SKKN Kinh nghiệm sử dụng hàm số bậc nhất, bậc hai hướng dẫn học sinh lớp 10 giải một số bài toán bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
 Người thực hiện: Nguyễn Đình Dũng
 Chức vụ : Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực(môn): Toán học
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
 Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU 
 Lý do chọn đề tài....2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận của vấn đề.............................................2
II. Thực trạng của vấn đề.......2
2.1. Thực trạng chung........2
2.2. Thực trạng đối với giáo viên.......3
2.3. Thực trạng đối với học sinh........3
III. Các giải pháp thực hiện....3
Cơ sở lý thuyết: .....3
3.1. Hàm số bậc nhất:.....3
3.2. Hàm số bậc hai:...4
ỨNG DỤNG:.4
3.3. Hàm số bậc nhất......4
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:.9
3.4. Hàm số bậc hai......11
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG17
IV. Các biện pháp tổ chức thực hiện....18
4.1. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của thầy giáo....18
4.2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo..18
4.3. Kết quả nghiên cứu...18
C. KẾT LUẬN
I. Kết luận.18
A. PHẦN MỞ ĐẦU
 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần nghiên cứu tìm tòi ra phương pháp để học sinh dễ tiếp thu và dễ vận dụng.
- Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác.
- Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng tìm tòi ra phương pháp mới, học sinh dễ tiếp thu, dễ vận dung với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
 Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là:
“KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận của vấn đề.
	- Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn .
	- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi.
	- Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán.
II. Thực trạng của vấn đề.
	2.1. Thực trạng chung.
	Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giản, giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tích hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng cần truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới.
	2.2. Thục trạng đối với giáo viên.
	Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi vì: Nội dung bất đảng thức chương trình phổ thông là một trong những mảng kiến thức khó, các bài toán thường khó suy đoán tìm ra phương pháp phù hợp. Chính vì vậy nhiều giáo viên thường hay ngại đi sâu mảng kiến thức này, họ chỉ dạy những phương pháp và kiến thức cơ bản cho học sinh.
	2.3. Thực trạng đối với học sinh.
	Đối với học sinh, hầu hết các em đều không hứng thú đối với việc học bất đẳng thức vì những kiến thức này khó. Khi gặp các bài toán về bất đẳng thức học sinh thường hay bỏ qua bài này hoặc làm tất cả những dạng toán khác rồi cuối cùng mới qua tâm tới bài bất đẳng thức.
	Vì vậy, trong quá trình dạy học bất đẳng thức giáo viên không chỉ dạy cho học sinh nắm vững các khái niệm, định lí; các bất đẳng thức cơ bản mà chủ yếu là phải dạy cho học sinh biết vận dụng các khái niệm, các định lí; tìm tòi những mảng kiến thức có liên qua để vận dụng vào dạy bất đẳng thức để học sinh có thể tiếp thu và vận dụng dễ dàng nhất. Nhằm khắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh.
III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Cơ sở lý thuyết: 
3.1. Hàm số bậc nhất:
	Tính chất: Cho hàm số 
	Tính chất 1: Khi hàm số đồng biến trên ; Khi thì hầm số nghịch biến trên .
	Tính chất 2: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng cắt tại điểm và cắt tại điểm .
	Từ hai tính chất trên ta suy ra: Xét trên đoạn thì đồ thị của hàm số là một đoạn thẳng với hai đầu mút là và . Vậy nếu với mọi thì:
	Tính chất 3: Xét trên đoạn hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại một trong hai đầu mút của đoạn . Tức là:
	Nếu hàm số đồng biến trên đoạn thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và đạt giá trị lớn nhất tại 
	Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và đạt giá trị nhỏ nhất tại 
3.2. Hàm số bậc hai:
	Tính chất: Cho hàm số 
	- Khi , hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
	- Khi , hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và có giá trị lớn nhất là khi .
	Xét trên đoạn ta có các trường hợp sau:
	TH1: 
	- Nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi , đạt giá trị lớn nhất là khi .
	- Nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi , đạt giá trị lớn nhất là 
	- Nếu thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là khi , đạt giá trị nhỏ nhất là khi .
TH2: 
	- Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất là khi , đạt giá trị nhỏ nhất là khi .
	- Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất là khi , đạt giá trị lớn nhất là 
	- Nếu thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi , đạt giá trị lớn nhất là khi .
ỨNG DỤNG:
	3.3. Hàm số bậc nhất.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi thì với mọi .
Giải
Ta có 
Ta có là hàm số bậc nhất với hệ số (do ).
	Vậy hàm số nghịch biến, do đó mọi thì 
 đúng với mọi .
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi thì với mọi .
Giải
Ta có 
Ta thấy là hàm số bậc nhất có hệ số (do ).
Vậy đồng biến nên do mọi . 
	Do đó: 
 do (ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho là các số thuộc đoạn . 
Chứng minh rằng: 
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh 
Xét hàm sô .
	Khi: ta có 
	Khi: thì là hàm số bậc nhất với hệ số 
Ta có: do 
.
Vậy theo tính chất thì . ĐPCM
Dấu bằng xảy ra đẳng thức xảy ra ở một trong 3 biến đổi 
Dấu bằng xảy ra ở hoặc với tùy ý.
Dấu bằng xảy ra ở hoặc 
Dấu bằng xảy ra ở hoặc 
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp hàm số bậc nhất thì dấu bằng xảy ra ở hoặc , tức là khi hoặc . Ta sẽ dựa vào và để tìm ra giá trị của các biến khác. Và nếu trong bất đẳng thức vai trò các biến là tương đương thì giá trị để đẳng thức xảy ra là các cặp biến có giá trị vòng quanh.
Ví dụ 4: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh 
Đặt , ta coi vế trái của là hàm số ẩn :
	. Ta cần chứng minh . Thật vậy
	Khi ta có 
	Khi ta có là hàm số bậc nhất.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Mà 
Vậy theo tính chất 2 của hàm số bậc nhất ta có . Suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra .
Ví dụ 5: Cho . Chứng minh rằng: .
Giải
Coi bất đẳng thức cần chứng minh là hàm số bậc nhất với ẩn :
Vì nên ta có: 
Theo tính chất 2 của hàm số bậc nhất ta có . Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: 
- Đối với các bất đẳng thức trên, ta hoàn toàn có thể áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh nhưng cách này rất dài dòng và rắc rối, đôi khi đưa bài toán vào bế tắc. Sử dụng phương pháp hàm số sẽ giúp bài toán được giải quyết nhanh gọn, vì giảm đáng kể số lượng các phép biến đổi, chỉ phải chứng minh các bất đẳng thức rất đơn giãn bằng cách sử dụng tính chất về dấu của đa thức bậc nhất.
- Trong một số trường hợp, ta không cần thiết phải biến đổi vế trái thành dạng mà có thể để nguyên và thay giá trị của biến vào, với điều kiện là ta chứng minh được đó là hàm số bậc nhất chứ không phải là bậc khác.
Ví dụ 6: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn .
Chứng minh rằng: .
Giải
Từ giả thiết ta có 
suy ra .
Cũng từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Ta cần chứng minh: 
Đặt trở thành 
Xét hàm số 
	Nếu (Hiển nhiên đúng)
	Nếu thì là hàm số bậc nhất.
Ta có: 
(do )
Vậy theo tính chất 2 của hàm số bậc nhất ta có . Suy ra điều phải chứng minh.
	Dấu bằng xảy ra 
Ví dụ 7: Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng .
Giải
Từ giả thiết ta có và 
Khi đó 
Đặt trở thành: 
Xét hàm số: 
	Nếu 
	Nếu thì là hàm số bậc nhất.
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Ta có: (do )
 (do ).
Vậy theo tính chất 2 của hàm số bậc nhất thì . Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 8: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Giải
Không mất tính tổng quát ta giã sử . Từ đó suy ra 
Ta có: 
Xét hàm số trên đoạn 
Khi thì (do là các số thực không âm và thỏa mãn ) do đó 
Khi thì (do là các số thực không âm và thỏa mãn ) do đó 
Ta có Ruy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất tuy rất hiệu quả trong việc hổ trợ các bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhưng cũng có những hạn chế đó là tác giã chưa tìm ra được cách tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một số dạng toán. Chính vì vậy tôi đi nghiên cứu thêm sự ứng dụng của hàm số bậc hai để có thể giải quết những dạng toán trên.
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Ta có 
Ta có: 
Đặt . Xét hàm số 
Bài 2: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Không mất tính tổng quát ta giã sử , từ giả thiết suy ra . Mặt khác ta lại có: .
Vì 
Bài 3: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ 8.
Bài 4: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn: 
Ta có: 
.
Biến đổi ; .
Bài 5: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn: 
Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 
Đặt . Xét hàm số trên đoạn .
Bài 6: Cho là các số thực không âm và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Biến đổi tương tự như bài 4.
3.4. Hàm số bậc hai.
Ví dụ 9: Tìm các giá trị của để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng .
Giải
Đặt , vì 
 Khi đó hàm số đã cho trở thành 
Ta có: .
TH1: Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 
 Loại
TH2: Nếu 
Ta có: ; 
Xét 
Vậy: + Với thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 
+ Với thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 
 Loại
TH3: Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 
 Loại.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10: Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải
Đặt từ giả thiết ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: 
.
Khi đó biểu thức .
Xét hàm số trên đoạn 
Ta có .
Ta có bảng biến thiên:
 0 2
 6
 0
Vậy: đạt được khi hay và .
 khi hay .
Ví dụ 11: Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
Đặt . Ta có 
.
Khi đó ta có .
Xét hàm số với .
 6 2
 6 2
Lập bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta có khi hay 
Ví dụ 12: Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải
Ta có 
Đặt và 
Khi đó với 
Bảng biến thiên hàm số trên đoạn 
 0 3
 84
 0
Vậy: , khi 
	, khi hoặc hoặc 
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải
TXĐ: .
Đặt .
Khi đó hàm số đã cho trở thành: với .
Ta có bảng biến thiên:
 0 2
 5
 - 3
Vậy: 	
Ví dụ 14: Cho là các số thực thỏa mãn: . Gọi là giá trị lớn nhất và là giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Tính .
Giải
Ta có: 
Đặt . Suy ra .
Từ giả thiết ta có: 
Mặt khác .
Xét hàm số trên đoạn 
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có .
Vậy: .
Ví dụ 15. Cho là các số thực dương và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: .
Giải
Đặt từ giả thiết ta có và .
Áp dụng bất đẳng thức .
Khi đó 
Xét hàm số trên khoảng .
Ta có bảng biến thiên:
Ta có 
Vậy: . Dấu bằng xảy ra khi tức .
Ví dụ 16: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 trên đoạn . Tính .
Giải
Đặt . Do 
Khi đó hàm số đã cho trở thành: với .
Ta có bảng biến thiên: 
Suy ra: ; .
Vậy: .
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số trên đoạn .
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn: Đặt 
Mặt khác the bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: 
Từ và ta coa: .
Bài 4. Cho các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: Phân tích 
.
Đặt .
IV. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
4.1. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
	- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra ví dụ và bài tập sách giáo khoa, yêu cầu học sinh nghiên cứu và gọi học sinh lên giải. Sau khi học sinh giải xong thầy nhấn mạnh về phương pháp giải.
	- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
4.2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
4.3.Kết quả nghiên cứu.
 	Thời gian đầu khi mới ra trường tôi dạy tại lớp A3 chưa đưa ra phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất, bậc hai thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và cảm thấy ngại kho gặp dạng toán này. Nhưng ở những năm học sau tôi tìm ra những phương pháp đó và nghiên cứu sâu hơn thì tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng, tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức và thống kê một số sai lầm cũng như những sai lầm phổ biến trên các lớp tôi dạy thì thu được kết quả sau:	
Lớp
Năm học
Số học sinh đạt yêu cầu
11A3
2008-2009
20/55 (36,4%)
11B3
2009-2010
42/55 (76,4%)
11C8
2010-2011
29/45 (64,4%)
11A7
2011-2012
26/49 (53,1%)
10B1
2017-2018
31/43(72,1%)
C. KẾT LUẬN.
	I. Kết luận.
Qua quá trình thực hiện nhiệm vụ của đề tài, tôi đã thu được một số kết luận như sau:
- Trên cơ sở thu thập các tài liệu tôi đã làm sáng tỏ được vai trò, ý nghĩa của việc học hàm số bậc nhất, bậc hai trong trường phổ thông hiện nay.
- Tìm được khá nhiều những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải bài tập về bất đẳng thức. Những khó khăn và sai lầm đó đa số tôi tìm được qua thực tế giải bài tập của học sinh, chỉ có một số theo phỏng đoán của mình. 
- Sau khi tìm ra những khó khăn và sai lầm đó tôi không chỉ đi tìm lời giải đúng mà khó khăn hơn phải tìm được phương pháp mới để học sinh dễ vận dụng nhất.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi của đề tài.
 - Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh học toán, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô cùng các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày càng hoàn thiện. Tôi xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG