SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá

A. MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1- Mở đầu 
1
1.1.Lí do chọn đề tài
1
1.2.Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
18
3. Kết luận, kiến nghị.
19
3.1. Kết luận
19
3.2. Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21
1 / Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Giải Toán là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán vào thực tiễn. Đồng thời hình thành ở người học các phẩm chất của người lao động như: Cẩn thận, chính xác, sáng tạo, độc lập, kiên trì... [6]. Chính vì vậy, tổ chức một cách có hiệu quả việc hướng dẫn học sinh làm bài tập Toán có một vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Trong các loại phương trình ở cấp THCS thì phương trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò quan trọng. Các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn mang tính hệ thống, bao quát các khái niệm, các phép toán về các tập hợp số, về các biểu thức đại số. Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắc sâu, hoàn thiện các dạng toán đã học ở chương trình số học và đại số . Đồng thời phương trình bậc hai một ẩn là đơn vị kiến thức sau cùng và hầu như kết thúc chương trình đại số cấp THCS . Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn có thể đánh giá được khả năng và trình độ học bộ môn số học và đại số của học sinh . Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn luôn được dùng để kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS thông qua các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kì và thi tuyển vào THPT.
Thực tế, kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn trong sách giáo khoa không nhiều ngoài công thức nghiệm và định lý Vi-ét. Tuy nhiên, các dạng bài tập thì lại rất phong phú và đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt các dạng bài tập, biết cách giải từng dạng bài tập cụ thể. Song thực tế ở trường THCS Thiệu Ngọc những năm trước đây, các em học sinh lớp 9 rất lúng túng khi làm các dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn. Hầu hết các em chưa phân biệt được các dạng bài tập và chưa tìm được cách giải cho từng dạng mà chỉ mới đơn thuần làm dạng toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm. Thậm chí các em còn rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm đối với những phương trình chỉ cần áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét hoặc cả với những phương trình bậc hai khuyết... Chính vì thế, kết quả học tập của các em về bộ môn toán không cao dẫn tới tỉ lệ tốt nghiệp THCS, tỉ lệ thi vào THPT của nhà trường còn thấp.
Bên cạnh đó, trong văn kiện đại hội Đảng lần thứ XII khẳng định: Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực, không chỉ là quốc sách hàng đầu, là “chìa khoá” mở ra con đường đưa đất nước tiến lên phía trước, mà còn là “mệnh lệnh” của cuộc sống là tiêu điểm của sự phát triển, mang tính đột phá, khai mở con đường phát triển nguồn nhân lực Việt Nam trong thế kỷ XXI, khẳng định triết lí nhân sinh mới của nền giáo dục nước nhà “dạy người, dạy chữ, dạy nghề”.[5]
Đứng trước mục tiêu giáo dục xã hội và sự thay đổi lớn của ngành, bản thân tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lượng giảng dạy và học tập trong nhà trường nhất là tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS và tỷ lệ học sinh vào THPT của nhà trường. Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thời gian tìm hiểu và nghiên cứu: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”, cùng quá trình ôn luyện cho học sinh tôi mong muốn giúp học sinh tìm được cách giải cho từng dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn một cách tốt nhất. Đặc biệt, các em hiểu được cơ sở lý luận của từng cách giải và nắm được những kiến thức liên quan đến từng dạng toán. Từ đó, giúp các em đạt kết quả cao trong kiểm tra học kỳ, thi vào THPT và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán trong nhà trường.
1.3.Đối tượng nghiên cứu :
 Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu:
- Xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Điều tra, khảo sát thông qua thực tế: Thông qua quá trình công tác và giảng dạy để nghiên cứu; Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là qua việc ôn thi học kì và ôn thi vào THPT.
- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo.
- Thông qua học hỏi đồng nghiệp, thu thập thông tin qua tạp chí giáo dục, qua mạng Internet.
- Bằng cách khảo sát chất lượng học sinh, nắm bắt, xử lý thông tin, số liệu.
2/ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 “Giải toán là bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức, nó đảm bảo cho học sinh không những hiểu biết lí thuyết Toán một cách vững chắc mà còn biết vận dụng các tri thức Toán học vào thực hành. Chỉ có trong quá trình áp dụng lí thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán nhiều loại mới có thể hiểu biết lí thuyết một cách đầy đủ” [3]. Chính vì vậy, hướng dẫn học sinh giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có vai trò hết sức quan trọng. Thực tiễn dạy học về phương trình bậc hai một ẩn cho thấy, mỗi bài tập toán đều có chức năng và dụng ý khác nhau. Để nắm bắt được điều đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các khái niệm về tập hợp số và các biểu thức đại số, các phép toán và tính chất của các phép toán đã học để xây dựng công thức nghiệm, đây là một công cụ cơ bản để giải phương trình bậc hai một ẩn. Việc thiết lập định lý Vi- ét kết hợp với công thức nghiệm và một số dạng toán đã học ở lớp dưới sẽ giúp học sinh giải một số dạng toán khác về phương trình bậc hai một ẩn. Thực tế nghiên cứu và giảng dạy cho thấy, các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn là một cách tổng quát và hoàn thiện các dạng toán đã học ở lớp 6, lớp 7, lớp 8 và phần đầu của chương trình đại số lớp 9. Về lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn rất ít, chỉ có công thức nghiệm và định lý Vi- ét nhưng lại đòi hỏi nhiều việc khai thác kiến thức mới và vận dụng kiến thức cũ. Đặc biệt chỉ khai thác định lý Vi- ét và áp dụng các dạng toán đã học giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải được rất nhiều dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Từ đó để học sinh tìm được hướng giải quyết bài toán một cách tốt nhất, góp phần phát triển ở học sinh năng lực tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Đồng thời góp phần kiểm tra quá trình dạy - học của giáo viên - học sinh từ đó kịp thời hoàn chỉnh, bổ sung để việc dạy học có hiệu quả.
G.polya từng nói : “Tìm được cách giải cho một bài toán là một phát minh” [3]. Vì vậy, để hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản. Đặc biệt, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán bằng cách nắm vững quy trình của một bài làm : 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
 Bước 2: Tìm cách giải.
 Bước 3: Trình bày lời giải.
	Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải [3].
 	Qua đó hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng giải toán cũng như khả năng tư duy phẩm chất trí tuệ.
Như vậy, muốn giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn học sinh phải nắm vững các kiến thức và các dạng toán đã học ở các lớp dưới cũng như của lớp 9. Đặc biệt nắm vững công thức nghiệm, định lý Vi- ét, hệ quả của định lý và biết cách khai thác tốt định lý. Học sinh phải nhận dạng nhanh các dạng toán để tìm phương pháp giải cho từng dạng một cách linh hoạt, sáng tạo. Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò quan trọng trong chương trình đại số nói riêng và chương toán nói chung ở cấp THCS đồng thời phương trình bậc hai một ẩn luôn được dùng để kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 
Qua tìm hiểu, khảo sát thực tế học sinh khối 9 trường THCS Thiệu Ngọc cho thấy, học sinh rất lúng túng khi giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Các em hầu như chưa biết phân loại các dạng toán cũng như chưa biết cách giải của từng dạng toán. Hầu hết các em mới chỉ đơn thuần giải được dạng toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm. Nhiều em rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phương trình không cần sử dụng công thức nghiệm nhưng các em vẫn áp dụng công thức nghiệm. Đa số các em chưa giải được các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai thác định lý Vi- ét. Đặc biệt các em chưa biết vận dụng các dạng toán đã học vào giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Do đó kết quả làm bài kiểm tra và bài thi của các em chưa cao đặc biệt là kết quả thi học kì, thi tuyển vào THPT.
Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em chưa nắm vững công thức nghiệm và chưa biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý. Chưa biết sử dụng và chưa biết cách khai thác định lý Vi- ét. Các em không nhớ các kiến thức và các dạng toán đã học do đó không biết vận dụng các dạng toán đó vào giải các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn. Trong khi đó bản thân giáo viên lại chủ quan khi dạy phần kiến thức này. Có thể giáo viên cho rằng chỉ cần truyền đạt cho học sinh nắm được công thức nghiệm và định lý Vi- ét là đã đủ mà không nghĩ đến việc hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức cũ cũng như hướng dẫn học sinh khai thác định lý Vi- ét để giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn. Bên cạnh đó, các tổ nhóm chuyên môn cũng chưa xác định được tầm quan trọng của các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn do đó chưa chú trọng chỉ đạo để cho giáo viên có phương hướng và giải pháp tích cực cho dạy phần này. Chính vì thế mà hiệu quả giảng dạy trong chương phương trình bậc hai một ẩn của nhà trường trong những năm qua chưa cao. Điều đó dẫn đến chất lượng của giờ dạy cũng như kết quả đạt được của học sinh là chưa đạt yêu cầu đề ra, nhất là tỉ lệ học sinh khá, giỏi. Cụ thể, kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp 9 môn Toán trước khi áp dụng đề tài như sau:
Năm học
Số học sinh
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2016-2017
32
4
12,5
10
31,3
12
37,5
4
12,5
2
6,2
2017-2018
30
4
13,3
9
30
10
33,3
5
16,7
2
6,7
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Trước tình hình trên, để giúp học sinh sử dụng công thức nghiệm tổng quát ( công thức nghiệm thu gọn) vào giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn phù hợp với yêu cầu và trình độ của học sinh lớp 9 trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá tôi đã tiến hành giải pháp sau:
2.3.1. Yêu cầu học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học:
 Để giúp học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học một cách hiệu quả có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xây dựng mục tiêu học tập: Cần giúp mỗi học sinh cách xây dựng kế hoạch học tập, bởi ban đầu học sinh chưa biết cách thiết lập mục tiêu cho mình. Tôi đã hướng dẫn và chỉ đạo thực hiện theo các mục tiêu sau:
Về kiến thức: Học sinh nhớ biệt thức và nhớ kĩ các điều kiện của () để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. Biết vận dụng hệ quả của định lý Vi –ét vào giải phương trình bậc hai không có tham số và có tham số.
Về kĩ năng: Học sinh nhớ và vận dụng được công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn vào giải phương trình một cách linh hoạt. Học sinh thấy được lợi ích của việc sử dụng công thức nghiệm thu gọn, việc sử dụng định lý Vi - ét vào giải toán.
Bước 2: Thực hiện mục tiêu: Là khâu quan trọng nhất, quyết định sự thành bại việc học của mỗi học sinh. Do đó, tôi đã đặt trọng tâm vào khâu này để hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra việc thực hiện của học sinh.
Việc thực hiện tốt mục tiêu học tập sẽ tạo ra được phẩm chất, năng lực người biết học, biết tự học. 
 Trong khi thực hiện mục tiêu, bản thân tôi đã quán triệt học sinh cần phải: Tập trung tư tưởng khi học, khi tự học. Không thực hiện nhiều nhiệm vụ cùng lúc. Không vừa học vừa xem vô tuyến, không nói chuyện lung tung,...Cần tạo hứng thú khi học, khi tự học. Tin rằng mình sẽ học được điều mình cần học, hy vọng rằng mình sẽ tìm được điều mới lạ khi học, có thể sẽ được thưởng sau khi đạt kết quả cao. Cần sử dụng thời gian một cách tối ưu, có hiệu quả cao nhất. Tập trung giải quyết dứt điểm từng nhiệm vụ, phương châm là đâu gọn đấy, học gì xong nấy, bài hôm nay không để ngày mai. Những gì vượt quá khả năng thì đánh dấu lại rồi có thể hỏi cô, nhờ bạn khi có điều kiện. Cần quyết tâm vượt khó, khắc phục khó khăn do điều kiện, hoàn cảnh cá nhân, gia đình...
Bước 3: Tự đánh giá việc thực hiện mục tiêu: tức là biết cách kiểm điểm lại xem các mục tiêu đặt ra có hoàn thành hết không? Mỗi mục tiêu có hoàn thành tốt không? Có những tồn tại gì, nguyên nhân, dự kiến cách khắc phục.
2.3.2. Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn. 
 Để làm bất cứ một bài tập gì người học phải nắm vững lý thuyết. Không nắm được lý thuyết thì khó có thể làm được bài tập hoặc nếu có làm được thì cũng chỉ là làm mò, bài làm không có hiệu quả tốt.
 Việc vận dụng công thức nghiệm vào giải toán cũng vậy. Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh phải nắm được các kiển thức về phương trình bậc hai một ẩn. Cụ thể học sinh phải nắm vững được 4 vấn đề :
- Cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn.
- Công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, định lý Vi –ét và hệ quả của định lí Vi –ét.
- Sự giống và khác nhau của công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn.
- Mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
 Bởi vì: Khi hiểu được cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn thì học sinh sẽ tiếp thu các kiển thức về phương trình bậc hai một ẩn một cách thoải mái, các em sẽ có niềm tin hơn, hào hứng hơn khi học về phương trình bậc hai một ẩn. Khi đã nắm được công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, sự giống nhau và khác nhau của chúng thì học sinh mới giải được các bài toán có vận dụng phương trình bậc hai một ẩn một cách hợp lý. Mặt khác, khi giải một bài toán về phương trình bậc hai một ẩn, người học không chỉ biết cách giải mà còn phải tìm ra được nhiều cách giải, đặc biệt là tìm được cách giải hay nhất cho mỗi bài toán thì mới mang lại hiệu quả cao trong học tập. Mà để tìm ra được các cách giải hay chúng ta phải nắm vững mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. Những mối quan hệ này giúp chúng ta nắm được cơ sở lý thuyết của các phương pháp, các cách giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn.
 Tóm lại, để học sinh nắm được các kiến thức về phương trình bậc hai và vận dụng các kiến thức vào giải toán việc đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm vững các vấn đề trên. Có nghĩa là yêu cầu học sinh phải thuộc công thức nghiệm, Định lý Vi –ét, hệ quả của định lý Vi –ét, nắm được sự giống và khác nhau của các công thức và mối quan hệ của các nghiệm trong phương trình.
2.3.3. Xây dựng hệ thống bài tập và phương pháp giải của một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ấn.
	Trong thực tế giải các bài toán, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn mà chúng ta có thể giải bài toán một cách linh hoạt. Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học. Đồng thời, giúp học sinh có tư duy và vân dụng giải toán một cách tốt nhất.
2.3.3.1. Dạng 1: Giải phương trình :
Đây là dạng toán đơn giản của phương trình bậc hai một ẩn. Nhưng nếu chúng ta chủ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm như : sử dụng công thức nghiệm máy móc hoặc chưa biết sử dụng công thức nghiệm nào cho phù hợp. Do đó cần hướng dẫn học sinh phân biệt hai trường hợp sau:
2.3.3.1.1.Trường hợp thứ nhất : Đối với phương trình bậc hai khuyết thì không cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đưa phương trình về các dạng đã gặp : 
* Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phương trình về dạng phương trình tích đã học
ở lớp 8 cụ thể như sau: [7]
* Nếu khuyết hệ số b ta đưa phương trình về dạng phương trình chứa căn bậc hai đã học đầu chương trình lớp 9 cách giải cụ thể như sau: 
Bước 1: Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
Bước 2: Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng : x2 = d
+) Nếu d > 0 phương trình có nghiệm 
+) Nếu d = 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) Nếu d < 0 phương trình vô nghiệm [2].
Ví dụ 1: (Bài 12a, c, d, tr.42 SGK) : Giải các phương trình sau [1]:
a) x2 - 8 = 0 ; c) 0,4x2 + 1 = 0; d) 2x2 +x = 0
 	Ở phương trình a) khuyết b nên ta biến đổi đưa về dạng trình chứa căn bậc hai; Phương trình c) do hệ số a và c cùng dấu nên phương trình vô nghiệm; Phương trình d) khuyết c nên ta đưa về dạng phương trình tích rồi giải như sau: 
Giải: 
a) x2 = 8 x2 = 8 x=
Vậy phương trình có tập nghiệm S=
c) 0,4x2 +1 = 0 0,4x2 = - 1 (Vô lí vì 0,4x20 với mọi x mà -1<0)
Vậy phương trình vô nghiệm
d) x(x + 1 ) = 0 
 	Vậy phương trình có tập nghiệm S=
Giáo viên nên lưu ý học sinh nếu hệ số a và hệ số c cùng dấu thì
phương trình đã cho vô nghiệm ( lúc đó biểu thức dưới dấu căn sẽ mang giá trị 
âm), không cần giải nữa mà có thể kết luận luôn về nghiệm của phương trình.
2.3.3.1.2. Trường hợp thứ hai: Đối với phương trình bậc hai có dạng : 
 () phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và hệ quả định lý Vi- ét để giải. Cần hướng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau :
* Trước hết xét các hệ số a, b, c trong phương trình:
+ Nếu có dạng thì phương trình có một nghiệm x1 =1; x2 = .
+ Nếu thì phương trình có một nghiệm x1= -1; x2= - [1].
* Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b:
- Nếu hệ số b chẵn thì nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn:
Đối với phương trình () và :
+ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
 + Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 
+ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1]. 
- Nếu hệ số b lẻ thì nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát.
Đối với phương trình () và :
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 
+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1].
Ví dụ 1: (Bài 16c, tr.45 SGK+ Bài 17c, tr.49 SGK ) : Giải các phương trình sau [1] :
* Ở phương trình a) vì a = 6; b = 1; c = -5 nên nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có thể nhẩm được nghiệm của phương trình. Ngoài cách nhẩm nghiệm do hệ số b =1 lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát ta cũng có thể tìm nghiệm của phương trình đã cho.
* Ở phương trình b) ta cũng có thể làm bằng hai cách như câu a: Vì a = 5; b = - 6; c = 1 và nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có thể nhẩm được nghiệm của phương trình đã cho. Ngoài ra, vì hệ số b = - 6 là số chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn ta cũng có thể tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Giải: 
 a) Cách 1: Vì a - b + c = 6 -1 - 5 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = .
Cách 2: = 12 - 4.6.(-5) = 1 + 120 = 121
 Vì > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
 x1 = ; x2 = 
Vậy phương trình có tập nghiệm S=
b) Cách 1: 
Vì a + b + c = 5 - 6 +1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = .
Cách 2: ’ = (-3)2 - 5.1 = 9 - 5 = 4
 Vì ’ > 0 nên phương trình có 2 nghiệ