SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ

I MỞ ĐẦU
	1. Lí do chọn đề tài
 Chương trình môn Toán ở bậc phổ thông thì phần kiến thức về phương trình vô tỉ là khá khó đối với học sinh. Để giải các bài toán dạng này học sinh phải vận dụng bất đẳng thức, cần phải biết biến đổi tương đương các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp ..., phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo.
 	Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, tôi thấy học sinh hay lúng túng, bế tắc trong qua trình tìm tòi lời giải và cách xác định dạng toán. Không chỉ học sinh gặp khó khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi mới dạy phần “ Giải phương trình vô tỉ” cũng gặp khó khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này. Vì vậy tôi luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán giải phương trình vô tỷ, để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học cũng như phát triển và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh tích cực chủ động trong học tập, tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ”
	2. Mục đích nghiên cứu
 Đề tài đưa ra một hệ thống các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ và một số bài toán áp dụng; đối với từng phương pháp trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giải phương trình vô tỉ, tránh được những sai lầm thường gặp khi giải dạng bài toán này.
Thông qua đề tài, học sinh nắm được một số phương pháp và vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán có chứa căn bậc hai, đồng thời giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò, nghiên cứu, khám phá, tìm hiểu bài toán .
3. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng của đề tài là “ Phương pháp giải phương trình vô tỉ” 
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan.
- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 9
4. Phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết: Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán “ Phương trình vô tỉ” trong chương trình toán THCS. [4]
 	- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Sau khi nghiên cứu các tài liệu, tổng hợp các kết quả của học sinh lớp trước, trao đổi với các giáo viên bộ môn để rút ra kinh nghiệm, thử nghiệm trong quá trình giảng dạy khóa tiếp theo.
	- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
II. NỘI DUNG
	1. Cơ sở lí luận của đề tài
 	Trong chương trình đại số lớp 9, phương trình vô tỉ là một dạng khó. Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp học sinh thường lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm. Có phương trình không giải bằng phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỉ học sinh thường chỉ quen một phương pháp là bình phương hai vế làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong các phép biến đổi tương đương phương trình. Vì vậy dẫn đến thừa, thiếu nghiệm. Có phương trình sau khi mất căn dẫn tới phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai để giải là rất khó khăn. Vì vậy học sinh thường lúng túng và không tìm ra cách giải. Để tránh những sai lầm hay mắc phải, cần có hệ thống phương pháp giải để các em được luyện tập nhiều dạng bài, giúp cho việc giải các phương trình vô tỉ trở thành quen thuộc với học sinh.
	2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Là một giáo viên dạy toán trong trường THCS tôi nhận thấy phần đông các em học môn Toán với năng lực sẵn có mà ít khi tạo được hứng thú, tự bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo bởi các em có tâm lý sợ, ngại khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỷ. Vậy lý do gì làm cho các em có tâm lý như vậy? Đó là do:
	1. Các em không thuộc lý thuyết và không nắm vững kiến thức cơ bản, kỹ năng thực hành biến đổi còn hạn chế.
	2. Các em chưa biết tìm tòi đường lối giải toán mà ta gọi là phương pháp, nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng, từng loại toán 
	Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán, vận dụng kiến thức lý thuyết vào để giải hay cụ thể hơn là hình thành phương pháp giải từng loại toán như thế nào
	Giải quyết được vấn đề đó không phải là điều dễ dàng khi mà phân phối chương trình chưa có một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phương pháp giải các loại toán cụ thể mà chỉ xuất hiện đơn lẻ.
	Trong chương trình đại số THCS, “Phương trình” là một khái niệm quen thuộc; học sinh thường xuyên được làm việc với giải các phương trình toán học từ các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba một ẩn, các phương trình chứa ẩn ở mẫu, các phương trình bậc cao. Đây là một nội dung rất quan trọng và khó đặc biệt là phương trình vô tỉ.
Kết quả của thực trạng trên
	Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn (Phương trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn như chưa trình bày được một lời giải hoàn chỉnh. Học sinh thường mắc phải một trong các sai lầm chẳng hạn: Không tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, ..., hoặc khi tìm được nghiệm rồi vội vàng kết luận ngay mà không kiểm tra lại điều kiện. Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương một phương trình với một hệ điều kiện và trình bày rời rạc không theo một qui trình .
	Mặt khác, việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình cũng như các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách giải phương trình phù hợp với từng dạng đó mà chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả.
	Hơn nữa, do thực tế của chương trình Đại số 9 việc giải phương trình vô tỉ cũng chỉ dừng lại ở một số bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vô tỉ khác SGK và bài tập qui định, vì thế khi dự thi các kì thi Học sinh giỏi nhiều học sinh không giải được các phương trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức có trong chương trình.
 Để khắc phục những tồn tại nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vô tỉ trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học, qua đó giúp các em trau dồi được những phẩm chất về trí tuệ như: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở trường THCS. Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số phương pháp giải các dạng phương trình vô tỉ.
	3. Các biện pháp thực hiện
	3.1.Đối với giáo viên
	1/ Thường xuyên khắc phục những sai lầm thường mắc cho học sinh như:
 + Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.
 + Không chọn nghiệm theo các điều kiện đã đặt ra mà kết luận nghiệm cho phương trình ngay.
 + Chưa phân biệt được các phép biến đổi tương đương và không tương đương
 	2/ Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng cơ bản có liên quan tới giải một phương trình.
 + Các định lí về phép biến đổi tương đương một phương trình.
 + Chú ý các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương với nhau.
 + Ghi nhớ cho học sinh các công thức quan trọng ở chương căn bậc hai, bâc ba có liên quan đến kỹ năng biến đổi về căn thức, thực hiện các phép tính chứa dấu căn.
 	3/ Xây dựng các công thức giải các dạng phương trình vô tỉ thường gặp
 	4/ Cung cấp cho học sinh các phương pháp giải phương trình vô tỉ
 	5/ Phối hợp với những bài toán khác có nội dung kiên quan.
 	6/ Thường xuyên kiểm tra và uốn nắn kịp thời các sai sót thường gặp.
	3.2.Đối với học sinh:
 - Hiểu được bản chất các loại toán
 - Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý vào từng dạng toán cụ thể.
 - Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn.
	4. Các giải pháp thực hiện
	4.1 Các kiến thức cần lưu ý khi giải một phương trình
	1. Các khái niệm [1, 4]
	+ Phương trình vô tỉ là phương trình đại số có chứa dấu căn
	+ Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.
Chú ý: 
	+ Nếu phương trình này là hệ quả của phương trình kia và ngược lại thì hai phương trình đó tương đương.
	+ Mọi phương trình vô nghiệm đều được coi là tương đương nhau vì chúng cùng có tập nghiệm là ø.
	2.Các phép biến đổi tương đương, không tương đương một phương trình [2]
	a. Các phép biến đổi tương đương các phương trình:
 	- Các định lí về phép biến đổi tương đương ở lớp 8.
 	- Thực hiện biến đổi hằng đẳng thức ở từng vế của một phương trình không làm thay đổi TXĐ của chúng thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
	b. Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương (dẫn tới một phương trình hệ quả). [2]
	- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn (có thể xuất hiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai).
	- Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số (có thể làm mất nghiệm của phương trình ban đầu).
	- Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức.
	- Nâng 2 vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1
 	Nếu m chẵn : thì khi nâng 2 vế của f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn ta được một phương trình mới có thể nhận thêm nghiệm của phương trình:
 f1(x) = f2(x) vì : 
	Vì thế khi giải phương trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phương trình đầu để loại nghiệm ngoại lai ( phép bình phương hai vế của một phương trình có thể dẫn tới một phương trình hệ quả).
	3. Những sai lầm thường gặp khi giải một phương trình vô tỉ.
 	- Không đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa mà đã vội bình phương hai vế của phương trình.
 	- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.
 	- Khi tìm được nghiệm bỏ quên bước thử lại vào phương trình đầu hoặc chọn nghiệm thích hợp theo điều kiện đã đặt ra mà vội kết luận nghiệm của phương trình vô tỉ.
Ví dụ: Khi giải phương trình : (1)
 Học sinh giải: 
Bình phương hai vế : x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 (3)
Rút gọn : 2 -7x = 2 (4)
Bình phương hai vế : 4 - 28x + 49x2 = 4.(15x2-13x + 2) (5)
Rút gọn : 11x2 - 24x + 4 = 0
 (11x- 2)(x - 2) = 0 	
Kết luận: x1 = ; x2 = 2
*Phân tích sai lầm của học sinh:
+ Học sinh đã không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức là:
 Giá trị không là nghiệm của phương trình (1). 
 Vậy phương trình (1) vô nghiệm 
Để khắc phục sai lầm này phải tìm ĐKXĐ của phương trình từ bước đầu tiên.
 + Học sinh không đặt điều kiện để biến đổi tương đương nên (4) không tương đương với (5).
+ Phương trình (4) chỉ tương đương với hệ: 
Phương trình (5) là hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với phương trình (4) khi có điều kiện: 2 - 7x, do đó x = 2 không là nghiệm của (1).
*Cách giải đúng:
+ Cách 1: Sau khi tìm được thử lại vào phương trình ban đầu, phương trình (1) không nghiệm đúng. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
+ Cách 2: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (*) sau đó từ (4) chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện (**), đối chiếu các giá trị với (*) và (**) ta thấy x1 và x2 không thỏa mãn. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
+Cách 3: Điều kiện: 
Mặt khác . Như vậy vế trái âm, vế phải dương. 
 Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
* Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh khi giải một phương trình vô tỉ ta nên hướng dẫn học sinh đi theo các bước sau:
B1: Tìm ĐKXĐ của phương trình ( Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa)
 B2: Nâng hai vế của phương trình lên cùng một lũy thừa, nếu phương trình còn dấu căn bậc hai thì tiếp tục đặt điều kiện, sau đó khử căn để đưa phương trình về dạng đã biết cách giải.
 B3: Thử nghiệm theo các điều kiện hoặc theo phương trình đầu rồi kết luận nghiệm.
	4.2 . Các phương pháp giải phương trình vô tỉ [5]
	4.2.1.Sử dụng các phép biến đổi tương đương.
	a. Dạng : ( A là một số hoặc một biểu thức đã biết) (1).
*Công thức giải: 
	Ở phương pháp này ta đã biến đổi tương đương phương trình đã cho với một hệ hỗn hợp, như vậy nghiệm của (2) chính là nghiệm của(1). Do vậy ta chỉ giải hệ (2) rồi kết luận nghiệm của (1). Cơ sở của phương pháp này là dựa vào khái niệm căn bậc hai số học : f(x)0.
* Chú ý: Khi A<0 ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
* Ví dụ: Khi giải phương trình ta giải như sau:
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1= 1 ; x2 = - 4.
Ở phương trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện : x2 +3x 0 v× (1) (2) trong đó f(x) =A2 0.
Bài tập tương tự [3]
Giải phương trình
	a. b. c. 
	b. Dạng : 
*Công thức giải : 
 * Ví dụ: Giải phương trình: (1)
Từ (1) ta có 
Giải (*) ta có :. Vậy (1) có các nghiệm là 
Chú ý: Khi chỉ ra được g(x) < 0 ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình 
 Vì Vậy (**) vô nghiệm.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau
a, b, 2+
	c. Dạng : 
Công thức giải: 
Ví dụ: Giải phương trình: (1)
Ta có: (1) 
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 1.
Bài tập tương tự: [6] Giải phương trình:
a. b. 
	d. Dạng: (1) hoặc (2)
* Cách giải phương trình (1):
B1: Tìm điều kiện cho (1) có nghĩa. ( Tìm TXĐ) (*)
B2 : Bình phương hai vế (1)
 Phương trình (1) trở thành (3)
B3 : Đặt điều kiện mới cho (3) : (**)
Bình phương hai vế của (3) đưa về một phương trình (4) đã biết cách giải.
B4 : Giải (4) chọn nghiệm thoả mãn (*) và (**) sau đó kết luận nghiệm.
* Cách giải phương trình (2) hoàn toàn tương tự
*Nếu h(x) của phương trình (1) có giá trị âm với mọi x thì ta kết luận ngay phương trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình (1)
 (1) (2)
Điều kiện: (*)
Với x2 hai vế không âm, bình phương hai vế của (2) ta có phương trình: (3)
 (3) 
 x = 6 thoả mãn (*) và (**). Vậy phương trình có nghiệm là x = 6.
*Chú ý : Với phương trình thuộc dạng (1). Khi phương trình đã cho chưa ở dạng mà như ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tương đương phương trình đã cho về dạng (1), không nên để nguyên phương trình mà bình phương hai vế vì dù cho có điều kiện để phương trình có nghĩa nhưng phép biến đổi không tương đương (do ở hai vế và 5 - không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0 ).
Bài tập tương tự: [6] Giải phương trình
a. b. 
e. Dạng : (1).
 * Đây là dạng phương trình vô tỉ có chứa nhiều căn thức bậc hai, ta có thể tiến hành các bước giải như sau:
 B1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (Tìm ĐKXĐ): (*)
 B2 : Với điều kiện (*) bình phương hai vế của (1) ta có:
 f(x) + h(x) + 2= g(x) + k(x) + 2
 Đưa phương trình dạng: (2)
B3: Tùy theo từng trường hợp cụ thể giải tiếp (2).
Ví dụ: Giải phương trình (1)
Viết (1) dưới dạng (2): (1) (2)
Điều kiện (2) có nghĩa: x (*).
Với điều kiện (*) , bình phương hai vế ta có:
Vì hai vế lớn hơn hoặc hoặc bằng 0 nên bình phương hai vế ta có:
 thỏa mãn (*)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0.
Bµi tËp t­¬ng tù : [7] Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 b)
	4.2.2.Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của việc đặt ẩn phụ là nhằm đưa phương trình đang xét về một phương trình đơn giản hơn ( đã biết cách giải). Tuy nhiên, cần phải biết chọn ẩn số phụ một cách thích hợp phù hợp với đặc thù bài toán đang xét.
Cần chú ý rằng để đặt được ẩn phụ có thể thông qua một vài bước biến đổi phương trình đã cho để làm xuất hiện “ biểu thức cần chọn” làm ẩn phụ.
Ví dụ : Xét phương trình: 
Ta biến đổi thành : 
 Điều kiện : 
Đặt ẩn phụ : 
Ta có phương trình: t2 + t -1 = 0
 Giải phương trình ẩn t, đối chiếu điều kiện của t, thay t vào (*) tìm x. Đối chiếu điều kiện, trả lời.
 Nhằm giúp cho học sinh có được thói quen áp dụng phương pháp trên theo hướng đúng đắn, hợp lý, tránh máy móc rập khuôn phương pháp này, ta nên trang bị cho các em một số dạng phương trình vô tỉ thường gặp sau:
Dạng 1: Phương trình có dạng : (1)
Cách giải : Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (*)
Đặt ẩn phụ : sau đó giải phương trình mới có ẩn là t: at2+bt+c=0
Khi tìm được t tiếp tục giải phương trình vô tỉ dạng . Chọn nghiệm theo điều kiện (*) từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ : Giải phương trình (1)
 Điều kiện: .
Trước hết đưa phương trình (1) về dạng 1:
(1) 
Đặt : 
Ta có phương trình ẩn t là: 3t2 + 2t – 5 = 0.
 Giải phương trình này ta có nghiệm: (lo¹i).
Giải phương trình: 
Thử lại điều kiện: nên hai giá trị x1; x2 thoả mãn.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ trên đã làm cho phương trình vô tỉ chuyển về dạng hữu tỉ quen thuộc. Phương pháp “ đặt ẩn phụ” có ưu thế là “hữu tỉ hoá” một phương trình vô tỉ có nhiều tiện lợi cho việc giải một phương trình.
Bài tập tương tự [7]
 Giải phương trình: 
a. b. c. 
	b) Dạng 2: (2).
* Cách giải : Để giải dạng (2) ta dùng ẩn phụ (2’)
 . Rút thay vào phương trình (2) rồi thu gọn phương trình để được một phương trình mới ẩn t. 
 Giải phương trình ẩn t sau đó chọn t theo điều kiện.
Giải phương trình (2) sau đó chọn x theo điều kiện có nghĩa của (2).
Ví dụ: [4] Giải phương trình (1)
 Đưa phương trình (1) về dạng (2) : 
 (1)
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa là: (*)
Đặt 
Thay vào (1) ta có phương trình: (1) 
Giải (1) ta có: t1= 3 ( Chọn) ; t2 = - 4 (loại)
Giải phương trình 
x =3 thỏa mãn (*). Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x= 3.
Bài tập tương tự [6]
 Giải phương trình 
	c) Dạng 3: (3)
Trong đó 
*Cách giải: Đặt: 
Đưa phương trình về dạng: (t + a)(t + b)(t + c)(t + d) = m
 (3)
Đặt ẩn phụ lần thứ hai để đưa (3) về phương trình cơ bản đã biết cách giải. 
Có thể có nhiều cách đặt, chẳng hạn : y = t2 + (a + b).t = t2 + (c + d).t
Ta có phương trình (3) 
Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải.
Ví dụ: [6] Giải phương trình: 
Điều kiện: đặt . Ta có phương trình ẩn t:
 (t +1)(t + 2)(t + 3)(t + 4) = 840
Đặt ẩn phụ: 
Ta có phương trình: .
Loại y < 0 ta có y = 29.
 Giải phương trình: t2 + 5t +5 =29 (loại)
Giải phương trình: ( thoả mãn điều kiện)
Kết luận: Nghiệm của phương trình ban đầu là x = 9.
Nhận xét: Ở dạng 3 dùng ẩn phụ lần thứ nhất ta đã ” hữu tỉ hoá” phương trình đã cho. Song chưa có được phương trình ở dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụ lần hai mà ta đã đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai. Cần lưu ý trong cách đặt ẩn phụ lần hai có thể có nhiều cách chọn khác nhau mà người giải cần chú ý.
Như vậy khi giải một phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đặt nhiều lần ẩn phụ khác nhau sao cho đích cuối cùng là đưa phương trình ban đầu về dạng quen thuộc.
	4.2.3.Phương pháp hệ phương trình( chuyển phương trình thành hệ phương trình tương đương)
	Bên cạnh phương pháp đặt ẩn số phụ để đưa về một bài toán khác, có rất nhiều bài toán cần dùng tới nhiều ẩn số phụ và tuỳ theo đặc thù của bài toán đã cho ta thu được các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng, chẳng hạn đối với phương trình: (1)
	Nhiều học sinh khi giải phương trình này thường dẫn tới lúng túng khi bình phương hai vế của (1) vì sẽ được một phương trình bậc 4 khó giải
Ta hãy vận dụng phương pháp hệ phương trình cho phương trình (1):
Điều kiện phương trình có nghĩa là : 
 Đặt 
Kết hợp với y = 2 –x2 ta có hệ phương trình: (2)
Trừ vế với vế của hai phương trình ở hệ (2) ta có phương trình:
Nếu y = x thì từ y2 =2 –x ta có phương trình: x2 + x –2 = 0. Suy ra x1 = 1; x2=-2 (loại)
Nếu y = 1 – x khi đó từ phương trình y = 2 – x2 ta có:
 1 – x = 2 – x2 suy ra x2 – x – 1 = 0. 
Phương trình này có hai nghiệm là: 
Đối chiếu với điều kiện của nghiệm: 
thì không thoả mãn.
Vậy phương trình có hai nghiệm là 
	Như vậy việc dùng phương pháp hệ phương trình đã giúp cho học sinh tìm được cách giải cho bài toán trên một cách hợp lý. Tuy nhiên với bài toán này cần chú ý đặc biệt đến điều kiện của nghiệm thì việc chọn nghiệm mới chính xác.
	4.2.4. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh sự duy nhất của nghiệm 	Cơ sở của phương pháp này là: để giải một phương trình ta có thể kiểm nghiệm trực tiếp một số hữu hạn các giá trị của ẩn số là nghiệm của phương trình sau đó chứng minh ngoài những nghiệm đó phương trình không còn nghiệm nào khác. [4]
	Như vậy theo phương pháp này ta nên làm theo hai bước sau:
B1: