SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
 Một trong các nhiệm vụ cơ bản của chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu một số hình hình học, một số quan hệ hình học ...Việc sử dụng vectơ để giải bài toán hình học”.Chính vì vậy việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu thế cải cách giáo dục hiện nay.
 Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) và phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng.
 Vì lí do trên tôi chọn đề tài :
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.
II. THỰC TRANG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
 Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ. Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ độ học sinh đã được làm quen trong chương trình toán cấp 2.Trong chương trình hình học THPT, Ban khoa học tự nhiên: ở lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp véctơ, sau đó dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng. Sang lớp 11 học sinh được làm quen với véctơ trong không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Ở lớp 12 vectơ được sử dụng để nghiên cứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ độ trong không gian.Nhưng chưa đi sâu vào việc trình bày lời giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.Một số định lí đóng vai trò “bản lề ”trong việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian.
2. Hiệu quả
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi hướng dẫn học sinh sử dụng véc tơ để giải các bài toán hình học phẳng, các bài toán về đại số thì học sinh vận dụng rất tốt và hứng thú. Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy lớp 11,12 tôi đã mạnh dạn dần dần hình thành phương pháp bằng cách phát triển từ bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn trong quá trình giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông , trang bị thêm phương pháp giải toán hình học không gian cho học sinh,
để khi đứng trước bài toán hình học không gian học sinh có thể tự tin lựa chọn một trong ba phương pháp để giải.
Tôi nhận thấy việc khai thác phương pháp véc tơ để giải các bài hình học không gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau khi đứng trước bài toán hình học không gian là điều rất cần thiết và quan trọng.Hơn nữa phương pháp này không đòi hỏi học sinh phải tư duy trực quan cao, mà chỉ cần học sinh nắm vững một số bài toán cơ bản sách giáo khoa và một số kỹ năng biến đổi thuần tuý về mặt đại số thì có thể vận dụng phương pháp để giải các bài hình học không gian một cách đơn giản và nhanh chóng.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
I. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ
1.1.Học sinh cần nắm chắc được một số định lí: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian...
1.2.Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản...
2.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian tương ứng. 
3.Một số dạng toán sử dụng phương pháp 
3.1.Dạng 1. Phần quan hệ song song
Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi .
Bài toán 2. Cho hai không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB//(P) .
Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
 Khi đó:.
Ví dụ 1
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1. Chứng minh : MN // EF.
Lời giải:
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:
 (1)
+N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
 (2)
+E là trọng tâm của tam giác ABC:
 (3)
+F là trọng tâm của tam giác BCC1:
 (4)
+ 
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Từ (1), (2): (5)
Từ (3), (4): (6)
 Từ (5), (6): (7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
+ M là trung điểm AA1: (1)
+ N là trung điểm B1C1: (2)
+ (3)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Từ (1), (2): 
Suy ra: (4)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (4) : MN // (DA1C1).
Ví dụ 3
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1. 
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở 
+ M là trung điểm AA1: (1)
+ N là trung điểm CC1: (2)
+ G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
 (3)
+ (4)
.
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Ta có:
Từ (5) và (6) , do không đồng phẳng nên ta có:
Ta có: 
Từ (8) và (9): 
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : (11)
Từ (10) : (12)
Từ (11) và (12) : 
Bài tập vận dung
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB1A1; N, I lần lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : EN//AI.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA1C1).
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB1, CC1, AA1. G là trọng tâm tam giác A1B1C1.
Chứng minh:
	1. (MGC1)//(BA1N)
	2. (A1GN)//(B1CE).
3.2.Dạng 2. Phần góc và khoảng cách
Bài toán 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức: 
Bài toán 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là :
Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương , điểm A thuộc l. Tính khoảng cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
Đặt , gọi N là hình chiếu của M lên l.
Khi đó: và 
Khoảng cách cần tìm :
Bài toán 7. Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
Đặt ,, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
Khi đó :
Do nên 
Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng.Nếu thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa và , còn thì AM (ABC).
Bài toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương ; đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương . 
Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
+ Góc giữa hai đường thẳng :
+Đoạn vuông góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), khi đó:. Do 
Khoảng cách cần tìm: 
Ví dụ 4
Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng .Hãy tính đường cao của lăng trụ.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
.
Giả sử 
Ta có:
Suy ra:
Vì:
 nên 

Ví dụ 5
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của hình chóp.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD.
Do ANDB
Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta được .Vì vậy : 
Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO.
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên 
Vậy: .
Ví dụ 6
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN.
Lời giải:
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở 
+Ta tìm góc giữa SM và CN?
Ta có:
Khi đó:
+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:
Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:
Ví dụ 7
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, . Mặt phẳng song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng song song với các đường thẳng SC và AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng và .
Lời giải:
Chon hệ véc tơ cơ sở .
Giả sử là các véc tơ bất kì khác ,
tương ứng vuông góc hai mặt phẳng và ,
còn góc hai mặt phẳng và .
Thế thì: 
Đặt 
Ta có: 
Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ không được xác định duy nhất.
Chọn nên là một trong các véc tơ vuông góc với 
Tương tự :
Chọn :
Khi đó :.
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h. Tính cosin của góc:
	1.Giữa AB1 và BC1.
	2.Giữa AB và B1C.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc, biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
3.3.Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc
Bài toán 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Bài toán 10. Cho hai không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB(P) .
Ví dụ 8
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA1 và CB1 sao cho:. Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Khi đó: 
Theo bài ra :
Mặt khác: 
Do đó:
Ví dụ 9
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A1 bằng nhau. 
Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Theo giả thiết :
Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’. Chứng minh : MNA’C.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC), SA=a, AC=2a, AB=a, . Gọi M và N là hai điếm sao cho:
Chứng minh: SC(AMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A. 
Vẽ SO(ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC(SOE)).
II. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra phương pháp giải, ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
2.Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của Thầy giáo
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
C.KẾT LUẬN 
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
 Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy thì số lượng học sinh đạt yêu cầu sau mỗi năm tăng lên, khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh thay đổi theo chiều hướng tích cực.
II. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
 Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ và hệ thống bài tập trên sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh có thể tự nghiên cứu và vận dụng véc tơ trong quá trình giải toán.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
 Người viết 
 Phạm Đình Thương