SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
	 MỤC LỤC	
	 Trang	
A.MỞ ĐẦU	02
Lý do chọn đề tài	02
Mục đích của đề tài 	02
Phạm vi và đối tượng của đề tài 	02
Phương pháp nghiên cứu 	02
Đóng góp của đề tài..03
B. NỘI DUNG	03
Cơ sở lý thuyết 	03
Nội dung đề tài 	04
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:	33
 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................34	 
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1
1.1 Lý do chọn đề tài
1
1.2 Mục đích nghiên cứu
1
1.3 Đối tượng nghiên cứu
2
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2
2. PHẦN NỘI DUNG
2
2.1 Cơ sở lý luận
2
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3 Giải quyết vấn đề
3
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
23
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
24
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
25
DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI
26
1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài:	
 Trong chương trình phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng. Nó giúp học sinh tiếp thu những tri thức và rèn luyện những kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo. Học Toán còn giúp học sinh có tư duy logic, rành mạch, điều này sẽ tạo tiền đề cho việc tiếp cận với các lĩnh vực, các tình huống trong thực tế trở nên dễ dàng hơn. 
 Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán do được viết đã lâu và chưa được chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học còn hạn chế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán, chỉ truyền thụ kiến thức một chiều,chưa chú trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn. Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm gì ?” bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế của Toán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán. Vì vậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì giáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giải quyêt những vấn đề thực tế. Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mới phương pháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việc học sẽ nhẹ nhàng và đạt hiệu quả tốt hơn.
    Tích phân là một trong những phần quan trọng của bộ môn Giải tích lớp 12. Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia. Những năm gần đây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vì vậy những bài toán về tích phân và ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế là các bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể cả với học sinh khá- giỏi. Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ôn thi THPT Quốc gia tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụng trong khi dạy chủ đề: Tích phân và ứng dụng của tích phân. Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế”. Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức lôgic, đầy đủ về ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, biết vận dụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học môn Toán cũng như những đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia.
 1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo. Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “Tích phân và ứng dụng của tích phân” của môn Toán Giải tích lớp 12. 
 Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế. 
 1.3 Đối tượng nghiên cứu:
 - Các dạng toán về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
 - Các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của tích phân.
 - Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 và học sinh lớp 12A1 năm học 2018-2019 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá.
 1.4 Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài: Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao, các tài liệu tham khảo.
 - Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệ thống bài tập đi từ dễ đến khó.
 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánh giá để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán ứng dụng tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình.
2. PHẦN NỘI DUNG
 2.1 Cơ sở lí luận.
 Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 học sinh được học chuyên đề Tích phân và Ứng dụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay và khó đồng thời có nhiều bài toán thực tế có thể vận dụng kiến thức phần này để giải quyết. Vì vậy để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũng như rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trong quá trình ôn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thi THPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy chuyên đề này cẩn thận chu đáo.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của học sinh, tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiến thức, không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán học trong thực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy “ngại” học Toán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các em không hiểu học chương này, chương kia ví dụ như chương 3- Giải tích lớp 12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em đã học xong chương trình THPT nhưng vẫn không thể tính được diện tích ngôi nhà hay diện tích mảnh đất của gia đình mình, bởi vì trong quá trình học tập học sinh chỉ biết giải các bài toán trong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thức được học với thực tế đời sống. Đặc biệt là ở phần Tích phân và Ứng dụng của tích phân đây là phần có nhiều ứng dụng thực tiễn. Dẫn đến hiệu quả học tập, kết quả các bài kiểm tra, bài thi không cao.
 Với thực trạng ấy để giúp học sinh học và làm bài thi tốt hơn ở phần Tích phân và ứng dụng của tích phân, theo tôi giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập hợp lý từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các dạng toán. Việc rèn luyện tư duy qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế”.
 2.3 Giải quyết vấn đề.
Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh tôi chia các bài toán liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” thành hai phần như sau: 
Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
 Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm "xÎ[a, b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là
 S = . 
y=f(x)
a
b
x
y
 Tổng quát: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
 y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b 
là S = 
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm .
Do đó, diện tích cần tìm là: 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và đường thẳng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: .
Khi đó .
Đặt Ta có .
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là
Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là
.
Đặt 
Tương tự, ta có Suy ra 
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , .
Lời giải
Đặt 
Xét trên ta có 
Diện tích hình phẳng là
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong. 
 Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên đoạn . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó diện tích hình phẳng là: S = 
a
O
c
y= f(x)
 b
y
x
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và 
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có
.
Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là:
.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường và là 
Diện tích 
 .
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . 
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là
Ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Diện tích 
Đặt 
Vậy .
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: .
Lời giải
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có.
.
Quan sát hình vẽ ta thấy .
Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là.
.
 .
 .
 .
Bài 6: (trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018) 
Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi parabol , cung tròn có phương trình (với ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). 
Tính diện tích của hình . 
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
Do đó:
Tính .
Đặt .
Đổi cận 
Suy ra .
Bài 7: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường elip có phương trình ( với ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi là diện tích của, biết ( với , , ). Tính .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là: 
Vậy 
Trong đó . Đặt .
Đổi cận . .
Vậy . 
Suy ra . Vậy .
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong tự cắt khép kín. 
Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 
Bước 1: Giải phương trình tìm hoành độ giao điểm 
Bước 2: Sử dụng 
S = 
Bài 1: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: và đường thẳng y=1.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
Diện tích cần tìm là: 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và các tiếp tuyến của tại và .
Lời giải
Ta có .
Tiếp tuyến của tại và lần lượt là ; .
Giao điểm của hai tiếp tuyến là .
Khi đó, dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
Bài 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng , (phần tô đậm trong hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng .
Lời giải
Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng là: 
 .
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , , .
Lời giải
.
Ta có , , .
Khi đó .
Bài 5: Cho là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình , . Tính diện tích của hình .
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là: .
Diện tích hình phẳng cần tính là:
.
.
4 Bài toán tỷ số diện tích
 Bài 1: Parabol chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng thành hai phần có diện tích là và , trong đó . Tìm tỉ số 
Lời giải
Diện tích hình tròn là .
Ta có 
Suy ra 
Vậy .
Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017)
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , y=0, , . Đường thẳng x=k (0<k<ln4) chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm k để .
Lời giải
Ta có và .
Ta có . 
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là và , với . Tìm a biết rằng đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau .
Lời giải
Gọi là hình chữ nhật với nằm trên trục , và 
Nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua . Do đó nó chia hình chữ nhật ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là ,. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục , và là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính ,.
Tính diện tích .
Đặt ; Khi .
Do đó .
Hình chữ nhật có nên 
Do đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau nên (Do ).
Phần 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ 
 1 Bài toán liên quan họa tiết, hoa văn của các vật trang trí. 
 Bài 1: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết cm, cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.
Lời giải
 Giả sử đường cong phía dưới là một Parabol có dạng , với . Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình.
.
Vậy phương trình Parabol là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và các đường thẳng , là: .
Vì tính chất đối xứng nên tổng diện tích phần bị khoét đi: .
Diện tích của hình vuông là: .
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: .
Bài 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình và để tạo hoa văn cho viên gạch. Tính diện tích phần được tô đậm.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
Gọi là diện tích phần tô đậm, vì tính chất đối xứng nên ta có 
Bài 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên.Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét.
Lời giải
Vì tính đối xứng trục nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ .
Từ giả thuyết bài toán, ta có .Góc phần tư thứ nhất Nên Suy ra 
Bài 4 : Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng , chiều cao . Tính diện tích của cổng.
Lời giải
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.Khi đó Parabol có phương trình dạng .Vì đi qua đỉnh nên ta có .
 cắt trục hoành tại hai điểm và nên ta có . Do đó .
Diện tích của cổng là: .
 2 Bài toán liên quan đến tính toán kinh tế.
Bài 1: (trích đề tham khảo năm 2017 của Bộ GD-ĐT) Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng/. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
Lời giải
Giả sử elip có phương trình , với .
Từ giả thiết ta có và 
Vậy phương trình của elip là 
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường và diện tích của dải vườn là 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến , ta được
Khi đó số tiền là đồng.
Bài 2:(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2019 của Sở GD Thanh Hóa) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.
Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/ m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trên trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là.
.
Phương trình parabol có đỉnh là gốc sẽ có dạng . Mặt khác qua điểm do đó: .
Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và nửa đường tròn.( phần tô màu).Ta có công thức .
Suy ra phần diện tích trồng cỏ là .
Vậy số tiền cần có là (đồng).
Bài 3: Ông An muốn làm một cái cổng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của cổng sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cổng sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn).
.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó , , .
Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng , với .
Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình.
.
Khi đó phương trình Parabol là .
Diện tích của chiếc cổng sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .
Ta có .
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là. T= (đồng).
Bài 4: (trích đề tham khảo năm 2019 của Bộ GD-ĐT) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh , , , như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là đồng/ và phần còn lại là đồng/. Tính số tiền để sơn biển trên, biết , và tứ giác là hình chữ nhật có .
Lời giải
Giả sử phương trình elip .
Theo giả thiết ta có: .
Diện tích của elip là .
Ta có: với và .
Khi đó, diện tích phần không tô màu là .
Diện tích phần tô màu là .
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là
 đồng.
Bài 5: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm , . Kinh phí làm bức tranh là đồng/. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó.
Lời giải
Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là .
 Khi đó diện tích của khung tranh là 
 Suy ra số tiền cần để làm bức tranh là: đồng
 Bài 6 : Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm ,,, tạo thành một hình vuông có cạnh bằng (như hình vẽ). Phần diện tích , dùng để trồng hoa, phần diện tích , dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó. 
 Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Parabol có hàm số dạng có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm nên có phương trình 
Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính nên có phương trình là . Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh trên là . Diện tích phần 
Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là 
Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: đồng.
 Bài 7. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí để làm mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. 
Lời giải
Xét hệ trục tọa độ sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.
Gọi là diện tích của elip ta có 
Gọi là elip lớn, là elip nhỏ ta có:
 Diện tích của nó là 
 Diện tích của nó là 
Diện tích con đường là 
Do đó số tiền đầu tư là 
Bài 8: Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là và . Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng