SKKN Giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH ĐỊNH HƯỚNG NHANH CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
Người thực hiện: Lê Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn : Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
 	 Mẫu 1 (1)
MỤC LỤC
---c&d---
 MỤC LỤC
Đề mục 
Trang
1. Mở đầu 
1
1.1. Lí do chọn đề tài 
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. phương pháp nghiên cứu 
2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
2
2. Nội dung
2
2.1. Cơ sở lí luận 
2
2.2. Thực trạng của đề tài 
2
2.3. Các giải pháp thực hiện
3
3. Kết luận – Kiến nghị
19
3.1. Kết luận 
19
3.2. Kiến nghị
19
1. MỞ ĐẦU.
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiêm mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên hàm, tích phân một cách nhanh nhất. Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh nhất. Với lý do trên tôi đã chọn chọn đề tài “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân” 
1.2. Mục đích ngiên cứu: Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó cũng là bài toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân. Giúp các em đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải. Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay.
 1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm. 
 Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh được.Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân” 
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. 
 Dựa vào định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại được thành từng dạng.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích . 
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) = 
với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và ai là các hằng số.
Bước 2: Khi đó:
Ví dụ 1: Tinh tích phân : .
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex.
Ta được:
= x - ln(1 + ex) + C.
	Ví dụ 2: Tích phân bằng:
 A. I = 1 B.	 C. I = ln2	 D. I = -ln2
	Nhận xét : -Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó giải quyết.
	 - Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức . 
	- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức .
 Ví dụ 3: Giả sử khi đó a+b là
 A. 	 B 1	 C. 	 D. 
 Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = (cosx – cos5x )
 Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất thường là biến đổi tích thành tổng.
2.3.2. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý1:
a.Nếu òf(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì:
òf(u)du = F(u) + C.
Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm j’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
òf(x)dx = òf[j(t)].j’(t)dt.
Định lý 2:
Nếu òf(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
.
Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = j(t) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i). 	Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a, b].
(ii).	j(a) = a và j( b) = b.
(iii).	Khi đó : 
 Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = j(t) hay u = j(x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu
Cách chọn
x= a + (b – a)sin2t
Hàm có mẫu số
t là mẫu số
Hàm f(x, )
t = 
Hàm f(x) = 
t = 
Hàm f(x) = f(lnnx;)
 t = lnx
Ví dụ 1: Tính tích phừn: .
Giải: Đổi biến số:
Ta có:
Ví dụ 2: Tính tích phân: 
Giải:
Đặt:
Khi đó:
2.3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.	 
 Nhận xét : Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
 Dạng 1: òP(x)axdx, òP(x)sin(ax +b)dx, òP(x)cos(ax + b)dx
 đặt: u = P(x) 
 Dạng 2 : òP(x)logaxdx 
 Đặt u = loga x 
 Dạng 3 : òeaxsinbxdx, òeaxcosbxdx
 nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;
u = cosbx
 Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:
Ví dụ1 : Tinh tích phân : 
Giải: Ta viết lại I dưới dạng: 
Đặt:
Đặc biệt :Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm 
 Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số 
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex . Tính a2 + b2 +c2 +d2 
 A . 244 	 B. 247	 C. 245	 D. 246
 - Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào ? 
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
 F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của các hệ số và chọn đáp án đúng.
 Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm. 	
2.3.4. Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
 Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xỏc định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C.
 Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
Ví dụ : 	Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = .
Giải: 	Chọn hàm số phụ: g(x) = .
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: f(x) + g(x) =
Suy ra:
 2.3.5. Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau:
a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản 
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác 
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác 
d) Phương pháp đổi biến.
 I = òR(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tg.
e)Phương pháp tích phân từng phần.
f)Sử dụng nguyên hàm phụ.
Ví dụ 1 : 	Tính: 
Giải: 	Nhận xét 
 Từ nhận xét ta đổi biến 
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 Þ t = 0;
 x = Þ t = -1.
Khi đó:
 Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinpx + B thỏa các điều kiện:
f ' (1) = 2 ; 
A.	B. C. 	D. 
HD: f ' (x) = A.pcospx Þ f ' (1) = - Ap mà f ' (1) = 2 Þ A = 
...= 2B mà Þ B = 2
2.3.6. Tích phân các hàm số hữu tỉ :
Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:
a)Phương pháp tam thức bậc hai.
b)Phương pháp phân tích. c)Phương pháp đổi biến.
d)Phương pháp tích phân từng phần.
e)Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể.
Ví dụ 1: 	Tính tích phân: 
Giải:	Biến đổi:
Khi đó :
.
+) Ta đi xác định tích phân .
Đặt x = tgt, ;
Suy ra: 
Đổi cận: x = 0 Þ t = 0;
x = 1 Þ t = .
Khi đó: .
+) Ta đi xác định tích phừn .
Đặt x = tgt, ;
Suy ra: .
Đổi cận: x = 0 Þ t = 0;
x = 1 Þ t = .
Khi đó
 .
Từ đó ta có:
I = 
 Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến.
 Ví dụ 2: Giả sử . Khi đó giá trị là
 A. 30 	 B. 40 	 C. 50 	 D. 60
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân : ta thực hiện theo các bước sau:
+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đố phân đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] È [c1, c2] È È [ck, b].
+) Bước 2: Khi đó ta có :
Ví dụ : 	Tnh tích phân: (a > 0).
Giải: 	Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ³ 1, khi đó ta có:
Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số .
Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì 
 Ví dụ 1 : = 0
 Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì 
 Và 
 Ví dụ 2 : 
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Tích phân bằng:
A.	B. 	C. 	D. I =4
Tích phân bằng:
A. -1 	B. 1 	C. 2 	D. 0
Tích phân bằng:
A. 	B. 2 	C.	D. 4
Tích phân bằng: 
A.	B. 	C. 	D. e + 1
Tích phân bằng: 
A. -1 + 3ln2 	B. 	C. 	D.
Tích phân bằng: 
A. 	B.	C. 	D. 
Tích phân bằng:
A. 	B. 1	C. -1	D. 
Tích phân bằng : 
A.	B. 	C. 	D. 0
Tích phân bằng : 
A. 	B.	C. 	D. 	
Tích phân bằng:
A. 	B. 	C.	D. 
Tích phân bằng:
A. 	B. 	C.	D. 
Tích phân bằng:
A. 24	B. 22	C. 20	D. 18
Tích phân bằng:
A. 1	B. 	C.	D. 
Tích phân bằng:
A. I = 1	B.	C. I = ln2	D. I = -ln2
Tích phân: bằng:
A.	B. 	C. J =2	D. J = 1
Tích phân bằng: 
A. K = ln2	B. K = 2ln2 C. D. 
Tích phân bằng:
A. 	B.	C. 	D. 
Tích phân bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Tích phân . Giá trị của bằng:
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Cho tích phân , với cách đặt thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào ?
A.	B. 	C. 	D. 
Tích phân bằng:
A.	B. 	C. 	D. 
Tích phân bằng: 
A. 	B.	C. 	D. 
Giả sử . Giá trị của K là: 
A. 9	B. 8	C. 81	D. 3
Biến đổi thành , với . Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau:
A.	B. 	C. 	D. 
Đổi biến x = 2sint tích phân trở thành:
A. 	B.	C. 	D. 
Tích phân bằng:
A. 4	B. 3	C. 1	D. 2
Cho , ta tính được: 
A. I = cos1	B. I = 1	C. I = sin1	D. Một kết quả khác
Tích phân bằng:
A.	B. 	C. 	D. 
Giả sử và và a < b < c thì bằng?
A. 5	B. 1	C. -1 	D. -5
Cho và . Khi đó:
A. I J	C. I = J	D. I > J > 1 
Tích phân bằng:
A. 0	B. 2	C. 8	D. 4
Tích phân bằng :
A.	B. 	C. 	D. 
Kết quả của là:
A. B.-1 C. D. Không tồn tại
Cho .Khi đó bằng:
A. 2	B. 4	C. 6	D. 8
Tích phân I = có giá trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Tích phân I = có giá trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Tích phân I = có giá trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho và . Tích phân bằng với tích phân:
A. 	
B.	
C. 
D. tích phân khác
Tích phân bằng:
A. 	B. 	C. 	D.
Cho tích phân và , phát biểu nào sau đây đúng:
A.	B. 	C. 	D. 
Cho tích phân bằng:
A. 	B.	C. 	D. 
Tích phân bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Tích phân I = có giá trị là:
A. 	B. 	C.	D. 
Tích phân I = có giá trị là:
A. e + 2 	B. 2 - e 	C. e - 2 	D. e
Tích phân I = có giá trị là:
A. ln3 	B. 0 	C. - ln2 D. ln2
Tích Phân bằng:
A. 6	B. 5	C. 4	D.
Nếu =5 và = 2 thì bằng :
A. 8	B. 2	C. 3	D. -3
Tích Phân I = là :
A. ln2	B. –ln2	C. ln2	D. -ln2
Cho tích phân bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
 Tích phân I = có giá trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 
2.4.1. Với hoạt động giáo dục: Tôi đã sử dụng những phương pháp giải các bài nguyên hàm ,tích phân này vào giảng dạy thấy đa số học sinh hiểu bài và vận dụng một cách linh hoạt, dễ dàng khi giải toán, kết quả giải bài tập chương này tăng lên rõ rệt. Cụ thể như sau .
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2006-
2007
12A7
58
20
34,5 %
29
50 %
9
15,5%
12A9
56
25
44,6 %
20
37,8%
11
 19,6%
2007-
2009
12A2
54
23
42,6%
22
41 %
9
16,4%
12A5
48
19
39,6,4%
23
48 %
6
12 %
2009-2010
12A3
44
25
57%
17
38,6%
2
4,4%
2011-2012 
12A6
12A7
45
46
22
25
49%
54%
19
18
42 %
39%
4
3
9 %
7%
2013-2014
12A2
44
22
50%
19
43%
3
 7%
2014-2015
12C5
45
25
55,5%
17
38%
2
 6,5%
2.4.2. Với bản thân : Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy thì tôi đã dẫn dắt học sinh áp dụng bài tập một cách nhanh chóng, định hướng cho học sinh có thể giải nhanh một số bài toán nguyên hàm, tích phân.2.4.3 Với đồng nghiệp : Trong quá trình sinh hoạt chuyên môn tôi cũng đưa ra sáng kiến kinh nghiệm của mình, đã được đồng nghiệp trong tổ đón nhận và đóng góp ý kiến để bài dạy được sâu sắc hơn, hoàn thiện hơn.
2.4.4. Với nhà trường: Với sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong trường nói chung và của bản thân tôi nói riêng cũng đã đóng góp một phần nhỏ để chất lượng nhà trường ngay càng đi lên .
3. Kết luận và kiến nghị:
 3.1: Kết luận: Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá trình dạy và học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với học sinh trong các kỳ thi , đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành. Theo tôi khi dạy phần toán nguyên hàm , tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :
 - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. 
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến do mình viết, không coppi, không sao chép.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 	Người viết sáng kiến
	 Lê Thị Hằng	 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục
[3]. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục
[4]. Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục
[5]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT
[6]. Mạng internet.