SKKN Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỪ MỘT TÍNH CHẤT QUEN THUỘC
 Người thực hiện: Lê Văn Tú
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
1 MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của HS thông qua việc khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển hình cơ bản, đồng thời biết ứng dụng các bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu thì lời giải của nó cũng có thể đưa được về một chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việc giải bài toán phức tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán cơ bản. Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giải các bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho HS. Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi ở các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều bài toán, trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc”.
 Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng dạng, giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này, có kỹ năng giải bài tập dễ dàng hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Với sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc", tôi mong muốn giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 trước hết nắm vững cách chứng minh tính chất quen thuộc là: 
 “Với số tự nhiên x, nếu là số hữu tỉ thì cũng là số tự nhiên” (*) . Sau đó các em biết vận dụng tính chất vào khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi. Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trong các đề thi học sinh giỏi. Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn các em thấy được đằng sau những tính chất cơ bản quen thuộc tưởng chừng như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, những khám phá bổ ích và lý thú. Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu	
 Trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, 8 và lớp 9, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc ta thường xuyên bắt gặp các bài thi khai thác từ đẳng thức (*) . Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số dạng toán khai thác từ tính chất (*), hệ thống các dạng bài tập cũng như định hướng giải cho mỗi dạng bài. Với mỗi dạng bài tập tôi trình bày theo mức độ từ dễ đến khó. Từ đó giúp học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Xây dựng đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp:
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết.
- Phương pháp thực nghiệm khoa học.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Gọi là các biểu thức chứa biến x, khi đó :
2.1.1. .
2.1.2. .
2.1.3. nếu .
2.1.4. Nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 và thì 
2.1.5. hoặc .
2.1.6. Nếu và hoặc thì .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chất lượng đại trà, thì cần phải chú trọng đến chất lượng học sinh mũi nhọn, trong đó công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 là rất quan trọng. Muốn nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên ngoài việc phải phân loại được các chuyên đề và dạng toán cho từng chuyên đề đó thì khai thác các bài toán cơ bản để giải các bài toán khó là một việc làm rất cần thiết để giúp các em nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới ôn thi học sinh giỏi Toán 7, 8, 9,các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa có sự khai thác, liên hệ. Vì vậy khi học sinh làm bài tập, hoặc bài thi mà có sự liên quan thì các em thường tỏ ra lúng túng, nhiều em không định hướng được cách giải. Chính vì vậy,các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị ẩn sau các bài toán cơ bản quen thuộc. Sau một vài năm, bản thân tôi cũng có nhiều kinh nghiệm hơn trong công tác bồi dưỡng HSG, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải được hệ thống thành các chủ đề, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, và đặc biệt là giúp các em thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức để kích thích sự tìm tòi, sáng tạo. Do đó tôi đã dần dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này và hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng nghiệp.
 Ta đã biết một tính chất rất quen thuộc với các học sinh là: 
“Với số tự nhiên x, nếu là số hữu tỉ thì cũng là số tự nhiên” (*). Khi ôn đội tuyển HSG Toán 9 tôi có đưa ra cho HS làm bài toán sau trong 30 phút:
Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên
Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn : 
 c) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và là số tự nhiên lẻ khác 1. Hãy nhận dạng tam giác này
Thì tôi thấy đa số các em lúng túng, chưa đưa ra được lời giải như mong muốn. Cụ thể là: 
Sĩ số
Điểm
9 – 10
8 – 9
7 – 8
6 – 7
5 – 6
< 5
10
0
1
1
1
3
2
 Từ những thực trạng trên, để việc ôn học sinh giỏi được tốt hơn, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: 
“Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc”, với hy vọng góp một phần nhỏ bé vào việc giúp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 nói riêng đạt được kết quả cao, và đặc biệt gây sự hứng thú, tìm tòi, tư duy cho học sinh.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng
 Để thực hiện tốt đề tài, tôi đã đưa ra các giải pháp thực hiện sau:
Khảo sát chất lượng học sinh: Tôi đã đưa các vấn đề mình cần nghiên cứu để kiểm tra các em dưới những hình thức khác nhau để biết được các em “hổng” ở chỗ nào?
Tìm nguyên nhân vì sao các em “hổng”: Tôi đã tìm ra nguyên nhân dẫn đến một số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi chưa làm được là do các em chưa định ra được cách giải và phương pháp hợp lí cho từng dạng.
Tự học, nghiên cứu các tài liệu, tham khảo các đề thi học sinh giỏi Toán 8, 9 để phân loại, đưa ra các bài tập điển hình.
Có kế hoạch dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phù hợp.
 Trong quá trình học trên lớp, học sinh đã được biết tính chất quen thuộc cơ bản là: 
“Với số tự nhiên x, nếu là số hữu tỉ thì cũng là số tự nhiên” Để chứng minh tính chất này, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan đến phân số tối giản, định nghĩa phép chia hết lớp 6 và định nghĩa số hữu tỉ lớp 7.
Thật vậy : vì nên 
 ( vì )
 đpcm.
	Với tính chất này, ta để ý tới điều kiện x là số tự nhiên, là số hữu tỉ tức là khi được cho dưới dạng phân số hoặc từ một điều kiên nào đó giúp ta có thể biến đổi được dưới dạng phân số thì ta nhớ ngay rằngcũng là số tự nhiên . Do vậy, nếu biến đổi đề bài, hoặc cho thêm giả thiết thì ta sẽ khai thác được một số dạng toán mà học sinh hay gặp trong quá trình ôn thi học sinh giỏi Toán.
 Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, giáo viên phải phân kiến thức thành các chủ đề, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Khi ôn học sinh giỏi về phần này, tôi phân ra các loại toán áp dụng sau:
	- Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là số nguyên.
	- Dạng 2: Tìm điều kiện của biến để biểu thức chứa biến đó có giá trị là số nguyên.
	- Dạng 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên có chứa dấu căn thức 	
	- Dạng 4: Chứng minh là số vô tỉ : 
	- Dạng 5: Giải các bài toán có chứa , trong đó x là số hữu tỉ.
 Khi bắt tay vào giải bài tập, một công việc hết sức quan trọng là đọc kĩ đề và nhận biết được bài toán thuộc dạng toán nào. Từ đó, tôi đưa ra các dạng toán và hệ thống bài tập cho học sinh
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là số nguyên :
 - Từ điều kiện vế trái của đẳng thức là một biểu thức chứa một dấu căn thức, ta nghĩ đến các đẳng thức mà vế trái có chứa nhiều dấu căn thức. 
Ví dụ 1.1: Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: . Suy ra .
- Trường hợp 2: . Đặt , suy ra :
Vì là số hữu tỉ nên áp dụng tính chất (*) suy ra là số tự nhiên.
Tương tự, cũng là số tự nhiên.
 - Từ điều kiện vế trái của đẳng thức là một biểu thức chứa một dấu căn thức với hệ số củabằng 1 , ta nghĩ đến các đẳng thức mà vế trái có chứa nhiều dấu căn thức, các hệ số là các số nguyên khác 1, là các số hữu tỉ .
Ví dụ 1.2: Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: . Suy ra .
- Trường hợp 2: . Đặt , suy ra 
Vì là số hữu tỉ nên áp dụng tính chất (*) suy ra là số tự nhiên.
Tương tự, cũng là số tự nhiên.
Ví dụ 1.3: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho 
Hướng dẫn giải:
- Điều kiện : .
- Ta có : 
Vì 503 là số nguyên tố nên để thì 
Lập luận tương tự, ta cũng có . Suy ra :
Vì và nên . Từ đó ta có bảng các giá trị tương ứng.
m
0
1
2
n
2
1
0
x
2012
503
0
y
0
503
2012
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là , , 
Bài tập áp dụng: 
	1) Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng :
	a) Nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
	b) Nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
	2) Cho các số tự nhiên x, y, z. Chứng minh rằng :
	a) Nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
	b) Nếu có giá trị là số hữu tỉ thì đều là số tự nhiên.
	3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho 
	4) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho 
	5) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho ( với 
P là số nguyên tố )
Dạng 2: Tìm điều kiện của biến để biểu thức chứa biến đó có giá trị là số nguyên.
	Áp dụng tính chất (*) ta có thể tìm được điều kiện của biến để các biểu thức dạng đa thức, phân thức có chứa dấu căn có giá trị là số nguyên.
 Ví dụ 2.1: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
- Nếu thì 
	 ( thỏa mãn)
- Nếu thì 	 . Do đó, áp dụng tính chất (*) suy ra là số tự nhiên.
Đặt . Suy ra : 
Đến đây là bài toán trở nên quen thuộc, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết.
Ví dụ 2.2: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
- Vì nên . Suy ra :	. Do đó, áp dụng tính
 chất (*) suy ra là số tự nhiên.
Đặt . Suy ra : 
Đến đây là bài toán trở nên quen thuộc, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết. 
Chú ý : cần thay các giá trị thỏa mãn (2) vào biểu thức A để kiểm tra lại vì phép biến đổi này không tương đương
Ví dụ 2.3: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
- Vì nên . Do đó, áp dụng tính chất (*) 
suy ra là số tự nhiên.
Đặt . Suy ra : 
Đến đây là bài toán trở nên quen thuộc, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết. 
Chú ý : cần thay các giá trị thỏa mãn (2) vào biểu thức A để kiểm tra lại vì phép biến đổi này không tương đương.
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Bài 2: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Bài 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Dạng 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên có chứa dấu căn thức :
	- Đối với các phương trình bậc 1, 2, 3, ... đối với hai biến x, y. Nhờ có tính chất (1) mà ta có thể thay các biến x, y bởi . 
Ví dụ 3.1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
- Dựa theo cách chứng minh các bài toán ở dạng 1, ta chứng minh được là số tự nhiên.
- Đặt : , ta được phương trình bậc nhất hai ẩn :
- Giả sử tồn tại các số nguyên a, b thỏa mãn (1). 
- Vì nên . 
Thay b = 3k vào (1) ta tìm được 
Suy ra nghiệm của phương trình là : 
Ví dụ 3.2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng đẫn giải:
- Điều kiện : . Ta có :
- Từ (1) và (2) suy ra : 
- Dựa theo cách chứng minh các bài toán ở dạng 1, ta chứng minh được là số tự nhiên.
- Đặt : , ta được phương trình :
- Phương trình (3) là phương trình ước số quen thuộc. Giải ra ta được :
Ví dụ 3.3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 [1]
Hướng dẫn giải:
- Vận dụng tính chất (*) ta lần lượt chứng minh : 
Chứng minh:
Đặt , thay vào (1) ta được :
Ta có : 
Vì nên là các ước của 2017. 
Vì 2017 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp :
1) 2) 
Vậy các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn là : và 
Ví dụ 3.4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
- Điều kiện : . Ta có :
- Đặt : , phương trình (1) trở thành :
- Biến đổi tương tự ví dụ 3.2 ta được là số tự nhiên.
- Đặt : , ta được phương trình :
- Từ (3) suy ra : là các ước của 4 và có tích bằng 4.
Vì nên . Vì là số lẻ. Suy ra : 
Ví dụ 3.5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
- Điều kiện : 
- Áp dụng tính chất (*) suy ra là số tự nhiên.
- Đặt : , phương trình (1) trở thành :
- Đặt : với rồi thay vào (2) và rút gọn, ta có: 
- Nếu k = 0 thì ta tìm được b = - 13 ( loại)
- Nếu , ta coi (3) là phương trình bâc hai ẩn b. 
- Nếu thì ( Không thỏa mãn )
- Nếu thì ( Không thỏa mãn )
- Xét các trường hợp : , rồi thử trực tiếp ta được k = 1 thỏa mãn. Khi đó , suy ra : .
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Dạng 4: Chứng minh là số vô tỉ : 
 - Ta biết rằng, với một số thực a bất kì thì hoặc a là số hữu tỉ hoặc a là số vô tỉ. Theo tính chất (*), với x là số tự nhiên mà là số hữu tỉ thì là số tự 
nhiên. Nhưng khi là số tự nhiên thì x là số chính phương. Điều này làm ta nghỉ tới tính chất “ Nếu x là số tự nhiên nhưng không phải là số chính phương thì là số vô tỉ ”. Như vậy : Để chứng minh là số vô tỉ ta chỉ cần chứng minh x không phải là số chính phương. Dưới đây là một số ví dụ.
Ví dụ 4.1: Chứng minh rằng là số vô tỉ: 
Hướng dẫn giải:
Giả sử là số hữu tỉ. Khi đó, ta có thể đặt : , với
. Suy ra : 
( vì ). ( vô lí ). Vậy là số vô tỉ.
Ví dụ 4.2: Chứng minh rằng là số vô tỉ với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải:
- Giả sử là số hữu tỉ. Khi đó, là số tự nhiên. 
- Đặt (1)
Vì nên k – n, k + n là hai số cùng tính chẵn lẻ. Nhưng vế phải của (1) là số chẵn nên k – n, k + n là hai số chẵn. Điều náy vô lí.
Vậy là số vô tỉ.
Ví dụ 4.3:Chứng minh rằng là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n.
Hướng dẫn giải:
- Ta có : 
- Vì tích của ba số tự nhiên chia hết cho 3 nên 
Chia cho 3 dư 2. 
- Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được số chính phương chia cho 3 chỉ có dư là 0 hoặc 1. Suy ra không là số chính phương.
Vậy là số vô tỉ.
Ví dụ 4.4: Tìm các số tự nhiên n sao cho là số vô tỉ .
Hướng dẫn giải:
- Trước hết ta tìm các giá trị của n để là số hữu tỉ.
- Giả sử là số hữu tỉ. Khi đó, là số tự nhiên. 
- Đặt 
Suy ra k - n là ước nguyên của 9. 
Ta có bảng các giá trị tương ứng của n – k, n + k và n, k.
-9
-3
-1
1
3
9
-1
-3
-9
9
3
1
n
4
0
- 4
k
-5 
( loại)
-3
( loại)
-5 
( loại)
5
( thỏa mãn)
3
( thỏa mãn)
5
( thỏa mãn)
- Từ bảng các giá trị tương ứng trên suy ra : 
Vậy để là số vô tỉ thì .
Ví dụ 4.5: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : (1)
Hướng dẫn giải:
Ta có : 
- Nếu thì ( Vô lí)
- Nếu thì 
Vì nên từ (3) suy ra : .Ta có bảng các giá trị tương tứng :
y
1
3
3
1
4
4
Vậy các số nguyên dương x, y, z cần tìm là ; 
Ví dụ 4.6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện: là số hữu tỉ và là số nguyên tố
Hướng dẫn giải:
Ta có : 
Suy ra : là số hữu tỉ khi và chỉ khi 
Mặt khác, vì nên khi là số nguyên tố thì :
Do x, y, z là các số nguyên dương nên (3)
Từ (2) và (3) suy ra : ( thỏa mãn (1))
Vậy các số nguyên dương a, b, c cần tìm là 
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng là số vô tỉ: 
Bài 2: Chứng minh rằng là số vô tỉ với mọi số nguyên n.
Bài 3: Chứng minh rằng là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n.
Bài 4: Tìm các số tự nhiên n sao cho là số vô tỉ .
Bài 5: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : (1)
Bài 6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện: là số hữu tỉ và là số nguyên tố
Bài 7: Với những giá trị nào của a thì các số và đều là các số nguyên.
Dạng 5: Giải các bài toán có chứa , với x là số hữu tỉ: 
 - Từ điều kiện của biến x là số tự nhiên ta nghỉ đến điều kiện x là số hữu tỉ. Theo đó ta cũng nghỉ đến các trường hợp vế trái là một biểu thức chứa nhiều dấu căn thức. Trước hết ta có tính chất “ Nếu x là số hữu tỉ vàcũng là số hữu tỉ thì x viết được dưới dạng với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau ” (**)
Ví dụ 5.1: Cho x, y là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì cũng là số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: . Suy ra .
- Trường hợp 2: . Đặt , suy ra :
Tương tự : 
Ví dụ 5.2: Cho x, y, z là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì cũng là số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: .
- Trường hợp 2: . Đặt , suy ra :
Đặt : . 
- Trường hợp 1: hoặc
 hoặc . Ta đều có 
- Trường hợp 2: suy ra : 
. 
Chứng minh tương tự, ta cũng có 
Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và là số tự nhiên lẻ khác 1.
Hướng dẫn giải:
- Vì và là độ dài ba cạnh của một tam giác nên : ,
 và là các số hữu tỉ.
- Vì là số tự nhiên ( hiển nhiên là số hữu tỉ) nên theo ví dụ 5.2 suy ra : cũng là các số hữu tỉ.
- Vì nên theo tính chất (**) suy ra :
 ( vì 19 là số nguyên tố )
Tương tự : , . Suy ra :
Mặt khác : ( vì ), suy ra :
 mà là số tự nhiên lẻ khác 1. Suy ra :
Vậy có duy nhất bộ ba số nguyên dương (a, b, c) = (49, 12, 42) thỏa mãn.
Ví dụ 5.4: Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức : . Chứng minh rằng là một số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải:
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho x, y là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì cũng là số hữu tỉ.
Bài 2: Cho x, y, z là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì cũng là số hữu tỉ.
Bài 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 
Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : .
Bài 5: Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn : . Ch