SKKN Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

MỤC LỤC
Trang
Phần I: Mở đầu
1
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích
1
3. Phương pháp nghiên cứu
1
4. Đối tượng nghiên cứu
2
Phần II. Nội dung
2
A. Các lý thuyết cơ bản
2
I. Nguyên hàm
2
II. Tích phân
2
B. Các dạng toán và phương pháp giải
4
I. Các dạng toán cơ bản dùng định nghĩa, công thức để tìm nguyên hàm và tích phân
4
II. Phương pháp đổi biến số
5
III. Phương pháp lấy tích phân từng phần, nguyên hàm từng phần
7
IV. Phương pháp cặp đôi
10
V. Tích phân các hàm số hữu tỉ
11
VI. Tích phân các hàm số lượng giác, hàm số chứa căn thức
13
VII. Các hàm số khác
19
Phần III. Kết luận
20
PHẦN I. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài: 
Nguyên hàm và tích phân là một trong những phần rất quan trọng của chương trình toán ở trường phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các đề thi từ kỳ thi THPT Quốc gia đến các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Vì thế nguyên hàm và tích phân là một chuyên đề được nhiều người rất quan tâm. Làm thế nào để dạy phần nguyên hàm và tích phân một cách hiệu quả là vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toán rất trăn trở suy nghĩ. Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú và công cụ để giải chúng rất đa dạng. Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân, học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, các kiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năng được rèn luyện, tư duy và khả năng sáng tạo được phát huy, bởi vì các phương pháp giải toán nguyên hàm và tích phân không theo một khuôn mẫu nào cả. Có thể nói nguyên hàm và tích phân là một công cụ sắc bén của toán học. 
	Để giải bài toán về nguyên hàm và tích phân có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau, bằng nhiều hướng đi khác nhau. Vì vậy, nếu không phân tích được đầy đủ và chi tiết các dữ kiện và điều kiện của bài toán, nếu khả năng tổng hợp kém, khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa không được rèn luyện thì việc định hướng và tìm lời giải cho bài toán nguyên hàm và tích phân sẽ rất khó khăn.
	Trên quan điểm hoạt động, trong đề tài này tôi muốn nghiên cứu, hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình.
	Tuy nhiên các phương pháp trên không phải thích hợp cho mọi bài toán về nguyên hàm và tích phân. Tuy vậy số lượng bài tập có thể áp dụng các phương pháp này không phải là ít. Các ví dụ minh họa trong đề tài này chứng tỏ điều đó.
	Với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình. 
2. Mục đích:
- Rèn luyện kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp.
- Rèn luyện tư duy logic, khả năng sáng tạo, tính cẩn thận chính xác, tính kỷ luật cho học sinh.
- Ôn tập các kiến thức về nguyên hàm và tích phân.
3. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân trong chương trình toán phổ thông.
- Nghiên cứu thực trạng dạy học và giải bài tập phần nguyên hàm và tích phân.
4. Đối tượng nghiên cứu:
	Học sinh ôn thi THPT Quốc gia và xết tuyển đại học, cao đẳng trường THPT Lê Lợi. 
PHẦN II. NỘI DUNG
A. CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN.
I. NGUYÊN HÀM:
1.1. Định nghĩa: Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu F'(x) = f(x) mọi x Î (a,b)
Ký hiệu:	f(x) dx = F(x) + c
Họ các nguyên hàm của f(x) còn được gọi là tích phân bất định của f(x).
1.2. Các tính chất cơ bản và bảng công thức.
[f(x) ± g(x)] dx = f(x)dx ± g(x)dx
kf(x)dx	 = k f(x)dx
(f(x)dx)'(x) = f(x)
f(x)dx = F(x) + c; kdx = kx + c xadx =)
 =ln(x) + c exdx = ex + c axdx = + c
cosdx = sinx + c sin xdx = - cosx + c
(1 + tg2x)dx = dx = tgx + c ;(1 + cotg2x) =-cotg2x + c
 ax = arcsinx + c	đx = arctgx + c
II. TÍCH PHÂN:
2.1. Định nghĩa: Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích phân của f(x) trên [a,b] được xác định bởi.
	f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) 
2.2. Các tính chất cơ bản và kết luận quan trọng
1. f(x)dx = f(t)dt
2. f(x)dx = -f(x)dx
3. f(x)dx = 0
4. [f(x) ± g(x)]dx = f(x) ± g(x)dx
5. kf(x)dx = kf(x)dx
6. 
7. f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx (acb)
8. f(x) ³ g(x) x Î[a,b] thì g(x) dx
9. 
10. Công thức đổi biến số:
f[u(x)]. u' (x)dx = f(t) dt
(f, u, u' liên tục, t = u(x); dt = u'(x)dx)
f[j(x)] j'(x)dx = f(t) dt
(t =j(x) ; dt = j'(x) dx ; f, j, j' liên tục & t/m:
a x b thì j(a) j(x) j(b) hoặc j (b)j(x)j(a))
2.3. Công thức tích phân từng phần:
udv = uv -vdu
2.4. Hàm lượng giác:
1. tgx dx = - ln ½cosx½+ c
2. cotgxdx = ln½sinx½+ c
3. cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + c
4. tg(ax + b)dx = -ln½cos (ax + b)½+ c.
2.5. Hàm căn thức:
1. = arcsinx + c
2. = arcsin + c
3. = ln½x ± ½+ c
4. 
5. 
6. 
2.6. Hàm phân thức hữu tỉ:
 = arc tgx + c 	
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
I. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DÙNG ĐỊNH NGHĨA - CÔNG THỨC ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Ví dụ 1: Tính các tích phân - tìm nguyên hàm:
a. * (x2 - 2x + dx = - x2 + 4 ln½x½+ c
 * (2x. 32x + dx = [(2.32)x +x1/3]dx
b. * cos2xdx = (1 + cos2x)dx = dx + cos2xd2x
 = 
 * I = 
 = tgx
 * I = 
 = 
 = 
 = 
 * I = 
Các bài tập đề nghị:
 I = 	I = 
 I = 	I = 
 I = I = 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
2.1. Phương pháp:
Giả sử u(x) có đạo hàm liên tục trên J (sao cho f(u(x)) xác định trên J a,b ÎJ, µ=u(a) b = 4(b) khi đó:
	f[u(x)] u'(x) dx = F[u(x)] + C. (F(u) là ng/h của f(x)
	f[u(x)]. u'(x)dx = f(x) dx
với các ghi nhớ: L1. Đặt j(x) = t với t là biến số mới
 	 Đổi cận (nếu là tích phân xác định).
 	 L2 . Đặt x = j(t) với t là biến số mới.
2.2. Các ví dụ minh hoạ:
Loại 1:
1.	I = [x(3.x4)dx = x3(3 - x4)3dx
Cách 1: Đặt 3 - x4 = t Þ dt = - 4x3dx Þ x3dx = -dt
Vậy: 	I = -
 = -(3 - x4)4 + c
2.	I = (tgx + tg3x) dx = tgx( 1 +tg2x)dx
Đặt tg x = t	Þ dt = (1 + tg2x) dx
Vậy: 	I = tdt = + c = tg2x + c
3. lnxdx = lnxd(lnx) = ln2(x) + c
4. 	I = 	Đặt ex + 1 = t Þ dt = ex dx
Vậy 	I = = ln ½t½+ c = ln ½ex + 1½ + c.
5.	I = 	Đặt ex = t Þ dt = endx
 	với x = 0 thì t = 1 ; x = 1 thì t = e
Vậy	I = 
	 = ln½t + ½ 
6. 	I = 	Đặt cosx = t Þ dt = - sinxdx 
 	x = 0 Þ t = 1 ; x =p/3 Þ t =1/2
Vậy	I = - 
	 = (- ln½t½+ t2) 
Loại 2: 
1. 	I = 
 Đặt x = cost Þ dt = - sintdt
 Khi t = thì x = 0 ; t = 0 thì x = 1
Khi đó	I = 
 	 = 
Đặt	J = 	Khi đó I + J = 
 và I - J = 
 = - ln½sint + cost½ Þ I = J
 Vậy I = p/4.
2.	I = 	 	Đặt x = sint Þdx = costdr
 	với t = p/2 thì x = 0 ; t = 0 thì x = 1
Vậy 	I = 
3.	I = 	Đặt t = 2 + 1 Þ dx = dt; với x = 0 thì t = t;
 x = 3 thì t = 4.
Khi đó:	I = do f(x) = không liên tục trên [0,3]
Nên không đổi biến x = 2 sint để tính được. Do đó trước khi đổi biến nên chú chú ý liên tục của hàm số . Hoặc với hàm số f(x) = sin22x + 1 do t=tgx thì t k' ct trên t 0, p/2J, nên không tính được.
I = bằng cách đặt t = tgx.
III. PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN, NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN.
3.1. Nguyên hàm: u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì.
u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u'(x)dx
3.2. Tích phân xác định:
u(x), v(x) là các hàm số có đ/h liên tục nên I, a, bÎJ thì
u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) u(x) v'(x) dx
Chú ý: 
1) Đối với dạng p(x).eaxdx; p(x) sin axdx... trong đó p(x) là một đa thức thì nên chọn u(x) = p(x). Riêng p(x). lnxdx thì chọn u(x) = ln(x).
2) Nếu phải lấy từng phần nhiều lần thì phải giữ nguyên hàm đã chọn là u(x) hay v(x).
3.3. Các ví dụ minh hoạ:
1.	I = lnx dx	
Chọn u(x) = ln(x) ; v'(x) = 1
Þ u'(x) = ; v(x) = x
Khi đó	I = x.lnx - x.dx = xlnx - x + c
2.	I = 	 Đặt u(x) = lnx Þ u'(x) = .
 x V'(x) = Þ v'(x) = 2
Khi đó	I = 2
 	 = (2
3. 	I = x2 e3xdx	 	Đặt u(x) = x2 Þ u' = 2xdx 
 	 v'(x) = e3x Þ v(x) = e3x 
Khi đó	I = e3x.2xdx = e3 - I1
Đặt 
Khi đó I1 = 
= 
4. 	I = 
Đặt x = u ® u' = 1
 v'(x) = sin 2x ® v(x) = -cos 2x p/4
Vậy	I = 
	 = 
5.	I = đặt u(x) = 2x® u' = 2
 v'(x) = 	®v(x) = tgx.
 	I = 
 	 = 
 	 = 
6. 	I = ex cosx dx	 Đặt ex = u ® u' = ex
 v'(x) = cosx ® v = sin x
Þ	I = excosx dx = sins ex - sinx exdx
 = e. sin1 = I1.
Đặt ex = u1 ® v1'(x) = sinx ® v1(x) = - cosx
Þ I1= (- cosx). ex + cosx. Ex dx = - e cos 1 + 1 + I
Þ I = e. sin1 - 1 + e cos1 - I Þ I = 
7. Bài toán phối hợp cả 3 phương pháp.
	I = Þ t2 = x Þ 2tdt =dx
 Với x = 0 Þ t = 0 ; x = p2/4 Þ t = p/2 vậy
	I = (sint) 2tdt Đặt u(t) = t Þ u'(t) = 1
 v'(t) = sint Þ v(t) = - cost.
Þ	I = - 2tcost 
Bài tập đề nghị:
	I1 =	 I2 = 
	I3 = I4 = 
 HD: u(x) = x + sinx
 viết 1 + cosx = 2cos2 
 Đáp số: (0-2) p/8.
+) Lấy tích phân nhiều lần từng phần
	I = I = 
 	I = x2ex sinx dx.
HD: u = x2 ® u' = 2x
 v'(x) = exsinx ® v =ex (sinx - cox).
IV. PHƯƠNG PHÁP CẶP ĐÔI:
Ví dụ 1: 	I = 
Xét	J = 
Khi đó I + J = (1)
Đặt	x = Þ dx = - dt
Với 	x = 0 Þ t = p/2 ; x = p/2 Þ t = 0
Khi đó:	I = -
 	 = (2)
Từ (1), (2) suy ra 2 I = p/2 Þ I = p/4.
Bài tập đề nghị:
+) 	I = sin (lnx)dx &	J = cos(lnx)dx
+) Tính	I =sin2xdx & 	J = cos2xdx.
+) Tính	I = (xsinx)2 & 	J = (xcosx)2dx.
V. TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ 
Dạng I. 	
Dạng II.	
+) Nếu f(x) = ax2 + bx + c có
· D < 0 thì 	I = 
 = 
· D = 0 thì 	I = 
· D > 0 thì 	I = 
 	 = 
	Các dạng khác có thể kết hợp với việc dùng công thức đổi biến số với kỹ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần đưa về các dạng trên.
	Ví dụ minh hoạ:
	1. 	I = 
	2. 	I = 
 	 = 
	 =
	3. 	I = 	
 	 = 
	4. 	I = 
 	 = ln
	5. 	I = 
Ta có:	 
	Khi đó: 
	Vậy 	I = 
 	 = ln (x + 1) - ln (2x + 1) + C.
	6. 	 
 	 = 
 	 = 
	7. 	I7= 
 = 
	Hay ta có:
	Vậy I7 = 
VI. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC	1. Phép thế vạn năng	Đặt tg
 Đối với dạng R(sinx, cosx)dx trong đó R là hàm hữu tỉ.
ĐB: Có thể dùng phép thế cosx = t nếu R lẻ đối với sinx &sinx = t. 
 Nếu k là d với cosx, tgx = t nếu k chẵn với sinx &cosx
	2. sinx cosxx dx
	TH1: ít nhất 1 trong các số mũ m hoặc n là số lẻ dương thì đặt hàm có số mũ chẵn là t.
	TH 2: Cả 2 số mũ m&n đều chẵn dương thì dùng công thức góc nhân đôi.
	3. sin mx cos nx dx
	Dùng công thức biến đổi tính thành tổng
	4. Phép thế lượng giác
	I1 = 
 	I3 = 
	đối với	I1 dùng phép thế: x = asint hoặc x =acost
 	I2 dùng phép thế: x = atgt hoặc x = acotgt
 	 I3 dùng tích phân từng phần...
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:	I = 
Đặt tg khi đó sinx =
Khi đó	I = 
Hay 	I = 
Ví dụ 2:	 
	Vì hàm số dưới dấu tích phân lẻ đối với sinx nên ta đặt 
 cosx = t dr =- sinxdx
Vậy	I = 
 = 
Ví dụ 3.	I3= 
Nhận xét:
Hàm dưới dấu tích phân là chẵn đối với sinx & cosx nên đặt tgx = t
Khi đó:	sinx = dx = 
Vậy	I3=
Hay 	I3= 
Ví dụ 4.	I4=
Đặt sinx = t Þ dt = cosx dx
Vậy 	I4= 
Hay 	I4= 
Ví dụ 5. 	I5= 
Đặt cosx = t Þ - sin xdx = dt
 Þ	I5= - (1 - t2) t-4/3dt = ... = 
Ví dụ 6.	
Ví dụ 7. 	
Ví dụ 8. 	
 = 
Bài tập đề nghị:
	I1= 	I2= 
	I3= 	I4= 
 	I5= 	I6= 	
	Phép thế lượng giác với hàm số vô tỉ
	 thì đổi biến x = Acost hoặc x = Asint.
1.	I1= 
 	x = 2cost Þ dx = -2 sintdt.
Khi	 t = thì x = 0 ; t = 0 thì x = 2.
Vậy	I1= (- 2sint)dt
 = 
2. 	I2= Đặt x = cost Þ dx = - sintdt.
 Nếu t = p/2 thì x = 0; t = 0 thì x = 1
Vậy:	I2= 
Xét	J2= Khi đó I2 + J2 = .
Và	J2 - I2 = 
	Þ I2 = J2
Vậy 	I2 = J2 = p/4.
* Với hàm thì đổi biến x = Atgt
1.	I3 = Đặt x = tgt Þ dx = (1+tg2t)dt
 	 Với t = p/4 thì x = 1; t = p/3 thì x = 
Þ	I3 = 
Đặt sin t = u Þ du = costdt ; x = p/2
Vậy	I3 = 
Vậy	I3 =
 	 = 
+ Với hàm thì đổi biến x = A/cost hoặc lấy tích phân từng phần...
Ví dụ 1:	I1= 
Đặt	x2 = u Þ du = 2xdx.
 	(Với x = 1 ® u = 1 ; x = 3 ® u = 9)
Khi đó:	I =
 = 
 = 
2. I2 = 
 	v' = 1 ® v = x
Vậy 	I2 = 
Có	I3 = 
	 = I2 + ln I2 + ln (2 + )
Vậy 	I2 = 2 + = I2 - ln (2 + ) Þ I2 = 
* Các hàm vô tỉ khác.
Ví dụ 1: I1 = 
Ví dụ 2: I2 = 
Đặt 	
Vậy	I2 = 
 	 = 
Ví dụ 3:	I3 = 
Đặt lnx = t Þ dt = d (lnx)
	x = 1 ® t = 0; x = e ® t = 1
Þ	I3 = 
Đặt 
Với 	t = 0 Þ u = 1 ; t = 1 Þ = 2
Þ	I3 = 
Ví dụ 4:	I4 = 
Đặt	
Với	 vậy
	I4 = 
Ví dụ 5:	I5 = 
Đặt	
Với 	x = 1 thì t = 0 ; x = 2 thì t = 1
Vậy	I5 = 
 	 = 
 	 = 
VII. CÁC HÀM SỐ KHÁC.
Ví dụ 1: 	I1 = 
 	 = 
 	 	 = 
Ta có	I2 = 
Vậy	I2 = 
Ví dụ 2: 	I3 = Đặt x = - t Þ dx = - dt
 	 Với x = - 1 thì t = 1 ; x = 1 thì t = -1
Khi đó:	I3 = 
Vậy I3 + I3 = Þ I3 = 1/5
Ví dụ 3: 	I4 = Đặt x = p - t Þ dx = - dt; x = 0 thì t = p
 x = p thì t = 0
Vậỵ	I4 = 
PHẦN III. KẾT LUẬN
	Để góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc đổi mới phương pháp dạy giải bài tập có một vai trò rất quan trọng, vì nếu tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học thì có thể nâng cao chất lượng dạy toán học.
	Trong đề tài này, tôi đã trình bày một số ý kiến về vấn đề Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình. 
	Những kết quả nghiên cứu của đề tài cho phép tôi tin rằng bồi dưỡng cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thực tiễn, giáo viên đã góp phần thực hiện các mục đích yêu cầu của việc dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân, đặc biệt phát triển năng lực trí tuệ của học sinh, rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt và khả năng sáng tạo. 
	Song đề tài cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp. Tôi xin cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Người viết
Đỗ Thị Hồng Hạnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà xuất bản Giáo dục;
[2] Bài tập Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục;
[3] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất bản Giáo dục;
[4] Bài tập Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm - Nhà xuất bản Giáo dục;
[5] Các bài giảng luyện thi môn toán - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất bản Giáo dục;
[6] Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn Vĩnh Cận - Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;
[7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;
[8] Đề thi tuyển sinh môn Toán - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải -
Nhà xuất bản Giáo dục;
[9] Các đề thi đại học các năm trước;
[10] Các đề thi thử đại học các năm trước;
[11] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10, 11, 12 của các tỉnh những năm trước.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH NHẬN DẠNG VÀ ĐỀ RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH
Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh
Chức vụ: Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ- NĂM 2018.