đại (không tính hai nguồn):
* Điểm dao động cực tiểu (không dao động):d1 – d2 = kl (kÎZ) 
 Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu (không tính hai nguồn):
 +. Trường hợp hai nguồn dao động vuông pha nhau: ()
 + Phương trình hai nguồn kết hợp: ; . 
 + Phương trình sóng tổng hợp tại M: 
 + Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M: 
 + Biên độ sóng tổng hợp: AM = 
 +Tìm số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu: 
 * Số cực đại: 
 * Số cực tiểu:
1.3 Sóng dừng
	- Định Nghĩa: Sóng dừng là sóng có các nút (điểm luôn đứng yên) và các bụng (biên độ dao động cực đại) cố định trong không gian 
	- Nguyên nhân: Sóng dừng là kết quả của sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ, khi sóng tới và sóng phản xạ truyền theo cùng một phương.
a. Một số chú ý
* Đầu cố định hoặc đầu dao động nhỏ là nút sóng. Đầu tự do là bụng sóng
* Hai điểm đối xứng với nhau qua nút sóng luôn dao động ngược pha.
* Hai điểm đối xứng với nhau qua bụng sóng luôn dao động cùng pha.
* Các điểm trên dây đều dao động với biên độ không đổi Þ năng lượng không truyền đi
* Bề rông 1 bụng là 2A, A là biên độ sóng tới hoặc sóng phản xạ.
* Khoảng thời gian giữa hai lần sợi dây căng ngang (các phần tử đi qua VTCB) là nửa chu kỳ.
b. Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây dài l:
k
Q
P
* Hai đầu là nút sóng: l = k 
 Số bụng sóng = số bó sóng = k ; 
Số nút sóng = k + 1
* Một đầu là nút sóng còn một đầu là bụng sóng: 
 l = ( 2k + 1) 
 Số bó (bụng) sóng nguyên = k; Số bụng sóng = số nút sóng = k + 1
k
Q
P
 c. Đặc điểm của sóng dừng:
 -Khoảng cách giữa 2 nút hoặc 2 bụng liền kề là . 
 -Khoảng cách giữa nút và bụng liền kề là . 
 -Khoảng cách giữa hai nút (bụng, múi) sóng bất kỳ là : k.. 
 -Tốc độ truyền sóng: v = lf = .
d. Phương trình sóng dừng trên sợi dây (với đầu P cố định hoặc dao động nhỏ là nút sóng)
* Đầu Q cố định (nút sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q: 
 và 
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
 và 
Phương trình sóng dừng tại M: 
Biên độ dao động của phần tử tại M: 
* Đầu Q tự do (bụng sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q: 
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
 và 
Phương trình sóng dừng tại M: ; 
Biên độ dao động của phần tử tại M: 
Lưu ý: * Với x là khoảng cách từ M đến đầu nút sóng thì biên độ: 
 *Với x là khoảng cách từ M đến đầu bụng sóng thì biên độ: 
	2 Những sáng kiến giải pháp giải quyết vấn đề
	2.1 Phương trình truyền sóng:
O
M
x
sóng
u
x
Tại điểm O: Để đơn giản chọn pha ban 
đầu tại nguồn bằng không
 uO = Acos wt 
Tại điểm M cách O một đoạn x trên phương truyền sóng.
* Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox thì:
uM = AMcos(wt - ) = 
 * Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì: 
 uM = AMcos(wt +) = 
	Đây là phương trình truyền sóng xét trên một phương truyền sóng ox. Có thể thấy phương trình theo hàm cosin ( chu kỳ k.2π ) này tuần hoàn theo cả không gian (thành phần ) và thời gian (thành phần ) 
- Nếu xét tại một tọa độ x cố định, thì là phương trình dao động điều hòa theo phương vuông góc với phương truyền sóng của phần tử môi trường tại M theo thời gian. Với mỗi thời điểm t = kT thì trạng thái dao động của phần tử môi trường được lặp lại
 - Nếu xét tại một thời điểm t xác định ( ví dụ chụp ảnh bề mặt nước khi có sóng truyền qua ) thì đồ thị của phương trình sóng này thể hiện hình ảnh của mặt cắt bề mặt nước theo trục ox khi có sóng truyền qua. Với mỗi vị trí x = kλ thì trạng thái dao động của phần tử môi trường được lặp lại
Điều đó có nghĩa theo thời gian hàm sóng tuần hoàn với chu kỳ T còn theo không gian tuần hoàn với chu kỳ λ, sau mỗi khoảng thời gian T, sóng truyền đi được quãng đường là λ.
Độ lệch pha dao động tại các điểm có thể tính theo thời gian ( ωt = ) hoặc theo không gian () hoặc theo cả hai. Có thể ước lượng nhanh
. λ T 2π
 λ/2 T/2 π
Xét một số ví dụ:
Ví dụ 1: Xét dao động của một phần tử tại các thời điểm khác nhau
 	Sóng truyền từ O phương trình sóng tại O là u= 4 cos (pt/2) cm. Biết lúc t thì li độ của phần tử tại O là 3cm, vậy lúc t + 6 s li độ của O là bao nhiêu ?
Phân tích: Ở đây bài toán xét li độ và trạng thái của O tại hai thời điểm khác nhau, tức liên quan đến tính tuần hoàn theo thời gian. Do vậy việc đầu tiên là phai tính chu kì sóng: 
 T = 2π/ω = 4 s
Thời điểm t và thời điểm t + 6s cách nhau khoảng Δt = 6 s = T + T/2
Suy ra nhanh độ lệch pha Δφ = 2π + π khi đó trạng thái dao động tại hai thời điểm là ngược pha nhau, nên khi đó li độ là -3cm
Ví dụ 2: Xét dao động của hai phần tử trên cùng một phương truyền sóng tại cùng một thời điểm
	 Nguồn sóng ở O được truyền theo phương Ox . Trên phương này có hai điểm P và Q cách nhau PQ = 15cm . Biết tần số sóng là 10Hz, tốc độ truyền sóng v = 40cm/s, biên độ sóng không đổi khi truyền sóng và bằng cm . Nếu tại thời điểm nào đó P có li độ cm thì li độ tại Q có độ lớn là bao nhiêu ?
	 Phân tích: Bài toán xét dao động của P và Q trên cùng một phương truyền sóng tức liên quan đến tính tuần hoàn theo không gian. Trước hết phải tính bước sóng:
	Độ lệch pha của hai điểm theo không gian:
Có thể thấy trạng thái dao động của hai phần tử là vuông pha và trái dấu nhau nên ta có thể vận dụng tính chất hai dao động vuông pha:
Dấu li độ tại Q là âm ngược dấu với li độ tại P
Ví dụ 3: Xét dao động của hai phần tử trên cùng một phương truyền sóng tại hai thời điểm khác nhau:
Lúc t = 0 đầu O của dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu dao động đi lên biên độ a, chu kì T = 1s. Hai điểm gần nhau nhất trên dây dao động cùng pha cách nhau 6cm. Tính thời điểm đầu tiên để M cách O 12cm dao động ngược pha với trạng thái ban đầu với O. Coi biên độ không đổi. 
Phân tích: Bài toán xét dao động của O và M ở hai thời điểm khác nhau
Theo đề bài : λ = 6cm, T = 1s
Ở đây độ lêch pha theo không gian: tức điểm M luôn dao động cùng pha với O. Nhưng khi t = 0 sợi dây mới bắt đầu dao động, nên sóng truyền đến M hết 2T = 2s
Tuy nhiên bài toán yêu cầu xác định thời điểm đầu tiên dao động tại điểm M ngược pha với trạng thái ban đầu của O tức là trạng thái ban đầu của chính điểm M
Vậy khi đó t = 2T + T/2 = 2,5s
	2.2 Phương trình giao thoa sóng trên mặt nước sóng:
 Phương trình sóng tại 2 nguồn - để đơn giản chọn hai nguồn giống nhau và có pha ban đầu bằng không :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d1, d2)
 	 u1 = u2 = Acos 2πft 
+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:
M
S1
S2
d1
d2
 và 
+ Phương trình giao thoa sóng tại M: 
 uM = u1M + u2M
 Như đã biết hình ảnh giao thoa sóng trên mặt nước là những vân giao thoa. Trùng với trung trực S1 và S2 là vân cực đại trung tâm, hai bên các vân cực đại cực tiểu dạng hypepol đối xứng.
M
d1
d2
S1
S2
k = 0
-1
-2
1
Hình ảnh giao thoa sóng
2
	Kinh nghiệm cho thấy khi làm các bài tập giao thoa, học sinh thường chỉ vận dụng một cách khá máy móc các công thức để xác định các vị trí giao thoa cực đại, cực tiểu hoặc tính số điểm cực đại, cực tiểu, số vân cực đại cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng hoặc trên một đoạn thẳng mang tính chất đối xứng nào đó. Nhưng khi xét đến các bài toán mà hiểu sâu hơn về đặc điểm quá trình dao động, truyền sóng trong hiện tượng giao thoa, ví dụ xác định số cực đại trên đoạn thẳng nối hai nguồn dao động cùng pha hoặc ngược pha với hai nguồn thì sẽ lúng túng.
	Ở đây có thể mô tả một cách định tính hiện tượng giao thoa như sau:
	- Trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng có những điểm dao động với biên độ cực đại, những điểm đứng yên nhưng là số ít, đa số còn lại dao động với biên độ trung bình. Hình ảnh giao thoa trên đoạn thẳng này nếu xét một mặt cắt thẳng đứng trên mặt nước tương tự sự hình thành sóng dựng trên sợi dây. Tức là cũng tạo thành các búi sóng với nút và bụng sóng, tất cả mọi phần tử trên một búi luôn dao dộng cùng pha với nhau. Hai búi cạnh nhau dao động ngược pha
- Trên các vân cực đại, tất cả mọi phần tử đều dao động với biên độ cực đại, tuy nhiên pha của dao động lại khác nhau. Các gợn sóng cực đại không nằm cố định tại chỗ mà di chuyển từ các điểm cực đại trên S1S2 về hai phía tương tự các gợn sóng nước mà nguồn sóng trên S1S2. 
S1
S2
	Bây giờ ta sẽ chứng minh các nhận xét trên banwngf phương trình.
	a/ Xét trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng
Với phương trình giao thoa tổng quát
	Đặt S1S2 = d và đưa vào trục Ox với O là trung điểm của S1S2
	Khi đó: d1 = d/2 + x
 Và d2 = d/2 - x
	Suy ra: d1 + d2 = d và d1 - d2 = 2x 
S1
O
M
S2
x
d1
d2
x
	Vậy phương trình sóng tại điểm M trên S1S2 là:
	Ở phương trình này học sinh dễ lầm pha ban đầu dao động của các phần tử là thành phần và thấy mọi phần tử dao động cùng pha. Tuy nhiên ở phương trình này hai thành phần tuần hoàn theo không gian và thời gian tách biệt hẳn ở hai hàm cos khác nhau chứa x và t. 
	 Điểm M sẽ là điểm cực đại nếu 
 với k = 0, 1, 2,...
	Điểm M là điểm đứng yên nếu
 với k = 0, 1, 2,...
	Các điểm còn lại dao động với biên độ trung bình. Tuy nhiên tất cả các điểm trong một búi dao động cùng pha khi:
 (1)
Hoặc (2)
 - Xét tập nghiệm (1):
 Với k = 0 đây là phần búi sóng
chứa cực đại trung tâm O
 Với k = 1 là phần búi sóng giữa 
P và Q trên hình vẽ
Tương tự ta thấy tất cả các búi sóng ở phần tọa độ dương cùng dấu tức dao động cùng pha với nhau
 - Tương tự nếu xét tập nghiệm (2) ta sẽ có các vị trí ở các búi phần tọa độ âm
	Như vậy nếu đánh số các búi thì ta sẽ có tất cả các búi chẵn cùng pha với nhau, các búi lẻ cùng pha với nhau
	Xét một số ví dụ để làm rõ điều này:
	Ví dụ 1: Tính số điểm dao động với biên độ trung binh trên đoạn thẳng nối hai nguồn
 Tại hai điểm S1 và S2 trên mặt nước cách nhau 22 cm có hai nguồn sóng kết hợp cùng pha, cùng biên độ 2 mm, phát sóng với bước sóng là 4 cm. Coi biên độ không đổi khi truyền đi. Xác định số điểm trên S1S2 dao động với biên độ bằng mm
Phân tích: Ở bài toán này tại các điểm cực đại: Amax = 2A = 4 mm
 Tại điểm có biên độ mm là một điểm dao động trung bình
Xét tỉ số tức là S1 và S2 nằm đúng trên cực tiểu thứ 6, tức trên đoạn thẳng nối hai nguồn hình thành 11 búi sóng tương tự sóng dừng. Mỗi búi có hai điểm dao động với biên độ mm . Vậy trên đoạn S1S2 có 22 điểm dao động với biên độ mm 
Ví dụ 2: Xác định tính chất dao động của hai điểm trên đoạn thẳng nối hai nguồn
Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp S1, S2 cách nhau 17cm dao động theo phương trình (mm). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,4 m/s và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền. Hai điểm P, Q trên đoạn thẳng nối hai nguồn cách nhau 9,15cm dao động cùng pha hay ngược pha, biết P là một điểm cực đại.
Phân tích: Ta có 
Hay λ/2 = 2cm. tức là mỗi búi sóng rộng 2cm. 
Áp dụng cách đánh số cho búi sóng ta xét: PQ/ ( λ/2 ) = 4,575 kết hợp với điều kiện P là một điểm cực đại. Suy ra P và Q nằm trên hai búi chẵn lẻ khác nhau nên chúng dao động ngược pha nhau
b/ Xét trên vân cực đại trung tâm - trung trực đoạn thẳng nối hai nguồn sóng.
d
d
M
S1
S2
I
Với phương trình giao thoa tổng quát
Khi đó d1 = d2 = d
Ta có 
Như đã biết tất cả các điểm trên đường này luôn dao động với biên độ cực đại 2A. Nhưng tùy theo giá trị của d khi M chạy trên đường này thì thành phần pha dao động của M ( ) sẽ thay đổi. Tức nếu đi từ trung điểm của S1S2 về hai phía pha dao động của các phần tử sẽ thay đổi liên tục tương tự như nguồn sóng tại I lan truyền về hai phía đường trung trực
	 Đặt S1I = IS2 = d0 và viết lại phương trình uI và uM
Ở đây không thể coi uM là phương trình sóng từ nguồn I giống như phương trình truyền sóng trên một phương truyền sóng vì d - d0 không phải là khoảng IM. Có nghĩa rằng trên IM dao động các phần tử thay đổi pha liên tục nhưng không còn tính tuần hoàn theo bước sóng λ, càng ra xa I khoảng cách giữa các điểm dao động cùng pha càng tăng lên. Xét ví dụ sau để làm rõ tính chât này
Ví dụ: Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau 18 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình là (với t tính bằng s). Tốc độ truyền sóng ở mặt chất lỏng là 50 cm/s. Gọi I là trung điểm của AB, điểm M ở mặt chất lỏng nằm trên đường trung trực của AB sao cho phần tử chất lỏng tại M dao động cùng pha với phần tử chất lỏng tại O. Xác định vị trí các điểm M.
	Phân tích:
Trước hết ta dễ có f = 25 Hz, và λ = 2 cm. d0 = 9 cm.
Độ lệch pha dao động của M và I là: 
Để hai điểm dao động cùng pha: Δφ = 2kπ suy ra d = d0 +kλ
 d = 9 + 2k
Với điều kiện: 
Nếu k = 0 điểm M là điểm I
Nếu k = 1 có d = 11cm 
Nếu k= 2 có d = 13 cm MI = 
Nếu k= 3 có d = 15 cm MI = 
Nếu k= 4 có d = 17 cm MI = 
Như vậy các điểm cùng pha ( tương tự bước sóng) cách nhau những khoảng cách tăng dần và theo bộ kết quả trên vẫn thấy quy luật tăng dần ví dụ ..
Tức tính tuần hoàn thì không còn nhưng tính quy luật theo không gian thì vẫn còn
Tương tự như vậy xét các vân cực đại bậc lớn hơn cũng có những tính chất và quy luật như vân trung tâm.
k
Q
P
2.3 Phương trình sóng dừng trên sợi dây
 Với đầu P cố định hoặc dao động nhỏ là nút sóng
* Đầu Q cố định (nút sóng):
Phương trình sóng dừng tại M cách Q một khoảng d là:
Biên độ dao động của phần tử tại M: 
* Đầu Q tự do (bụng sóng):
Biên độ dao động của phần tử tại M: 
	Với hai phương trình này ta thấy tương tự phương trình giao thoa của hai nguồn sóng trên mặt nước xét trên đoạn thẳng nối hai nguồn
	*Xét một phương trình với đầu phản xạ Q là nút sóng.
	Biên độ sóng tại M tùy thuộc giá trị hàm sin. 
	Nếu sin = 0 d = thì tại M là một nút sóng
	Nếu sin = d = + thì tại M là một nút sóng
Pha dao động của các phần tử thì phụ thuộc dấu của hàm này 
 Nếu sin > 0 Ứng với các bó sóng có li độ dương
 Nếu sin < 0 Ứng với các bó sóng có li độ âm
Và như vậy pha dao động không biến đổi theo từng điểm mà biến đổi theo từng khoảng giá trị của d. Tức tất cả các điểm trên cùng một bó sóng dao động cùng pha. Hai bó cạnh nhau dao động ngược pha với nhau
*Như vậy so sánh phương trình sóng dừng trên dây với phương trình giao thoa sóng trên đoạn thẳng nối hai nguồn có dạng tương tự nhau. Ở đây hai thành phần tuần hoàn theo không gian và thời gian nằm tách rời hai hàm cos khác nhau:
Phương trình giao thoa sóng tại điểm M trên S1S2 là:
Phương trình sóng dừng tại M cách Q một khoảng d 
Một cách tổng quát có thể viết: uM = 2Acos
Hoặc 
Tr