SKKN Giúp học sinh lớp 10 khắc phục một số sai lầm khi giải toán bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 GIÚP HỌC SINH LỚP 10 KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Người thực hiện : Thi Văn Chung
Chức vụ : Phó Hiệu trưởng
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
 NỘI DUNG 
Trang
1. MỞ ĐẦU 
2
1.1. Lí do chọn đề tài 
2
1.2. Mục đích nghiên cứu 
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
2
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
3
2.1. Cơ sở lí luận
3
2.1.1. Bất phương trình bậc nhất, bậc hai 
3
2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất
3
2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai
3
2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu
3
2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp
3
2.2. Thực trạng vấn đề
5
2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình và biện pháp khắc phục 
5
2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai
5
2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức
7
2.3.3. Sai lầm khi giải các bất phương trình chứa tham số
10
2.3.4. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
16
3.1. Kết luận
16
3.2. Kiến nghị
16
Danh mục SKKN đã được ngành GD và Đào tạo xếp loại
17
Tài liệu tham khảo 
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh chúng ta thường gặp các bài toán này.
 	Chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh bước đầu được tiếp cận với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên phần lớn học sinh lớp 10, nhất là đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây vẫn là phần kiến thức khó và học sinh dễ mắc phải những sai lầm. Để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp thu kiến thức và kỹ năng giải toán bất phương trình. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã kết hợp giữa việc hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bất phương trình cơ bản với việc chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp, đồng thời chỉ ra nguyên nhân của những sai lầm đó và những biện pháp khắc phục, sửa chữa kịp thời. Từ thực tế đó, tôi thấy rằng việc làm của mình đã có tác dụng rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán trong trường THPT Triệu Sơn 2. Chính vì thế tôi lựa chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục một số sai lầm khi giải toán bất phương trình ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 	Tôi thực hiện đề tài này nhằm hướng tới một số mục đích cơ bản sau:
+ Khảo sát, đánh giá được thực trạng việc học toán của học sinh khối lớp 10 ở trường THPT Triệu Sơn 2 trong năm học 2017-2018 và năm học 2018-2019.
+ Tìm hiểu khó khăn của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình, phân tích các sai lầm phổ biến của học sinh. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông.
+ Truyền cảm hứng học môn Toán cho học sinh, giúp các em học sinh tạo sự tự tin, yêu môn học, tích cực tự tìm tòi, học hỏi để nâng cao trình độ nhằm đạt kết quả cao trong kì thi HSG văn hóa cấp tỉnh và thi THPT quốc gia ở lớp 11, 12.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu những sai lầm thường gặp và một số giải pháp khắc phục sai lầm của học sinh lớp 10 khi học chương bất phương trình đại số.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
 + Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Các tài liệu tập huấn (một số phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực; phương pháp, kĩ thuật tổ chức hoạt động học và hướng dẫn học sinh tự học; đổi mới tổ chức hoạt động giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh); Trường học kết nối; Nguồn tài liệu mạng Internet; tài liệu về bất phương trình đại số lớp 10...
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin: Thu thập thông tin từ thực trạng học toán của học sinh lớp 10 tại Trường trung học phổ thông Triệu Sơn 2.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tổng hợp, xử lí số liệu về hiệu quả của việc áp dụng đề tài trước và sau khi thực hiện nghiên cứu.
1.5. Những điểm mới của đề tài
Có thể nói, chủ đề SKKN về khắc phục những sai lầm khi giải toán bất phương trình đại số lớp 10 là một chủ đề cũ, đã có rất nhiều SKKN làm, tuy nhiên ở SKKN này tôi tập trung sâu vào vấn đề mà các SKKN khác ít làm đó là: đưa ra các ví dụ và giải pháp hiệu quả để “khắc phục được sai lầm cho học sinh khi giải toán bất phương trình” đây cũng là nội dung quan trọng trong chương trình SGK lớp 10.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận 
2.1.1. Nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai.
2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất:.
Nghiệm của nhị thức là .
Định lí: Nhị thức bậc nhất cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm.
2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai
Định lí: Cho tam thức bậc hai ( ).
Nếu thì tam thức f(x) cùng dấu với a với mọi 
Nếu thì tam thức f(x) cùng dấu với a với mọi 
Nếu thì tam thức f(x) có hai nghiệm và
Tam thức f(x) cùng dấu với a với .
Tam thức f(x) trái dấu với a với .
2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu 
 Cho tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a0)
 f(x)>0, 
2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp
2.1.2.1. Bất phương trình bậc hai.
Xét bất phương trình bậc hai:. Dựa vào định lí về dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau: 
+ Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
+ Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
+ Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Ø 
+ Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
trong đó là hai nghiệm của phương trình 
+ Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là , trong đó là hai nghiệm của phương trình .
Với cách suy luận tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các bất phương trình dạng khác như:
.
2.1.2.2. Bất phương trình tích 
Phương pháp
Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng P(x)0, P(x), P(x). Trong đó P(x) là tích của một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. 
Bước 2: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số biểu thức P(x) rồi suy ra miền nghiệm của bất phương trình.
2.1.2.3 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp 
Bước 1: Đặt điều kiện xác định.
Bước 2: Đưa bất phương trình đã cho về dạng
trong đó tử thức và mẫu thức là tích một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. 
Bước 3: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số vế trái, từ đó chọn miền nghiệm thích hợp với điều kiện. 
* Chú ý 
 .
2.1.2.4. Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Dạng 1: 
Dạng 2: 
Dạng 3: hoặc 
Dạng 4: 
Dạng 5: hoặc 
2.2. Thực trạng vấn đề
Phần bất phương trình là một phần mới đối với các em học sinh lớp 10. Đa số các em đang quen giải theo kiểu phương trình nên khi chuyển thành dấu bất phương trình thì các em gặp không ít những bỡ ngỡ. Nhiều em kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay chưa thạo các thuật toán. 
Một mặt học sinh trường THPT Triệu Sơn 2 mà tôi đang giảng dạy thuộc vùng nông thôn, đời sống nhân dân đang còn khó khăn, chất lượng học tập của một bộ phận học sinh còn chưa cao. Đối với học sinh lớp 10 nhất là các em có học lực trung bình và yếu, khi giải toán bất phương trình thường gặp những khó khăn, sai lầm như: Không nắm vững định lý dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Không nắm vững phương pháp giải các bất phương trình cơ bản. Lúng túng trong giải quyết các bài toán bất phương trình chứa tham số, trình bày bài giải còn thiếu logic, chặt chẽ, khoa học 
2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình và biện pháp khắc phục 
2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai
Học sinh không biết vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc hai mà thường nhầm lẫn giữa cách giải bất phương trình bậc hai với cách giải phương trình bậc hai hoặc bất phương trình bậc nhất. Đặc biệt là với những bất phương trình bậc hai khuyết hệ số. 
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số sau 
Sai lầm thường gặp 
Điều kiện xác định của hàm số là:
Hướng khắc phục 
Học sinh cần nắm vững cách giải bất phương trình bậc hai và chú ý lấy nghiệm của bất phương trình dựa vào dấu của tam thức bậc hai (khi tam thức có hai nghiệm phân biệt thì dấu tam thức được xác định theo qui tắc ngoài cùng trong trái)
Lời giải đúng 
Điều kiện xác định của hàm số là : 
 + -3 - 3 +
Dấu của vế trái trên trục số: 
Vậy điều kiện xác định .
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 
 có 2 nghiệm trái dấu.
Sai lầm thường gặp 
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là: 
 ac < 0 
Hướng khắc phục 
Trong giải bất phương trình bậc hai khi tam thức có , học sinh thường nhầm lẫn trong cách dùng kí hiệu và . Do đó cần chỉ rõ cho học sinh thấy tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng hay hai khoảng để lựa chọn kí hiệu phù hợp. Trong bài toán trên khi xét dấu của tam thức miền nghiệm là hợp của 2 khoảng do vậy ta phải dùng kí hiệu .
Lời giải đúng 
 	Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là: 
 ac < 0 
 + -8 - 2 +
Vậy với m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 
Sai lầm thường gặp 
Đặt có , suy ra bất phương trình vô nghiệm. 
Khi giải bất phương trình bậc hai trong trường hợp học sinh không dựa vào định lí để kết luận nghiệm mà thường kết luận ngay bất phương trình vô nghiệm.
Hướng khắc phục 
 Dấu của tam thức phụ thuộc vào dấu của hệ số a và dấu của . Khi tam thức có thì tam thức luôn cùng dấu với hệ số a với mọi .
Lời giải đúng 
Đặt 
Ta có , suy ra với mọi 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức
2.3.2.1. Dạng ?
 Hướng khắc phục 
Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm bội chẵn) thì dấu của biểu thức không đổi khi đi qua nghiệm kép đó.
Đặc biệt: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau
Sai lầm thường gặp Đặt . 
 + 0 - +
Ta có : 
Xét dấu trên trục số 
Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 
 . 
Hướng khắc phục 
Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm bội chẵn) thì dấu của biểu thức không đổi khi đi qua nghiệm kép đó.
Đặc biệt: 
	 .
Lời giải đúng Đặt 
 - 0 - +
Ta có : 
Xét dấu trên trục số 
Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: . 
2.3.2.2. Dạng 
Sai lầm của học sinh: 
Đối với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, khi giải bất phương trình học sinh thường hay khử mẫu thức mà không để ý đến dấu của mẫu thức và phép biến đổi đó có tương đương hay không.
Hướng khắc phục: 
Học sinh cần chú ý đến xét dấu mẫu số và biến đổi về dạng: 
 sau đó lập bảng xét dấu vế trái hoặc dùng phương pháp trục số
Ví dụ 5. Giải bất phương trình
Sai lầm của học sinh thường gặp:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: 
Nguyên nhân sai lầm: thì <0 học sinh nhiều em không nắm được điều này.
Hướng khắc phục 
Học sinh cần nắm vững khi quy đồng bỏ mẫu khi nào và không được bỏ mẫu khi nào.
Lời giải đúng: Bất phương trình
Lập bảng xét dấu:
 x
 VT
 -
 0
 -5
 2
 -4
 3
 +
 0
 0
 0
 -
 +
 0
 0
 +
 ||
 ||
 +
 +
 +
 +
 -
 -
 -
-
 +
 -
 +
 +
Vậy tập nghiệm 
Khi giải bất phương trình dạng tích mà trong biểu thức có nghiệm kép khi xét dấu trên trục số học sinh vẫn áp dụng theo quy tắc đan dấu dẫn đến kết luận sai tập nghiệm của bất phương trình. 
Ví dụ 6: Giải bất phương trình 	
Sai lầm thường gặp 
 Đặt 
 - -1 + 1 - 2 +
 Ta có : 
 Xét dấu f(x) trên trục số 
 Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là 
Hướng khắc phục 
Ta thấy là nghiệm của cả tử thức và mẫu thức của f(x) nên f(x) không đổi dấu khi đi qua . Lời giải trên đã vi phạm điều này.
Lời giải đúng 
Điều kiện : 
Đặt 
Ta có : 
 + -1 - 1 - 2 +
Xét dấu f(x) trên trục số
Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
 .
Ví dụ 7: Giải bất phương trình 
Sai lầm thường gặp 
Hướng khắc phục 
Trong cách giải trên học sinh đã sai lầm khi nghĩ rằng , đây là cách suy luận thường sử dụng khi so sánh các phân số dương ở lớp dưới nhưng không đúng khi a, b tùy ý. Vì vậy học sinh cần chú ý rằng:
 .
Lời giải đúng Điều kiện: 
Với ta có vế trái dương vế phải âm nên bất phương trình vô nghiệm.
Với ta có 
Kết hợp với ta được 
2.3.3. Sai lầm khi giải các bất phương trình chứa tham số
Khi giải bất phương trình bậc hai chứa tham số cũng như giải toán tam thức bậc hai nói chung, các sai lầm thường xuất hiện do học sinh vội vàng áp dụng định lý khi chưa chú ý đến giả thiết bài toán hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận.
Ví dụ 8: Tìm m để biểu thức 
có nghĩa với mọi x.
Sai lầm thường gặp 
Biểu thức có nghĩa với mọi x
Hướng khắc phục 
Dễ thấy rằng với thì . Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp . Do đó cần lưu ý với học sinh rằng: 
Lời giải đúng 
Biểu thức có nghĩa với mọi x 
Với thì 
Với thì 
Vậy giá trị m cần tìm là .
Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Sai lầm thường gặp 
 Đặt 
Giả sử f(x) có hai nghiệm x1,x2, khi đó: 
 (hệ vô nghiệm )
Vậy không có giá trị nào của m để .
Hướng khắc phục 
Trong lời giải trên học sinh đã quên không xét trường hợp , khi đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi nên cũng nghiệm đúng với mọi . 
Lời giải đúng 
 Đặt 
TH1: 
TH2: Giả sử f(x) có hai nghiệm x1,x2, khi đó: 
 (hệ vô nghiệm )
Vậy với m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
2.3.4. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
Khi giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai học sinh thường nhầm lẫn với cách giải phương trình tương ứng hoặc không xem xét kĩ bài toán dẫn đến xét thiếu trường hợp, hoặc sử dụng các phép biến đổi không đúng.
Ví dụ 10: Giải bất phương trình
Sai lầm thường gặp 
Hướng khắc phục
Phép biến đổi trên đã xét thiếu trường hợp . Học sinh cần nhớ biếu thức tương đương khi giải bất phương trình là: 
Lời giải đúng 
Vậy bất phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 11: Giải bất phương trình: 
Sai lầm thường gặp (*)
Tập xác định: .
Với mọi thì nên 
Đối chiếu với tập xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 
	.
Hướng khắc phục :
Việc giải thích: Với mọi thì nên là chưa đủ căn cứ. Thật vậy, nếu và giá trị của tùy ý thì (*) vẫn được thỏa mãn. Trong giải toán bất phương trình học sinh thường áp dụng phép biến đổi không đúng sau: 
 mà đáng ra phải làm như sau:
 .
Lời giải đúng : Tập xác định: .
Với (thỏa mãn).
Với thì (thỏa mãn). 
Vậy nghiệm của bất phương trình là .
Ví dụ 12: (Tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 7- 2013) 
Giải bất phương trình:	 (**)
Sai lầm thường gặp
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Hướng khắc phục 
Lời giải trên đã mắc phải một số sai lầm sau: 
Thứ nhất: Chưa tìm điều kiện để bất phương trình (**) có nghĩa.
Thứ hai: Biến đổi
mà không để ý đến điều kiện chỉ xảy ra khi và . Vì vậy cách làm trên đã làm mất nghiệm của bất phương trình đã cho.
Lời giải đúng Điều kiện: .
Với : (**) 
Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
 Dễ thấy là một nghiệm của bất phương trình (**).
 Với : (**)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Bài tập tham khảo
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a. 	b. .
c. .	d. .
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
a. .	
b. .
c. .
d. .
Bài 3. Tìm m để bất phương trình:
 nghiệm đúng với .
Bài 4. Cho bất phương trình: 
a. Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng .
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm thoả mãn .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
	Ban đầu học sinh có học lực trung bình còn e ngại và gặp nhiều lỗi sai trong giải bất phương trình. Tuy nhiên sau khi được giáo viên hướng dẫn tỉ mỉ phương pháp giải của từng dạng bất phương trình và trên cơ sở nhấn mạnh những sai lầm mà các em thường hay mắc phải, học sinh đã có thể nắm vững phương pháp và đưa ra lời giải đúng được trình bày cẩn thận và hợp lý hơn trước rất nhiều. Các em đã tự tin và hứng thú hơn khi giải toán bất phương trình nói riêng và giải toán nói chung.
Sáng kiến kinh nghiệm được tôi đúng rút từ nhiều năm học và truyền đạt cho các đồng nghiệp của tổ toán học hỏi để giảng dạy và được đồng nghiệp trong tổ đánh giá cao và áp dụng trong quá trình giảng dạy bất phương trình. Đặc biệt trong 2 năm học 2017-2018 tôi đã dạy cho lớp 10A1 và năm học 2018-2019 áp dụng dạy cho lớp 10B1. Kết quả kiểm tra tập trung học giữa học kỳ 2 (trong đề kiểm tra có nhiều câu hỏi về bất phương trình) như sau: 
 Xếp loại
Đối tượng
(Năm học)
Sĩ số
Giỏi
khá
TB
Yếu, kém
10A1
(2017-2018)
40
24 HS= 60%
12HS =30%
4HS=10%
 0%
10B1
(2018-2019)
38
25 HS= 66%
11HS =29%
2HS = 5%
 0%
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài nghiên cứu của tôi đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán bất phương trình. Với lượng kiến thức nhất định về bất phương trình học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc phải khi giải toán. Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho mình. Tạo tiền đề cho việc chủ động tìm hiểu những phần kiến thức phong phú đa dạng hơn trong quá trình học tập.Với đề tài này đã được đồng nghiệp tổ toán trường THPT Triệu Sơn 2 góp ý xây dựng áp dụng vào trong quá trình giảng dạy; Qua đó học sinh của nhà trường được nâng lên về kiến thức toán. Bản thân khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thu được kết quả đáng khích lệ, các em học sinh không chỉ tự tin hơn khi giải các bài toán bất phương trình mà còn có phần hứng thú với loại toán này. 
Trong bài viết, tôi mới chỉ giới thiệu được một số dạng toán cơ bản mà các em học sinh lớp 10 hay mắc sai lầm khi giải toán bất phương trình để cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn. Mong các bạn đồng nghiệp chia sẽ và góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Hiện nay thư viện trường THPT Triệu Sơn 2 có số lượng và chất lượng sách tham khảo còn rất hạn chế. Kính mong các cấp lãnh đạo quan tâm giúp đỡ để học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa sách tham khảo phục vụ việc nghiên cứu, học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ . 
 XÁC NHẬN
 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2019 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác 
 Kí tên 
 Thi Văn Chung
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI 
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu căn
Ngành GD tỉnh
B
2007
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số
Ngành GD tỉnh
C
2011
Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Ngành GD tỉnh
C
2014
Ghi chú:
+ Loại B năm 2007. Số: 462/QĐ-SGD&ĐT ngày 19/12/2007 với đề tài “Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu căn”. 
+ Loại C năm 2011 - Số: 539/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2011 với đề tài “Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số”. 
+ Loại C năm 2011 - Số: 753/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2014 với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”
----------------------------------------------------
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán (Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội - 2004).
2. Phương pháp giải toán đại số 10 (Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí).
3. Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giai toán đại số 10 (Lê Hồng Đức và nhóm cự môn).
4. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10 (Nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội).
5. Báo Toán học tuổi trẻ ( Nhà xuất bản Giáo dục).
6. Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản và Đại số 10 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục).