SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán số phức đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC ĐẶC BIỆT
Người thực hiện: Tống Minh Tuấn
Chức vụ: Tổ Phó Chuyên Môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Hoàng Lệ Kha
SKKN thuộc lĩnh vực ( môn ): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU........ ....3
 1.1. Lý do chọn đề tài...3
 1.2. Mục đích nghiên cứu.....3
 1.3. Đối tượng nghiên cứu....3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu...4
 1.5. Những điểm mới của sáng kiến.....4
 II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM....4
 2.1. Cơ sở lí luận..............................................................................................4
 2.2. Thực trạng vấn đề.........4
 2.3. Các giải pháp thực hiện........5
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến...........20
III. KẾT LUẬN....... 21
 I. MỞ ĐẦU.
 1.1. Lý do chọn đề tài.
 Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2018-2019.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các lớp cũng có những học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng cho các em ôn thi THPT quốc gia là nhiệm vụ quan trọng số một.
 Trong các nội dung thi THPT quốc gia phần số phức đóng vai trò quan trọng. Những năm học trước đây thì phần số phức trong đề thi đại học chỉ là một câu đơn giản cho tất cả học sinh. Tuy nhiên theo tình hình thi mới của bộ giáo dục thì phần số phức có những câu hỏi khó ở mức vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải có cách giải nhanh chóng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm.
 Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia, ôn thi học sinh giỏi cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán số phức đặc biệt’’. Hi vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp dạy học hiệu quả hơn, giúp các em xử lý tốt không cảm thấy lúng túng trong việc giải quyết các bài toán trắc nghiệm về số phức ở mức vận dụng cao.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm về số phức ở mức vận dụng cao, tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán này thường làm phức tạp vấn đề làm mất nhiều thời gian hay không giải được. Năm học mới này, với hình thức thi đại học trắc nghiệm đối với môn toán thì áp lực thời gian là một vấn đề, đòi hỏi học sinh có cách giải quyết nhanh các bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán về số phức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh thực hiện nội dung này học sinh lớp 12.
Đối tượng nghiên cứu : các phép toán lấy số phức liên hợp tổng, hiệu, tích, thương của hai số phức và có thể mở rộng cho nhiều số phức, môđun của số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu liên quan như sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo về toán trắc nghiệm số phức ở mức vận dụng cao.
Phương pháp điều tra quan sát : Tìm hiểu về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp.
 Phương pháp thực nghiệm : Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12I, 12K, 12M trường THPT Hoàng Lệ Kha.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
Việc sử dụng số phức liên hợp để giải quyết các bài tập tính toán, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập số phức.
Hệ thống bài tập ở dạng trắc nghiệm.
 II. NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lí luận.
Đẩy mạnh việc đổi mới dạy học (PPDH) đang diễn ra ở tất cả các trường học, việc đổi mới phương pháp dạy học đem lại chất lượng và hiệu quả cao trong giảng dạy. Đổi mới PPDH ở trường THPT được diễn ra theo bốn hướng chủ yếu sau :
 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh.
 Bồi dưỡng phương pháp tự học.
 Rèn luyện kỹ năng lý thuyết vào thực tiễn.
 Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong đó hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh được xem là chủ đạo, chi phối đến các hướng còn lại.
2.2. Thực trạng vấn đề.
 Giải các bài toán về số phức bằng phương pháp sử dụng số phức liên hợp tương đối mới lạ đối với đa số học sinh lớp 12. Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách thường gọi dạng tổng quát của số phức nhưng rất khó khăn trong việc giải và cũng có thể không giải được. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, thuận lợi để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng. 
2.3. Các giải pháp thực hiện.
 Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng lượng liên hợp của số phức nào. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán về số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về các phép toán trên tập số phức, các tính chất môđun của số phức. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng.
 Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập tương đối đầy đủ về các bài toán về số phức sử dụng số phức liên hợp.
1. Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan.
 - Các phép toán trên tập số phức. 
 - Các tính chất môđun của số phức.
 - Các tính chất số phức liên hợp của tổng hiệu tích thương của các số phức.
 - Kỹ năng sử dụng số phức liên hợp.
2. Một số công thức liên quan.
 ( là phần thực của số phức ), là số thực không âm.
 khi là số thực, khi là số ảo.
 , ().
 với , 
 , nếu thì .
3. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.
Dạng 1: Bài toán tìm số phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, môđun của số phức.
Ví dụ 1: Cho số phức , thỏa , ,. Khi đó 
 bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Giả sử , với , , , .
Ta có .
.
.
Khi đó .
Ví dụ 2: Cho số phức thoả mãn là số thực và với . Gọi 
 là một giá trị của để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
 A. . B. . C. .D. .
Lời giải
Chọn D 
Giả sử vì nên .
Đặt: .
 là số thực nên: .Kết hợp suy ra .
Mặt khác: ..
Thayvàođược: .
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT phải có nghiệm duy nhất.
Có các khả năng sau :
KN1 : PTcó nghiệm kép ĐK: .
KN2: PTcó hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 
ĐK: .Từ đó suy ra .
Ví dụ 3: Gọi là tập hợp các số thực sao cho với mỗi có đúng một số 
phức thỏa mãn và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của 
tập .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Gọi với ta có 
là số thuần ảo khi 
Mà 
Ta được hệ phương trình 
Ycbt hoặc 
 hoặc hoặc . Vậy tổng là .
Cách 2:
Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt 	có đúng một nghiệm
Nghĩa là hai đường tròn và tiếp xúc nhau.
Xét có tâm bán kính ,có tâm bán kính 
Cần có : . 
Vậy tổng là .
Ví dụ 4 : Cho số phức thỏa mãn . Khi đó, môđun của 
bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt với , . Khi đó .
Ta có 
. Do đó . Vậy .
Ví dụ 5: [2D4-0.0-3] Biết số phức có phần ảo khác và thỏa mãn và 
. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức trên?
 A. B. C. D. 
Lời giải
Chọn C
Giả sử .
Ta có 
.
Lại có nên 
.
+ Với , không thỏa mãn vì .
+ Với , thỏa mãn .
Do đó điểm biểu diễn số phức . 
Ví dụ 6: Cho số phức thỏa mãn và 
. Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết và ta có hệ phương trình 
 hay (loại). Vậy .
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa 
. Tính .
 A. . B. .	 C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
, vì . 
Vậy .
Ví dụ 8: Gọi là tập hợp các số thực sao cho với mỗi có đúng một số 
phức thỏa mãn và là số thuẩn ảo. Tính tổng của các phần tử của
tập .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Điều kiện . Giả sử .
Ta có .
Lại có 
.
Khi đó là số thuẩn ảo khi 
 .
Như vậy có tâm , bán kính và có tâm , bán kính . Do đó .
YCBT và tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài
.
Ví dụ 9 : Cho số phức và thỏa mãn điều kiện 
. Tính tổng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có 
Khi đó .
Ví dụ 10 : Cho số phức thỏa mãn và 
là một số thực. Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
 là số thực nên .
Thay vào ta được 
Ví dụ 11 : Số phức ( với , là số nguyên) thỏa mãn là số 
thực và . Khi đó là
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Vì là số thực nên .
 .
Thế vào ta có: .
Vậy .
Ví dụ 12: Cho số phức thỏa mãn . Tính 
.
 A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có 
Dạng 2: Bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức.
Ví dụ 1: [2D4-0.0-3] Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức 
 bằng
A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi số phức , với . 
Theo giả thiết, ta có . Suy ra .
Khi đó, .
Suy ra hay , với mọi .
Vậy khi , .
Ví dụ 2: [2D4-0.0-3] Cho số phức thoả mãn và biểu thức 
 đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Đặt với và gọi là điểm biểu diễn của trên , ta có
Và .
Như vậy 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy đạt giá trị lớn nhất khi .
Ví dụ 3: Xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là , . 
Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là , 
. Biết rằng , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi .
Ta có: 
.
Vì và cùng vuông góc với trục nên , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật khi .
Khi đó: 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .
Ví dụ 4: Cho các số phức , thỏa mãn và . 
Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , với . Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức .
Theo giả thiết, 
. Suy ra thuộc đường tròn .
Ta có , với và .
Gọi là trung điểm của , ta có và khi đó:
 hay .
Mặt khác, với mọi nên .
Vậy khi hay và .
Ví dụ 5: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là 
A..	B..	C.. D..
Lời giải
Chọn D
Gọi ta có .
Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Ta có .
Gọi và thì .
Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn.
Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên .
Tính độ dài ta lấy kết quả .
Ví dụ 6 : Cho là các số phức thỏa mãn và 
 Khẳng định nào dưới đây là sai ?
 A. . B. .	
 C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: 
.
Mặt khác nên . Vậy phương án D sai.
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính giá trị của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi . Ta có: 
Đặt , ta có 
Ta có 
Suy ra .
Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
.
Ví dụ 8 : Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức và 
trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Với là 
gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác đều. 
B. Tam giác vuông cân tại .
C. Tam giác vuông cân tại .
D. Tam giác vuông cân tại .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
Ta có: 
Suy ra: và là tam giác vuông cân tại .
Ví dụ 9: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào sau 
đây là đúng?
A..	B..
C..	D..
Lời giải
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức ta được 
Vậy, nhỏ nhất là khi và lớn nhất là khi 
Ví dụ 10: Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện 
 và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích 
A.. B.. C..	 D..
Lời giải
Chọn D
Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 
Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài tập tương tự.
Bài 1. Với mọi số phức , ta có bằng ?
 A. . B. . 	 C. . D. .
Bài 2. Cho số phức thực sự . Hỏi số nào sau đây không phải là số thực ?
 A. . B. . 	 C. . D. .
Bài 3. Cho số phức thỏa mãn . Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng ?
 A. là số thực. B. là số thuần ảo.
 C. . D. .
Bài 4. Cho là số phức thỏa mãn và là số thực. Tính ?
 A. . B. . C. . D. .
Bài 5. Cho hai số phức thỏa mãn . Tính ?
A. 2. B. 1. C. 0. D. .
Bài 6. Cho hai số phức thỏa mãn . 
Tính ?
A. 3. B. 2. C. . D. .
Bài 7. Tính môđun của số phức , biết .
A. 2. B. . C. . D. .
Bài 8. Cho các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị biểu thức 
A. . B. C. . D. .
Bài 9. Cho ba số phức thỏa mãn . Số phức là nghiệm của phương trình . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lần lượt là.
A. . B. .
C. . D. .
Bài 10. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là.
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Bài 11. Cho các số . Các nghiệm của phương trình có môđun bằng nhau. Chọn khẳng định đúng.
A. là số ảo. B. là số thực.
C. là số ảo. D. là số thực.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
 Năm học 2017-2018 tôi được giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy môn Toán ở các lớp : 12C2, 12C3, 12C4. Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp các bài số phức ở mức vận dụng cao số phức các em rất lúng túng không biết biến đổi như thế nào hay tạo lượng liên hợp của số phức nào cho đúng, cho phù hợp. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
 Kết quả kiểm tra:
Lớp
Điểm yếu
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
Số bài
 %
Số bài 
 %
Số bài 
 %
Số bài 
 %
12C2
1
2,1
6
12,7
20
42,6
20
42,6
12C3
5
10
10
20
25
50
10
20
12C4
7
14,2
15
30,6
21
42,9
6
12,3
III. KẾT LUẬN.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
 Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Tống Minh Tuấn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên); Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo Dục năm 2008.
2. Hướng dẫn giải các bài tập vận dụng – vân dụng caotác giả TS. Lê Thị Hương, ThS Nguyễn Kiếm, ThS Hồ Xuân Thắng; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội; xuất bản năm 2016.
3. Tài liệu ôn thi THPT quốc gia; tác giả Nguyễn Tất Thu; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội; xuất bản năm 2015.
4. Trọng tâm kiến thức và bài tập giải tích tự luận và trắc nghiệm 12; tác giả Phan Huy Khải; NXB Giáo Dục; xuất bản năm 2008.
5. Nguồn khác: Internet.