SKKN Hướng dẫn học sinh tiếp cận nhóm bài toán trắc nghiệm trên trường số phức được phát triển từ một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng

MỤC LỤC
1. Mở đầu.................................................................................................. Trang 2.
2. Nội dung sáng kiến........................................................................Trang 3.
2.1. Cơ sở lý luận của SKKN ...................................................................Trang 3.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN......................................Trang 4.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết vấn đề................ .............. Trang 4.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng................ ..Trang 4.
2.3.2. Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn................................ Trang 9.
2.3.3. Các bài toán cực trị liên quan đến đường E-lip.............................Trang 17.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ..........................................................................................Trang 18.
3. Kết luận, kiến nghị..................................................Trang 18.
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Bắt đầu từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn toán đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không những chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần phải có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất để đi đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức vô cùng to lớn. 
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề kiểm tra, đề thi tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài toán khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.
Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỂN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trên tập số phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hình học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan. Đặc biệt với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ, các công thức chuyển đổi từ số phức sang hình học. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình, các dữ kiện, yêu cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi gặp loại toán này. Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán từ bài toán điển hình này cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Một số phép toán mở rộng đối với mô-đun số phức và số phức liên hợp
Cho hai số phức . Ta chứng minh được các tính chất sau:[1]
2.1.2. Biểu diễn hình học của số phức
	- Biểu diễn hình học của số phức với trên mặt phẳng tọa độ là điểm . Khi đó .
	- Biểu diễn hình học của hai số phức và là hai điểm đối xứng nhau qua trục nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức và lần lượt là các hình thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục .
	- Nếu điểm biểu diễn của hai số phức là thì với là trung điểm đoạn .
	- Cho điểm biểu diễn của hai số phức là . Số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là trung trực của đoạn .
	- Cho điểm biểu diễn của hai số phức là . Số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng.
	- Cho là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức chính là đường tròn tâm bán kính .
	- Cho là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là miền trong đường tròn tâm bán kính .
	- Cho là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là miền ngoài đường tròn tâm bán kính .
	- Cho hai số phức không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm . Một số phức thay đổi thỏa mãn . Khi đó
 + Nếu thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường E-lip nhận làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng .
 + Nếu thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triển từ bài toán cực trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý. Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như là gặp những bài toán mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Điểm chạy trên đường thẳng sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm và tính độ dài .
a. Hướng dẫn giải: 
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng . Khi đó , nên độ dài đoạn nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng và .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun với là một số phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng. Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
 + Cho số phức sao cho 
 + Cho số phức thỏa mãn với là hai số phức đã biết.
c. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Cho số phức có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng . Tính giá trị nhỏ nhất của .
 A. .	 B. .	 C. . D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức 
Ví dụ 2: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của là
A. 	B. 	C. 	D. 
 Gợi ý: Gọi và là điểm biểu diễn số phức . Từ đề bài ta có:, hay quỹ tích điểm là đường trung trực đoạn Quỹ tích điểm là đường thẳng .
 Mà với .
Ví dụ 3: Cho số phức không phải số thuần ảo thỏa điều kiện.Giá trị nhỏ nhất của bằng
 A. 2.	 B. 1.	 C. 3.	D. 4.
 Gợi ý: . Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2.
Ví dụ 4: Cho các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là
A. 	B. 	C. 	D. 
 Gợi ý: . Bài toán trở thành: Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2.
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm phân biệt , và đường thẳng . Điểm chạy trên đường thẳng sao cho tổng độ dài đoạn nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm và tính .
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét hai trường hợp 
+) Trường hợp 1 : hai điểm , nằm về hai phía đối với đường thẳng 
Ta có nên , đạt được khi .
+) Trường hợp 2 : hai điểm , cùng phía đối với đường thẳng 
Gọi điểm là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng . Khi đó 
 nên , đạt được khi.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun với là một số phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí của với đường thẳng 
c. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 5: Cho các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là
A. 	B. 	C. 	D. 
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ điều kiện suy ra được quỹ tích điểm là trục . Đặt thì nằm về hai phía trục . Khi đó 
Ví dụ 6: Cho các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là
A. 	B. 	C. 	D. 
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ 
 suy ra được quỹ tích điểm là đường thẳng . Đặt thì nằm về cùng một phía với đường thẳng . Điểm là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng . Khi đó .
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và đoạn thẳng . Điểm chạy trên đoạn thẳng sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm và tính độ dài .
a. Hướng dẫn giải:
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng .Ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: điểm nằm trong đoạn 
Dễ dàng thấy và .
Trường hợp 2: điểm nằm ngoài đoạn 
Dễ dàng thấy và .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đoạn thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun với là một số phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng. Điều kiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm thuộc đoạn thẳng khi và chỉ khi . Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số dạng sau:
 + Cho số phức thỏa mãn với là hai số phức đã biết và .(Đây chính là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý thuyết).
 + Cho số phức thỏa mãn nhỏ nhất với là hai số phức đã biết .
 Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn là phần đường thẳng bị giới hạn ở miền trong đường tròn, elip. Chẳng hạn như: 
 + Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường thẳng, điều kiện còn lại là hoặc .
c. Ví dụ minh họa: 
	Ví dụ 7: Xét số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . Tính . 
A. .	B. .	
C. .	D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức , gọi . Từ giả thiết Quỹ tích điểm chính là đoạn thẳng . Gọi thì . Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của lên đường thẳng nằm trong đoạn . Lại có: .
Ví dụ 8: Xét số phức thỏa mãn nhỏ nhất . Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . Tính . 
 A. . B. . C. . D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức , gọi . Ta có , nghĩa là nhỏ nhất thì quỹ tích điểm chính là đoạn thẳng . Gọi thì . Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của lên đường thẳng nằm ngoài đoạn . Lại có: .
Ví dụ 9: Xét số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A. . B. . C. . D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức , vì nên thuộc đường thẳng , mà nên thuộc miền trong đường tròn . Lại có cắt tại hai điểm phân biệt nên quỹ tích điểm là đoạn thẳng . Gọi thì , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng nằm ngoài đoạn mà nên .
2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm và đường tròn có tâm bán kính . Điểm thay đổi trên đường tròn . Xác định vị trí điểm để độ dài đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét ba trường hợp
Trường hợp 1: điểm nằm ở miền ngoài đường tròn 
 và 
Trường hợp 2: điểm nằm ở trên đường tròn 
 và 
Trường hợp 3: điểm nằm ở miền trong đường tròn 
 và 
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đường tròn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun với là một số phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn. Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
 + Cho số phức thỏa mãn với là hai số phức đã biết.
 + Cho số phức thỏa mãn với là hai số phức đã biết và .
c. Ví dụ minh họa: 
	Ví dụ 10: Cho số phức có thì số phức có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
 A. 2 và 5. B. 1 và 6. C. 2 và 6.	 D. 1 và 5.
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức . Vì nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính . Đặt thì .Dễ thấy điểm nằm ngoài đường tròn nên và .
Ví dụ 11: Cho số phức thoả và . Khi đó có giá trị lớn nhất là:
 A. . B. . C. . D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biểu diễn số phức . Vì nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính . Đặt thì .Dễ thấy điểm nằm ngoài đường tròn nên .
Ví dụ 12: Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thoả mãn điều kiện 
 A. 3.	B. 2.	C. 1.	D. 
 Gợi ý : Gọi là điểm biểu diễn số phức .Theo bài ra : 
 nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính . Dễ thấy điểm O nằm trên đường tròn nên .
Ví dụ 13: Cho số phức thỏa mãn và . 
 Tính .
 A. . B. . C. . D. .
 Gợi ý: Đặt với . Từ 
. Gọi là điểm biểu diễn số phức thì quỹ tích là đường tròn tâm , bán kính . Đặt thì . Dễ thấy điểm nằm ở miền trong đường tròn nên .
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và đường tròn có tâm bán kính không có điểm chung. Điểm thay đổi trên đường tròn , điểm thay đổi trên đường thẳng . Xác định vị trí hai điểm , để độ dài đoạn giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn giải: 
 .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích điểm biểu diễn nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích điểm biểu diễn nó là một đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun .
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức là , đường thẳng biểu diễn số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài toán 1 và 3 thì cũng sẽ dễ dàng hình dung được con đường hình học để giải quyết bài toán này.
c. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 14: Xét hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 A. . B. . C. . D. .
 Gợi ý: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức . Theo bài ra , suy ra quỹ tích điểm là đường thẳng và quỹ tích điểm là đường tròn tâm có bán kính . Vẽ hình trực quan dễ thấy và không có điểm chung, mà nên 
Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn có tâm bán kính . Đoạn là một đường kính của . Điểm thay đổi trên đường tròn . Xác định vị trí điểm để tổng độ dài (với ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Ta có : , dấu bằng xảy ra khi .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đường tròn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun với là hai số phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng là một đường kính của đường tròn biểu diễn số phức .
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được sao cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường tròn .
c. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 15: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
 Gợi ý: Gọi là điểm biễu diễn số phức . Theo bài ra nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính . Đặt , vẽ hình trực quan dễ thấy là một đường kính của đường tròn . Khi đó , dấu bằng xảy ra khi . Suy ra .
Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn có tâm bán kính . Đoạn cố định nhận điểm làm trung điểm. Điểm thay đổi trên đường tròn . Xác định vị trí điểm để tổng độ dài (với ) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Theo công thức đường trung tuyến ta có 
Lại có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , hay là giao điểm của đường với đường tròn tâm bán kính .
b. Cách tạo và giải một bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một đường tròn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun với là hai số phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng nhận tâm của đường tròn biểu diễn số phức làm trung điểm.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được sao cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường tròn ; đồng thời hai số thực phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm bán kính và đường tròn có điểm chung, nghĩa là các đánh giá bất đẳng thức ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng.
c. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. 	B. 	C. 	D. 
 Gợi ý: Gọi là điểm biễu diễn số phức . Theo bài ra nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính . Đặt , vẽ hình trực quan dễ thấy nhận làm trung điểm nên trong ta có . Khi đó , dấu bằng xảy ra khi là giao điểm của đường tròn với đường tròn tâm bán kính . Suy ra .
Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn có tâm bán kính . Điểm cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm thay đổi trên sao cho ba điểm thẳng hàng . Xác định vị trí hai điểm để tổng độ dài (với ) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Ta có tích chính là độ lớn phương tích của điểm với đường tròn , suy ra . Nên , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay là giao điểm của đường tròn tâm bán kính với đường tròn .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc hai số phức sao cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng cùng là một đường tròn. Chọn một số phức có điểm biểu diễn nằm ở miền trong đường tròn biểu diễn . Tạo một điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn thẳng hàng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng mô-đun .
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức lần lượt là . Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức là . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại