SKKN Kỹ năng dồn biến để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức, nhằm nâng cao hiệu quả của việc ôn tập học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh

1. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Trong những năm qua trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều hình thức như: đổi mới sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học, ứng dụng công nghệ thông tin trong các tiết dạy, phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, tổ chức hoạt động ngoại khoá.
Đối với môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh. Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó này một cách hiệu quả nhất trong các đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia. 
Bài toán tìm cực trị của biểu thức nhiều biến là bài toán khó nhất trong các đề thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia, phần lớn học sinh không giải quyết được, nguyên nhân chính là vì dạng toán này quá khó chỉ có một phần nhỏ có thể làm được, tuy nhiên nếu giáo viên hướng dẫn cho học sinh một cách hệ thống và phương pháp rõ ràng, tôi tin rằng sẽ có nhiều học sinh làm được bài toán này. Với lý do như vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Kỹ năng dồn biến để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức, nhằm nâng cao hiệu quả của việc ôn tập học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh”.
Mục đích nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng tìm cực trị của biểu thức nhiều biến, kỹ năng đánh giá biểu thức bằng bất đẳng thức trong bài toán tìm cực trị.
Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu bất đẳng thức, các hệ quả của các bất đẳng thức AM-GM, Bunhiacopski, Cauchy – Schwarz.
Nghiên cứu các các bài toán tìm cực trị của hàm số, của biểu thức.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận 
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. 
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán... kỹ năng dồn biến trong bài toán tìm cực trị cũng không phải là ngoại lệ. 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong giảng dạy toán lâu nay tại trường THPT Như Thanh đa số giáo viên thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phát động phong trào viết chuyên đề, các đề tài ...Tuy nhiên chuyên đề “Kỹ năng dồn biến để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức” thì đa số giáo viên trong tổ chưa nghiên cứu một cách có hệ thống.
Đối với học sinh chỉ có một số ít có ý thức tự học, phần còn lại học tập thụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy (cô) giáo. Đa số học sinh còn chưa có ý thức về nghiên cứu toán học. Trong học toán phần lớn học sinh còn rất yếu về phần bất đẳng thức, các hoạt động của học sinh ở phần này chủ yếu là chứng minh các bất đẳng thức hay áp dụng các bất đẳng thức có sẵn. Đó là những điều hạn chế trong cách học của học sinh tại trường THPT Như Thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung. 
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 1: Xét hàm số f(x) với . Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, nếu như thỏa mãn các điều kiện sau:
1. 
2. Tồn tại sao cho 
Khi đó ta kí hiệu: 
Định nghĩa 2: Xét hàm số f(x) với . Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, nếu như thỏa mãn các điều kiện sau:
1. 
2. Tồn tại sao cho 
Khi đó ta kí hiệu: 
2.3.2. Các bất đẳng thức cơ bản thường sử dụng	
	 Bất đẳng thức Cauchy (hay AM – GM)
	Cho số dương ta có 
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
	 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (hay còn gọi Bunhiacopski)
	Cho hai bộ số .
	Ta có 
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thường sử dụng
Cho và khi đó 
2.3.3. Sử dụng điều kiện ban đầu để đánh giá đưa về hàm số một biến
 Điều kiện ban đầu thường gặp:
Bài 1 (Đề THPT QG 2015): Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Nhận xét: Việc đánh giá điều kiện ban đầu của bài toán là rất quan trọng trong việc giải bài toán cực trị của biểu thức, giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng chuyển bài toán cực trị nhiều biến thành bài toán cực trị của hàm số với một biến.
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Ta có: 
Lại có: 
. Do đó: .
Ta có: 
Xét hàm số , 
Ta có: nên 
Vậy khi 
Nhận xét: Đây là bài toán rất hay. Ta phải dùng hai lần giả thiết của các biến
Bài 2: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 để tìm ra miền giá trị của và đánh giá được P thông qua biến x. Cũng từ bài toán trên phải chăng bằng việc đánh giá điều kiện ban đầu chúng ta sẽ giải quyết được một lớp các bài toán dạng này bằng cách đưa về hàm số một biến, chính vì vậy qua chuyên đề này tác giả muốn rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán cực trị bằng phương pháp dồn biến.
Lời giải
Vì , nên ta có 
Dấu bằng xảy ra khi hoặc hoặc . Do đó
Đặt ; 
Xét hàm số: với 
Ta có , nên f(t) đồng biến trên . 
Suy ra 
Bài 3: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Vậy khi 
Lời giải
Ta có (1)
Mặt khác 
 (2)
Lại có 
 (3)
Từ (1), (2), (3) ta được
Đặt 
Xét hàm số với 
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Từ đó suy ra đạt được khi 
Lời giải
Từ giả thiết ta có: 
Do đó: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Xét hàm số: 
Ta có: . 
Lập bảng biến thiên ta được: 
Bài 5: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Khi .
Lời giải
Nhận xét: Giả thiết đã cho chính là gợi ý của bài toán. Cách làm giảm biến số quen thuộc là đặt 
Khi đó: 
Do đó ta viết lại P dưới dạng 
Như vậy với cách đặt ẩn phụ này, ta đã làm giảm số biến của P thành hai biến. 
Thậm chí là P là đồng bậc giữa x và y. Ta chỉ việc đặt ẩn phụ quen thuộc
Đặt ta được 
Xét hàm f(t) trên ta có:
Cách đặt này khá phức tạp. Ta có thể đặt theo cách khác sau đây
Đặt . Khi đó ta có
Xét hàm f(t) trên ta được: 
Lập bảng biến thiên ta được 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 6: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 
Lời giải
Nhận xét: Có một chú ý quan trọng của bài 6 là một phép biến đổi nhỏ
Như vậy biến mới được hình thành.
Đặt suy ra . Xét trên 
Ta có: 
Lập bảng biến thiên ta suy ra 
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 7: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Kết luận: 
Lời giải
Nhận xét: Khi gặp bài toán trên, ta chưa thể tìm cách phá giá dấu giá trị tuyệt đối. Do vậy cứ thử quy đồng và tách tung ra xem có gì đặc biệt không. Bởi vì lưu ý rằng: khi cho . Nên sau khi biến đổi chắc chắn sẽ chứa nhân tử 
Do đó: 
Đến đây ta giả sử để mục tiêu làm mất dấu giá trị tuyệt đối. 
Nhận xét rằng có một phép biến đổi làm giảm biến số một cách đơn giản là 
Đặt:
Ta có: 
Mục tiêu viết như trên là đạo hàm theo biến y (hoặc biến x).
Lập bảng biến thiên ta thu được 
hay 
Xét hàm g(t) trên ta có: 
Từ đó ta có .
Như vậy 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bài 8: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của 
Vậy 
Lời giải
Nhận xét: Giả thiết chỉ cho dữ liệu liên quan tới a, b dù không dự đoán được đẳng thức xảy ra nhưng ta vẫn có thể khai thác được giả thiết bằng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với mục tiêu là chỉ còn biến c.
Ta có: 
Từ thiết 
Như vậy ta phải chọn 
Do đó ta có: 
Xét hàm số f(c) trên ta có: 
Lập bảng biến thiên ta suy ra: 
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Vậy 
Lời giải
Ta có 
Tương tự ta có 
Lại có
Xét hàm số mà 
Bài 10: Cho các số thực và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Vậy 
Lời giải
Với những bài toán có điều kiện ban đầu chúng ta sẽ tìm cách khai thác nó, dự đoán điểm rơi là 
Hơn nữa với có chứa ở mẫu, đây là hạng tử có thể gợi ý cho chúng ta dồn biến về .
Ta có suy ra 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vì dự đoán điểm rơi nên khả năng và là hoàn toàn có thể xảy ra.
Ta có: và 
Do đó 
Với điều kiện ta luôn có
Suy ra 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Mà 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 11: Cho các số . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Vậy đạt được khi 
Lời giải
Không mất tính tổng quát của bài toán, ta có thể giả sử 
Ta có 
Từ giả thiết ta được 
Suy ra . Đặt . Xét hàm số 
Ta có suy ra f(t) đồng biến trên . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là khi 
2.3.4. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản để đánh giá làm giảm số biến của bài toán
 Có nhiều bài toán tìm cực trị của biểu thức ta chỉ cần sử dụng các biến đổi cơ bản đã làm giảm được số biến. Tuy nhiên bài toán cực trị có dạng phân thức ta phải sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá mới làm giảm được số biến của bài toán.
 Các bất đẳng thức hệ quả thường dùng
Hệ quả 1: Cho ta có 
Hệ quả 2: Cho ta có 
Hệ quả 3: Cho ta có 
Hệ quả 4: Cho ta có 
Hệ quả 5: Cho ta có 
Hệ quả 6: Cho ta có 
Hệ quả 7: Cho và ta có 
Hệ quả 8: Cho và ta có 
Bài 1: Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Nhận xét: Trên đây chỉ là một số hệ quả tiêu biểu thường sử dụng để tìm cực trị bằng cách dồn biến, ngoài ra ta có thể sử dụng các hệ quả khác hoặc các bất đẳng thức khác. Ứng dụng các hệ quả trên để giải các bài toán sau đây.
Lời giải
Áp dụng hệ quả 1 
Ta có 
Do nên , chia tử và mẫu của M cho ta được:
 với .
Với và . Xét hàm số trên 
Ta có , nghịch biến trên 
 hay 
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi và 
Bài 2: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Nhận xét: từ giả thiết ta nhận thấy các biến a và b có tính chất đối xứng, do đó để giải bài toán ta sử dụng 
Ta có: vì 
Với hai số thực x, y tùy ý, ta có .
Từ giả thiết và sử dụng đánh giá trên ta thu được
.
Đặt (vì và ). Khi đó 
Xét hàm số trên , ta có , 
Do đó  là hàm số nghịch biến trên , 
Hay , thỏa mãn và .
Bài 3: Cho thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi 
Lời giải
Ta có 
Áp dụng hệ quả 2 ta có 
Do đó . Đặt . 
Khi đó . Xét hàm số trên 
Ta có 
Lập bảng biến thiên suy ra , 
Bài 4: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi 
Lời giải
Nhận xét: Ta chỉ cần biến đổi 
Ta có 
Ta có . Do đó 
Đặt , vì thuộc đoạn . Khi đó ta có 
Xét hàm trên 
Ta có , . Suy ra là hàm số đồng biến trên . Do đó , hay , 
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi và 
Bài 5: Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Vì do đó ta có 
Đặt , (vì ) khi đó biểu thức P trở thành 
Biến đổi giả thiết ta thu được 
Ta có và (1)
Ta lại có (2) (vì )
Từ (1) và (2) 
Biến đổi biểu thức P, ta thu được 
Từ hệ quả 3, ta có: 
Đặt . Do đó 
Xét hàm số trên 
Ta có , và (vì ) 
Suy ra là hàm số đồng biến trên 
, hay 
Bài 6: Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được khi 
Lời giải
Ta có 
Do đó 
Đặt . Khi đó . 
Xét hàm số trên 
 Ta có 
Lập bảng biến thiên suy ra , . Suy ra . 
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi .
Nhận xét ta có thể coi P là hàm của z và x, y là tham số và xét hàm P(z) trên 
Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Lời giải
Vì do đó 
Đặt vì và . 
Khi đó biểu thức P được viết lại như sau: 
Ta có và 
Do đó 
hay 
Đặt vì . 
Khi đó ta có 
Xét hàm số trên 
Ta có 
Do đó là hàm số đồng biến trên 
hay , với mọi thỏa mãn điều kiện .
Bài 8: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Vậy , giá trị lớn nhất đạt được khi 
Lời giải
Ta có . Đặt 
Do đó: 
Áp dụng hệ quả 2, ta có 
Xét hàm số trên . Ta có 
Lập bảng biến thiên suy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được khi hay 
Bài 9: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Đặt 
Thay vào giả thiết ta có: (không thỏa mãn giả thiết)
Tương tự cũng không thỏa mãn .
 thay vào giả thiết ta có:
Mặt khác 
Hay 
Đặt , khi đó ta có 
Xét hàm số trên 
Ta có 
Suy ra hàm số đồng biến trên . Do đó: 
Bài 10: Cho là các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Vậy khi hay 
Lời giải
Đặt 
Khi đó 
Đặt vì 
Đặt ta có 
Do đó là hàm số nghịch biến trên 
. Xét hàm số với 
Ta có (vì ).
Từ bảng biến thiên suy ra 
Do đó ta có .
Bài 11: Cho là các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Vậy , giá trị nhỏ nhất đạt được khi hay 
Lời giải
Nhận xét: Bài 11 khi ta thay giả thiết vào biểu thức P thì P là một biểu thức đồng bậc. Tuy nhiên nếu chỉ sử dụng các biến đổi đại số thì ta vẫn chưa làm giảm số biến của biểu thức. Ta cần sử dụng các hệ quả để đánh giá biểu thức
Ta có 
Ta lại có 
Vậy . Đặt (vì )
Khi đó 
Xét hàm số trên 
Ta có (vì )
Lập bảng biến thiên suy ra hay 
Bài 12: Cho là các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Vậy , giá trị lớn nhất đạt được khi 
Lời giải
Từ giả thiết ta có 
Đặt (vì ). 
Do đó 
Ta có 
Nhận xét: vì . Mặt khác 
Do đó 
Vậy . Xét hàm số trên 
 Ta có 
Suy ra là hàm số nghịch biến trên 
Hay với mọi thỏa mãn 
Vậy , giá trị lớn nhất đạt được khi 
Nhận xét: Phương pháp giải được trình bày ở các mục 2.3.3 và 2.3.4 là phương pháp thường được sử dụng khi giải các bài toán tìm cực trị của biểu thức nhiều biến. Ngoài các phương pháp giải ở trên khi giải bài toán tìm cực trị của biểu thức nhiều biến ta còn sử dụng các phương pháp sau:
 Phương pháp tiếp tuyến.
Phương pháp đạo hàm theo từng biến.
Phương pháp dùng hàm đặc trưng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với học sinh
 Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 12C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học sinh khác (lớp 12C1 là lớp chọn khối A), chọn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn toán của trường THPT Như Thanh.
 Chọn các bài tập đã xây dựng ở trên và những bài tập khác trong các đề thi thử THPT Quốc Gia những năm gần đây. Tiến hành hướng dẫn học sinh giải quyết các bài tập đã chọn.
 Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề “Kỹ năng dồn biến để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức”. Yêu cầu học sinh viết thành đề tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi). 
 Tiến hành kiểm tra đánh giá bằng một bài 45 phút cho cả ba lớp nói trên.
 Kết quả kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết quả bài kiểm tra là rất tốt, điểm của học sinh đều đạt từ loại khá trở lên, đối với lớp 12C1 kết quả đạt được từ loại trung bình trở lên.
 Đối với chủ đề nghiên cứu của lớp học sinh giỏi, các em đã thực hiện tốt. Được ôn tập các tính chất của bất đẳng thức, rèn luyện kỹ năng giải bài toán tìm cực trị của biểu thức nhiều biến. Đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm 5 em tham dự kì thi cấp tỉnh đạt một giải Nhì, một giải Ba, một giải Khuyến khích.
 Dạng bài tập và phương pháp này chỉ có hiệu quả cao với học sinh khá, giỏi. 
2.4.2. Đối với bản thân và đồng nghiệp
 Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi. 
 Từ đề tài này có thể mở rộng và phát triển hơn cho dạng toán chứng minh bất đẳng thức, dạng toán cực trị của biển thức lượng giác, cực trị trong hình học. Ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán khó về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ, hệ bất phương trình có chứa tham số. 
2.4.3. Đối với nhà trường
 Đề tài đã và đang được áp dụng trong hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết quả thi học sinh giỏi, kết quả thi THPT Quốc gia của học sinh trường THPT Như Thanh.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	
3.1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
 Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng tìm cực trị của bài toán nhiều biến bằng phương pháp dồn biến.
 Xây dựng được một hệ thống các bài tập về tìm cực trị của biểu thức nhiều biến trong đó cách giải quyết chính là sử dụng đánh giá bằng bất đẳng thức cơ bản để làm giảm số biến của bài toán ban đầu.
 Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản dạy học môn toán nói riêng.
3.2. Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
 Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng đối tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi. 
 Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp các em có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 04 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Nguyễn Bá Long