SKKN Giúp học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT

MỤC LỤC
 Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài..................................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 2
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................. 2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng................................................ 3
2.3. Các giải pháp và biện pháp thực hiện...................................................... 3
 Phần I: Ôn tập và bổ sung một số kiến thức................................................ 3
 Phần II: Các phương pháp giải bài toán tìm GTLN(Max), GTNN(Min)
của một biểu thức....................................................................................... ..... 4
 Phần III: Phân loại một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức............................................................................................................... ... 8
 Phần IV: Những sai lầm học sinh thường mắc phải.................................... 15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..................................................... . 17
3. KẾT LUẬN
* Bài học kinh nghiệm .............................................................................. ... 18
3.1. Kết luận...................................................................................................... 19
3.2.Kiến nghị................................................................................................... 19
ĐỀ TÀI:
GIÚP HỌC SINH LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài.
 Như chúng ta đã biết: Toán học là môn học cơ bản. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán mà từ đó vận dụng vào các môn khoa học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên. Toán học là cơ sở cho mọi ngành khoa học khác vì vậy có vai trò quan trọng trong dạy học ở trường phổ thông, đòi hỏi người thầy phải có nghệ thuật sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng nhu cầu học của học sinh.
 Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường trung học cơ sở là nhiệm vụ xuyên suốt của mỗi giáo viên nói riêng và mỗi nhà trường nói chung, trong đó chất lượng lớp 9 là cơ sở đánh giá của quá trình giáo dục ở cấp trung học cơ sở.
 Là một giáo viên dạy toán lâu năm ở trường THCS bản thân luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn. Để làm được điều đó mỗi giáo viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy, tích cực kiểm tra, theo dõi sát việc học tập của học sinh. Qua đó, cần phải uốn nắn giải đáp vướng mắc cho các em, điều chỉnh phương pháp giảng dạy sao cho học sinh dễ học, dễ nhớ, khắc sâu được kiến thức.
 Trong chương trình toán học ở trường THCS không có bài học về “Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số”. Tuy nhiên trong hệ thống các bài tập đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi, học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10 chúng ta lại bắt gặp khá nhiều dạng toán này. Trong năm học 2015 – 2016 dưới sự phân công của nhà trường, tôi trực tiếp giảng dạy môn toán 9 và thấy việc tiếp cận các bài toán dạng này của các em còn rất lúng túng, thậm chí các em còn chưa hiểu rõ mình phải làm gì trước câu hỏi đặt ra của đề bài. Vì thế tôi đã cố gắng tìm tòi và phát hiện ra ngay từ các lớp dưới các em đã không được làm quen với các khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
 Để giúp học sinh có một công cụ để giải quyết các vấn đề tồn tại trên, tôi mạnh dạn đưa ra “Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” với mong muốn giúp các em trút bỏ được nỗi băn khoan, lo lắng khi tiếp cận với hệ thống các bài tập dạng này.
 1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm củng cố cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi môn toán lớp 9 một số kiến thức để giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp các em nhận biết và tránh những sai lầm khi giải toán để bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn, không những vậy mà còn giúp các em tự tin hơn khi học toán.
Đề tài cũng nhằm giúp cho giáo viên có thêm một tư liệu, cẩm nang bổ ích để thực hiện nhiệm vụ dạy học sáng tạo, có hiệu quả.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất(cực trị)
- Một số dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9.
- Phân tích, nhận xét, đánh giá những sai lầm mà học sinh thường mắc phải và rút ra bài học kinh nghiệm.
 Trong phạm vi giới hạn tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu một số phương pháp chung cơ bản nhất, nhằm cung cấp cho các em kiến thức cơ bản nhất về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
1. 4. Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu bồi dưỡng, 
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau.
2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
 Năm học 2016 - 2017 là năm học mà toàn ngành tổ chức phong trào thi đua với chủ đề “Đổi mới, sáng tạo trong dạy và học” nhằm tiếp tục triển khai có hiệu quả Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội XI Công đoàn Việt Nam, Nghị Quyết Đại hội XIV CĐGD Việt Nam và Kế hoạch hành động của CĐGD Việt Nam triển khai thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW; động viên cán bộ quản lý, nhà giáo, người lao động trong toàn Ngành thể hiện bằng những việc làm cụ thể, thiết thực để đổi mới, sáng tạo trong công tác, hoạt động dạy và học của nhà giáo và học sinh, sinh viên, tạo bước chuyển biến mới về nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo - thực hiện nhiệm vụ phát triển nguồn nhân lực, nhất là nguồn nhân lực chất lượng cao.
Trường THCS là cơ sở giáo dục của bậc trung học, là bậc nối tiếp của bậc tiểu học trong hệ thống giáo dục quốc dân. Trường THCS có vai trò, vị trí lớn lao trong việc thực hiện mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục trong thời đại mới - thời đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa.
Trường THCS tạo những cơ sở ban đầu rất quan trọng và bên vững cho trẻ em, ở đó các em được trang bị các kiến thức cơ bản trong mọi lĩnh vực nói chung và lĩnh vực khoa học tự nhiên nói riêng trong đó có toán học - toán học giữ vai trò hết sức quan trọng, nó sẽ là hành trang xuyên suốt cả cuộc đời con người. Toán học được hình thành và phát triển trong các em ngay từ bậc tiểu học và phát triển sâu hơn, cao hơn bậc trung học, ở trường THCS nó lại là tiền đề để các em hoàn thiện hơn ở cấp học tiếp theo.
Trong trường THCS các em đã được hình thành và ngày càng hoàn thiện các khái niệm, tiên đề, định nghĩa, tính chất, mệnh đề ... toán học. Các kiến thức về toán học này sẽ tiếp tục theo các em tiến bước lên cấp học, bậc học trên. Trong phạm vi đề tài tôi chỉ đề cập “Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” nhăm trang bị cho các em những khái niệm cơ bản về toán cực trị để tạo tiền đề cho các em bước vào trường THPT và bậc học cao hơn.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG.
a. Thực trạng dạy và học ở trường THCS.
Việc truyền thụ những kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức cho học sinh là một vấn đề được nhiều giáo viên quan tâm, song vì lý do nội dung chương trình nên phần lớn chỉ được đưa vào dạy và học nội dung này trong các buổi học ngoại khóa hoặc bồi dưỡng ...
Mặt khác bài toán cực trị lại là một bài toán khó và đa dạng, học sinh không dễ dàng tiếp cận ngay được, mà phải có một thời lượng nhất định và đặc biệt là người giáo viên phải biết truyền đạt nội dung đó như thế nào để trong một thời lượng nhất định đó học sinh có thể tiếp nhận được.
b. Thực trạng của học sinh.
 Qua kiểm tra cho thấy khả năng giải bài toán tìm cực trị của các em không cao, các em thường nghĩ giải xong một bài toán là xong một công việc mà không nghĩ được rằng bài toán đó có ý nghĩa như thế nào và như thế khi gặp một bài toán có phương pháp giải tương tự các em lại lúng túng không biết tháo gỡ ra sao. Bên cạnh đó còn có những giáo viên chưa chú trọng đi sâu vào nội dung một cách lôgíc, hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên việc tiếp nhận kiến thức của học sinh gặp nhiều khó khăn thậm chí học sinh còn rất mơ màng, lúng túng, không đưa ra được lời giải hợp lí và tính chính xác của toán học. Vì vậy kết quả của học sinh lớp 9 trong năm học 2015-2016 như sau:
Năm học
Tổng số HS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2015-2016
38
1
2.6
7
18.4
18
47.2
10
26.3
2
5.5
2.3. CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 
 PHẦN I. ÔN TẬP VÀ BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC.
 Đây là một yêu cầu hết sức quan trọng trong lời giải toán cực trị, bởi việc nắm bắt các kiến thức này giúp học sinh đánh giá, nhận xét một bài toán từ đó tìm tòi lời giải một cách hợp lý nhất. Cụ thể là: người thầy phải cho học sinh hệ thống lại một số hằng đẳng thức.
1. a2 0 với mọi a Î R: Tổng quát a2k 0 với mọi a Î R(k z+). Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = 0
2. - a2 0 với mọi a Î R: Tổng quát - a2k 0 với mọi a Î R(k z+). Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = 0
3. = 
4. 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
5. 
6. . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
7. . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
8. a2 + b2 2ab. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
9. a b; ab 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
10. Bất đẳng thức côsi(Cauchy). 
 Với hai số thực không âm a và b ta có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 Với n số thực không âm a1, a2, ....an ta có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
11. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
 Cho hai bộ số thực (a1, a2...., an); (b1, b2, ....bn) ta có :
 (a1b1 + a2b2+....+ anbn)2 (a12 + a22 + .... + an2)(b12 + b22 + ....+ bn2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
PHẦN II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN(MAX), GTNN(MIN) CỦA MỘT BIỂU THỨC.
 * Định nghĩa 1: Cho một biểu thức f(x;y;) xác định trên miền D. ta nói M là giá trị lớn nhất(GTLN) của f(x;y;) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:
Với mọi x; y;  thuộc D thì f(x;y;) M với M là hằng số
Tồn tại x0; y0;  thuộc D sao cho f(x;y;) = M
 * Định nghĩa 2: Cho một biểu thức f(x;y;) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của f(x;y;) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:
Với mọi x; y;  thuộc D thì f(x;y;) m với m là hằng số
Tồn tại x0; y0;  thuộc D sao cho f(x;y;) = m.
 Như vậy khi tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, giáo viên phải lưu ý cho học sinh giải quyết hai điều kiện, nếu thiếu một trong hai điều kiện trên thì sẽ chưa kết luận gì về cực trị của một biểu thức.
 Để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng, giáo vên nên cho học sinh nắm bắt vấn đề từ dễ đến khó, từ những phương pháp đơn giản nhất với những bài toán đưa ra cũng đơn giản nhất nhằm thu hút sự chú ý của học sinh và đặc biệt là tạo hứng thú học tập cho học sinh. Chính vì lẽ đó, tôi đã đưa ra một số phươg pháp sau
1. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.
 a. Phương pháp đưa về lũy thừa bậc chẵn.
 Cho biểu thức y = f(x) ta phải biến đổi y = f(x) như sau:
 * y = f(x) = M - (k z+) và M là một hằng số. Khi đó ta có: y MGTLN của y bằng M khi và chỉ khi g(x) = 0. Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm được giá trị của x0
 * y = f(x) = m + (kz+) và m là một hằng số. Khi đó ta có: y mGNLN của y bằng m khi và chỉ khi g(x) = 0. Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm được giá trị của x0.
 Sau khi học sinh đã nắm được vấn đề cần giải quyết, giáo viên đưa ra ví dụ minh họa cho việc làm.
 VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 – 3x + 1
HD giải.
 Ta có A = x2 – 3x + 1 = (x - )2 + 
 MinA = x - = 0 x = . 
 Vậy MinA = x = .
 VD 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 1 + 6x – x2
HD Giải.
 Ta có B = 10 – (x2 – 6x +9) = 10 – (x- 3)2 10 Max B = 10 x = 3
 VD 3. Tìm GTNN của biểu thức C = 
HD Giải.
 Ta có C = = 
 = MinC = x = 2017
(Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị)
 b. Phương pháp đưa về dạng m (kz); m là hằng số.
 Việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở phương pháp này đòi hỏi phải tách, thêm bớt một cách khéo léo mới làm xuất hiện dạng tổng quát. Chẳng hạn như: 
 VD: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 
HD Giải.
 * Tìm GTLN.
 Ta viết A dưới dạng A = = 
 = = 4 - Max A = 4 x = . 
 Vậy GTN của A bằng 4 khi x = .
*Tìm GTNN.
Ta viết A dưới dạng: A = = = 
 = MinA = -1 x = 2.
 Vậy GTNN của A bằng – 1 khi x = 2
(Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị)
 Với phương pháp này, tùy vào từng bài cụ thể giáo viên cho học sinh nhận xét và tìm cách thêm bớt, hoặc tách các hạng tử một cách thích hợp, nhằm xuất hiện dạng tổng quát. Chẳng hạn với ví dụ trên, do x2 + 1 > 0 
 Nên để tìm GTLN ta tìm cách biến đổi A = m (g(x) > 0).
 Còn để tìm GTNN ta tìm cách biến đổi A = m (g(x) > 0).
c.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
 Việc sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải bài toán tìm GTLN, GTNN là rất tiện lợi. Song muốn đạt được điều này đòi hỏi giáo viên phải cho học sinh nắm chắc phần chứng minh bất đửng thức và khai thác trên điều kiện bài toán, nhất là phải biết nhìn nhận, đánh giá nội dung đề bài một cách linh hoạt và khéo léo.
 VD 1: Tìm GTLN của biểu thức. A = (với )
HD Giải.
 Nhận thấy: x + 2 – x = 2. Nên với ta áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x và 2 – x ta có:
 . Đẳng thức sảy ra x = 2 – x x = 1.
 Vậy MaxA = 1 x = 1
 VD 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 3x(3 – 2x) (với ) 
HD Giải.
 Ta có B = khi đó với áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm 2x và 3 – 2x ta có:
 2x(3 – 2x) B 
 MaxB = . Vậy MaxB = 
 VD 3: Tìm GTLN của biểu thức C = . (với)
HD Giải.
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số thực (1;1) và (; ta có:
 C2 = = 2.8 = 16
 Do C nên MaxC = 4 x = 2
 d. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức .
 VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 
HD Giải.
 Với và áp dụng bất đẳng thức . Ta có:
 A = MinA = 1 x(1 – x) 
 Vậy MinA = 1 
 VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 
HD giải.
 Áp dụng bất đẳng thức ta có.
 B = 
MinB = 1 
 MinB = 1 
 VD 3: Tìm GTNN của biểu thức C = 
HD Giải.
 Tương tự như ví dụ trên ta có:
 Mặt khác ta lại có do đó C = 0
 Min C = 8 và (x - 1)(9 - x) 0 x = 7 và 
 Vậy Min C = 8 
 Ở ví dụ này cần chú ý học sinh thấy được trong các trường hợp ta xét và thì không tìm được giá trị của x thỏa mãn để biểu thức đạt GTNN.
 Ngoài phương pháp sử dụng hằng đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trên, các em có thể sử dụng phương pháp xét khoảng giá trị của biến. Chẳng hạn như đối với ví dụ trên ta có:
	+ x < 1 thì C = - x + 1 - x + 7 - x + 9 = -3x + 17 14 
	+ thì C = x - 1 - x + 7 - x + 9 = - x + 15 8
	+ thì C = x - 1 + x - 7 - x + 9 = x + 1 > 8
	+ x > 9 thì C = x - 1 + x - 7 + x - 9 = 3x - 17 10
 Kết hợp ba trường hợp trên ta có: Min C = 8 
 2. Phương pháp sử dụng miền giá trị(tập giá trị của biểu thức)
 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Gọi m là một giá trị của f(x) ứng với một giá trị nào đó của x, như vậy sẽ tồn tại giá trị của x thuộc miền D sao cho f(x) = m hay phương trình f(x) = m có nghiệm
 Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = m. Ta sẽ tìm GTNN, GTLN.
 Ta cũng xem f(x) là một hàm số thì việc tìm GTNN, GTLN của f(x) nghĩa là tìm cận trên cận dưới của tập giá trị của hàm số đó.
 VD 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 
HD Giải.
 Gọi m là giá trị thuộc miền giá trị của A khi đó ta có:
 = m 
 có nghiệm (1)
* Với m = 1. Từ (1) 3x + 3 = 0 
* Với m . (1) có nghiệm 
 Kết hợp cả hai trường hợp ta có: MaxA = 2 
 MinA = - 2 
 Vậy MaxA = 2 x = - 2
 MinA = - 2 x = 0
 VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = 
HD Giải:
 Nhận thấy B xác định với mọi x. Gọi m là một giá trị của B khi đó ta có: 
 = m
 có nghiệm (1)
* Với m = 1. Từ (1) - 3x = 0 
* Với m . (1) có nghiệm 
 . Suy ra
 Min B 
 MaxB = 
Vậy Min B = 
 Max B = 
 Từ hai ví dụ trên ta thấy phương pháp này rất hiệu quả, một lúc chúng ta có thể tìm được đồng thời cả GTLN, GTNN. Tuy nhiên để sử dụng được phương pháp này, giáo viên phải cho học sinh nắm vững được dấu của nhị thức và dấu của tam thức bậc hai(giải bất phương trinh tích)
 Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm cực trị của một biểu thức đại số mà các em được biết trước khi chúng em dùng đạo hàm
PHẦN III. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC THƯỜNG GẶP.
 Trước khi cho học sinh giải được các bài toán cực trị không mẫu mực thì nên cho học sinh tiếp cận với một số bài toán thường gặp sau
 1. Dạng 1:Tìm GTLN, GTNN của một tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx+ c 
 Phương pháp chung để giải loại toán này là : Biến đổi về dạng lũy thừa bậc chẵn: m (k) cụ thể là.
	+ Nếu a > 0 thì f(x) = aX2 + m 
	+ Nếu a < 0 thì f(x) = aX2 + m 
VD 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2.
HDGiải:
Ta có A(x) = (x - 1)2 + (x - 3)2 = x2 - 2x + 1 + x2 - 6x + 9 
 = 2(x2 - 4x + 5) = 2(x - 2)2 + 2 2
Vì (x - 2)2 0 với x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
VD 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x + 1
HD Giải:
 Từ B(x) = - 5x2 - 4x + 1 ta có B(x)= - 5(x2 + x) + 1
= 
V× víi nªn 
Max B(x) = 
2. Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bậc cao
 Đối với dạng bài tập này có thể hướng dẫn học sinh đổi biến để đưa về dạng tam thức bậc hai, hoặc biến đổi trực tiếp về lũy thừa bậc chẵn.
 VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 4
HD Giải.
 Ta có : A = x2(x2 - 4x + 4) + (x2 - 4x +4)
 = (x - 2)2(x2 +1) 0 Min A = 0 x = 2
 VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
HD Giải.
* Cách 1. Ta có: B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6)
 = (x2 + 5x + 4)
 = (x2 + 5x + 4)2 + (x2 + 5x + 4)2 + 1 - 1
 = (x2 + 5x + 4 + 1)2 - 1 - 1
 B = - 1 x2 + 5x + 5 = 0 
 Vậy Min B = - 1 
* Cách 2. Từ B = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6). 
 Đặt x2 + 5x + 5 = y B = (y - 1)(y + 1) = y2 - 1 - 1
 B = - 1 y = 0 hay x2 + 5x + 5 = 0 
 Vậy Min B = - 1 
 3. Dạng 3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
 VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 
HD Giải.
Ta có: A = = 
(Xem VD 2 mục IIId).
 VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 
HD Giải.
 Ta có: B = 
 (Đến đây ta giải tương tự VD 3 mục IIId).
 VD 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 2(1 + ) - (x - 1)2
HD Giải.
 Ta có: C = - (x - 1)2 + 2) + 2 
 Đặt y = (y > 0) Ta có: C = - y2 + 2y + 2 = -(y - 1)2 + 3 3
 Max C = 3 y = 1 hay = 1 x - 1 = 1 x = 0 hoăc x = 2
 Vậy Max C = 3 x = 0 hoăc x = 2
 4. Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của một phân thức.
 Trong dạng này có thể phân loại cho học sinh thấy được phân thức có tử là một hằng số, mẫu là một tam thức bậc hai, hoặc phân thức có mẫu là một bình phương, hoặc căn cứ vào từng bài cụ thể mà lựa chọn cách phù hợp với mục đích biến đổi về dàng hoÆc .
 VD 1: Tìm GTLN của biểu thức 
HD Giải:
 Ta có: 
 = 
 Vì (x+1)2 0 với x nên (x+1)2+2 2 với x.
 Do đó: A(x) =
 Max A(x) = khi (x+1)2 = 0 x = -1
VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B(x) = với 
HD Giải:
Ta có: B(x) = 
 Vì (x- 4)2 0 với nên (x- 4)2+6 6 nên 
Min B(x) = khi (x- 4)2 = 0 x = 4
 VD 3: Tìm GTNN của biểu thức C = 
HD Giải.
 Ta có: C = = 2 + 
 C = 2 x - 2= 0 x = 2. Vậy Min C = 2 x = 2
 Tuy nhiên cũng có thể hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đổi biến chẳng hạn như: Đặt x - 1 = y x= y + 1 do đó ta có: 
 C = 
 = 
 C = 2 x - 1= 1 x = 2. Vậy Min C = 2 x = 2
 VD 4: Tìm GTLN, GTNN của một phân thức D = 
HD Giải:
* Tìm GTNN.
 Ta viết D dưới dạng D = = 
 = D = x + 2 = 0 x = - 2. 
 Vậy Min D = x = - 2
* Tìm GTLN. 
 Ta viết D dưới dạng D = = 
 = 1 D = 1x - 1= 0 x = 1. 
 Vậy M