SKKN Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức Vi - Et để giải các bài toán bậc hai nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9

Mục lục
TT
Nội dung
Trang
1	111
1.Mở đầu
2
2
1.1.Lí do chọn đề tài 
2
3
 1.2.Mục đích nghiên cứu 
2
4
1.3.Đối tượng nghiên cứu 
2
5
1.4.Phương pháp nghiên cứu 
3
6
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 
3
7
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
3
8
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 
3
9
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
4
10
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
4
11
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,v
với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường 
17
12
3.Kết luận,kiến nghị 
18
13
3.1.Kết luận
18
14
3.2. Kiến nghị
18
Tài liệu tham khảo
20
1 . Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn học khó và quan trọng trong bậc phổ thông vì nó là cơ sở của các ngành khoa học khác .Có kiến thức cơ bản về môn toán sẽ tạo cơ sở vững chắc cho việc học tốt các môn khoa học tự nhiên .
Để nâng cao chất lượng các môn học nói chung và môn toán nói riêng ngành giáo dục đã và đang từng bước đổi mới chương trình ,phương pháp giảng dạy đẻ phát huy tính tích cực,chủ động của học sinh và một trong những quan điểm chỉ đạo xây dựng chương trình mới,đổi mới phương pháp giảng dạy là giảm lí thuyết và tăng yêu cầu thực hành,giúp học sinh có kỹ năng giải bài tập toán và úng dụng giải quyết các tình huống,vận dụng vào thực tế cuộc sống hằng ngày .
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh,giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản,tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên thiếu tự tin và lúng túng không biết ứng dụng hệ thức vi-ét để giải.
Để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên và có định hướng đúng đắn trước các bài toán bậc hai có phương pháp giải phù hợp cho mỗi bài toán ở dạng này đồng thời giúp học sinh tự tin và đạt kết quả cao trong các kì thi tôi đã chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức Vi-et để giải các bài toán bậc hai nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9”
1.2.Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
1.3.Đối tượng nghiên cứu 
 - Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.	
1.4.Phương pháp nghiên cứu:	
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Phương pháp thực nghiệm sư phạm 
1.5.Những điểm mới của sáng kiến:
Sáng kiến đã soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn	.
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai .	
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.	
 Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình. 	
 Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số. 	
 Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.	
 Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.	
 Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
2. Nội dung 
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm :
 Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động toán học. Học sinh - chủ thể của hoạt động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo , thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi phát hiện kiến thức mới. Giáo viên không cung cấp , không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm lĩnh tri thức. Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức giúp rèn luyện khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học. 
 Thế nhưng “làm thế nào để giúp học sinh học tập tốt môn toán ?” luôn là câu hỏi trăn trở bao người thầy có tâm huyết .Và chính các thầy cô ấy đã góp phần không nhỏ vào việc đổi mới phương pháp giáo dục,tích luỹ kinh nghiệm của mình để áp dụng vào mỗi giờ dạy và từng ngày nâng cao chất lượng của học sinh, đáp ứng được nhu cầu và sự phát triển của xã hội .Là giáo viên trục tiếp giảng dạy ,tôi luôn suy nghĩ tìm cách đổi mới phương pháp giảng dạy để phát huy tính tích cực,độc lập sáng tạo của học sinh .
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết : định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn,lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng, học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1.Thuận lợi:
-Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 5 năm,bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức vi-et để giải các bài toán bậc hai nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 ”
- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức. 
2.2.2. Khó khăn:
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết . Do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh gia đình làm nông nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
2.2.3. Thực trạng của giáo viên và học sinh trường THCS Lưu Vệ
Những mặt đã đạt được:
- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
- Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ. 
 Những mặt chưa đạt:
 - Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh đạt giải cấp huyện môn Toán nhưng chưa nhiều và giải chưa cao
- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu, để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
Số liệu thống kê kết quả học tập khi chưa áp dụng đề tài :
Lớp 
Số HS
Giỏi
Khá
Trung bình 
Yếu
Kém
Ts
%
Ts
%
Ts
%
Ts
%
Ts
%
9A
43
5
11,5
10
23,0
19
44,8
8
18,4
1
2,3
Từ những thuận lợi , khó khăn và các thực trạng trên, với đề tài này tôi mong sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 
 *Định lý Vi-et:
 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì :
*Ứng dụng :
-Tính nhẩm nghiệm :
 +Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a+b+c =0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 ,nghiệm kia là x2 =
 +Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a - b+c =0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 ,nghiệm kia là x2 = -
-Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 
Nếu có hai số u và v thoã mãn điều kiện :
 thì u ; v là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0.Điều kiện để có hai số u ;v là: S2 – 4P ³ 0.
 - Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 dạng sau:
 Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn	.
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai .
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
	Cụ thể như sau:
 Dạng 1.Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
Dạng đặc biệt:
Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b) 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải: Ta thấy:
a) Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = 
 b) Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0 
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0 
c/ x2 - 49x - 50 = 0 
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0 
Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ: 
 a/ Phương trình x2 – 2mx + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm m và nghiệm kia.
 b/ Phương trình x2 + 5x + n= 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm n và nghiệm kia.
 c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải: 
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2mx + 5 = 0 , ta được:
 4 – 4m + 5 = 0 
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = 
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + n = 0 , ta được:
 25+ 25 + n = 0 
Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau: 
Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18 
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: 
	Với thì Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 
Với thì Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 
 Dạng 2.Lập phương trình bậc hai :
1/. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2	
Ví dụ: Cho x1= 5; x2= 8 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: 
 x2 – Sx + P = 0 x2 – 13x + 40 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
	a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ và x2= 1 - 
 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ: 	Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Vậy phương trình cần lập có dạng: 
 hay 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
(Đáp số: )
2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
(Đáp số: )
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 < x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : và 
4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho: 
a/ và 
b/ và 
 (Đáp số: a/ ; b/ )
 Dạng 3.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Ví dụ: 	Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải: 
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4 
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
 giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
	Vậy	nếu a = 1 thì b = - 4
	nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: 
 Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
	a/ S = 3 và P = 2
	b/ S = -3 và P = 6
	c/ S = 9 và P = 20
	d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao: 
 Tìm hai số a, b biết:
	a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 
	b/ a - b = 5 và a.b = 36
	c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
 Hướng dẫn: 
	 a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
 Từ 
 Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: 
 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
	 Nếu a = 5 thì b = 4
	b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
 Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: 
 Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
	 Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 4 thì b = 9
	c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 Từ 
- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Dạng 4.Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
 	Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức. 
 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1: 
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
Ví dụ 2: 
Ta biến đổi 
Bài tập áp dụng: 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
	a/ 
 ( HD )
b/
 (HD )
c/ 
 ( HD )
d/ 
 ( HD )
e/ 
f/ 
g/ 
h/ 
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ : 
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 
b/ 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
a/ 
b/ 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp số: 46)
b/ 	(Đáp số : )
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp số : 65)
b/ 	(Đáp số: )
3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp số: 138)
b/ 	(Đáp số : )
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp số : 1)
b/ 	(Đáp số: )
c/ 	(Đáp số: 3)
d/ 	(Đáp số : 1)
5/ Cho phương trình: x2 - 4x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải phương trình, hãy tính: 
(HD: )
6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x1, x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : theo m.
Dạng 5.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
	Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và r≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Rút m từ (1), ta có: 
Rút m từ (2), ta có: 
Từ (3) và (4), ta có: 
Ví dụ 2 : 
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Thay vào biểu thức A, ta có: 
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 
Vậy A = 0 với mọi và . 
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn:- Tính r ta được: r= (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : độc lập đối với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không phụ thuộc giá trị của m. 
Hướng dẫn:
- Tính r ta được: r= 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : không phụ thuộc giá trị của m.
Dạng 6.Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:
 Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và r≥ 0).
 Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số).
 Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 : 
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Vì (giả thiết)
Nên ( thỏa mãn)
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Ví dụ 2 : 
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Vì (giả thiết)
Nên 
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1: 
ĐKXĐ: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Suy ra: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
m2 + 127m - 128 = 0m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2: 
ĐKXĐ: 
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0(TMĐK).
Bài 3: 
Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
 (TMĐK).
Dang 7.Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2