SKKN Chứng minh bất đẳng thức,tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất,giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp véctơ và tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình Đại số 10 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẮNG HÓA 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC,TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT,GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 THPT”
 Người thực hiện: Lê Thị Thúy
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác : Trường THPT Hoằng Hóa 2
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Học
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
Mục lục ...................................................................................Trang 2
I.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài .................................................................Trang 3
1.2. Mục đích nghiên cứu ...........................................................Trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu ..........................................................Trang 3
1.4 Phương pháp nghiên cứu ......................................................Trang 3-4
II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm. .........................................Trang 5
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài ........................................................Trang 5
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu ......................................Trang 5
2.3. Biện pháp và giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài.............
2.3.1.Giải pháp........................................................................... Trang 5-6
2.3.2.. Một số ví dụ minh họa .....................................................Trang 7-20
2.3.4. Hiệu quả của sáng kiến .....................................................Trang 20-21 
III. Kết luận và kiến nghị ..........................................................Trang 22
- Xác nhận của thủ trưởng đơn vị và lời cam đoan........................Trang 23.
 I. Mở đầu
	1.1.Lí do chọn đề tài
	Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm rất cần thiết. Chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất .
	Trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 2 tôi thấy việc kết hợp giữa đại số và hình học giúp giải một số bài toán rất nhanh và ngắn gọn. Trong chương trình đại số lớp 10 THPT, việc chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai là những bài toán khá phức tạp mà khi giải nó học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng ngày nay do sự phát triển của khoa học kĩ thuật dẫn tới sự biến đổi lớn lao trên tất cả các lĩnh vực, đặc biệt là lĩnh vược giáo dục và đào tạo. Một trong những nội dung quan trọng đó là đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, nhằm cho học sinh hiểu rõ, hiểu đúng nội dung của bài học một cách chính xác, khoa học. 
Do điều kiện thời gian nên tôi chỉ trình bày một sáng kiến được rút ra từ kinh nghịêm thực tiễn của bản thân tôi về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trình đại số 10 THPT .
1.2. Mục đích nghiên cứu .
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối 10 trường THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Xây dựng giáo án theo phương pháp này một cách đầy đủ nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
- Kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh sau khi tiến hành giảng dạy.
- Đánh giá kết quả và những đề nghị.
- Chọn đối tượng thực nghiệm: lớp 10C1, 10C2, 10C3 trường THPT Hoằng Hóa 2. 	
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ của giảng dạy bộ môn toán học ở bậc trung học phổ thông là thực hiện được những mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề ra: Làm cho học sinh đạt dược các yêu cầu sau:
- Nắm vững được kiến thức cơ bản của bộ môn.
- Có những kỹ năng cơ bản để vận dụng kiến thức của bộ môn.
- Có hứng thú học tập bộ môn.
- Có cách học tập và rèn luyện kỹ năng hợp lý, đạt hiệu quả cao trong học tập bộ môn toán.
- Hình thành ở học sinh những kỹ năng tư duy và là nền tảng cho các bộ môn khoa học cơ bản khác. 
2.2. Thực trạng vấn đề
Trong thời gian giảng dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 2 tôi thấy viêc nhận thức của học sinh THPT về việc giải bài tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai là rất yếu, nhất là việc lựa chọn phương pháp để giải quyết. Các em không phát hiện được phương pháp áp dụng cho bài tập cụ thể. Đặc biệt là các dạng không sử dụng được phương pháp đại số mà phải đưa phương pháp hình học vào mới giải quyết được bài toán nhanh và ngắn gọn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1.Giải pháp
- Trước khi đưa vào vận dụng thì tôi đã vận dụng vào năm học 2012-2013 thì thấy có hiệu quả vì vậy để kiểm chứng, năm học 2015-2016 tôi tiến hành khảo sát ở 3 lớp theo bảng sau: 
Bảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng
 Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10C1
43
8
18,6
16
37,2
19
46
0
0
0
0
10C2
43
5
11,6
12
27,9
22
51,2
4
9,3
0
0
10C3
42
3
7.1
12
28,6
21
50,0
6
14,3
0
0
- Đối với lớp 10C3 thì tôi dự định sử dụng phương pháp thảo luân nhóm, hỏi đáp và hệ thống lại kiến thức chương. 
- Đối với lớp 10C1 và 10C2 thi tôi đã cho học sinh dụng đề tài “chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trình đại số 10 THPT”.
Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em, nhiều em ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn học trong đời sống.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá, giỏi không nhàm chán.
2.3.2.Một số ví dụ minh họa
* KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng .
* Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tại O. Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị ,. Như vậy ta có một hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc xOy.
M
x
y
y
O
* Tọa độ của một điểm và một véc tơ: Cho điểm M trong mặt phẳng xOy . Hạ MH vuông góc với x’Ox và MK vuông góc với y’Oy . 
Theo quy tắc hình bình hành ta có : 
= 
Bộ hai (x;y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M 
và được gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu M(x;y). 
Cho véc tơ trên hệ trục tọa độ. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho =. Gọi (x;y) là tọa độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x;y) gọi là tọa độ của véc tơ và kí hiệu: = (x;y).
 *Các phép tính véc tơ:
Cho hai véc tơ và k là một số thực.
Các phép tính véc tơ như phép cộng , phép trừ , phép nhân một số với một véc tơ , tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau :
*Các công thức về lượng: Cho hai véc tơ và gọi là góc tạo bởi hai véc tơ đó. 
 cos
 - Khoảng cách từ điểm M(x0,y0) tới đường thẳng (D) : Ax + By +C = 0 là: 
 * Phương trình của đường thẳng, đường tròn:
- Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0,y0) và nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến là : A(x-x0) + B(y- y0) = 0
- Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là: ( x- a)2+(y – b)2 = R2
2. Khi sử dụng véc tơ và tọa độ học sinh cần lưu ý :
 1)Cho hai véc tơ và ta luôn có :
+ Dấu ((=)) xảy ra = k với (k > 0)
+ cos(,) Dấu ((=)) xảy ra = k 
2)Cho 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có
+ AB + BC AC , Dấu ((=)) xảy ra các véc tơ , cùng hướng
+ ,Dấu ((=)) xảy ra C nằm trên đoạn AB hoặc B nằm trên đoạn AC
* PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai ta thường gặp các bài toán sau:
*Bài toán 1: Chứng minh bất đẳng thức đại số :
Ví dụ 1: Cho bốn số thực x1, x2 , x3 , x4 . 
Chứng minh rằng: (x12 + y12)( x22 + y22) ( x1x2 + y1y2)2
Giải:
Trên mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ = (x1;y1) ; = ( x2; y2)
Ta có : 
 	Vậy: (x12 +y12) (x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2	
	 Dấu bằng xảy ra 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu: x , y, z > 0 thì :
 	 Giải: 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Xét ba điểm: 
	(1) AB + AC > BC
	Ta có: với ba điểm A,B,C bất kì ở đây.
Hai véc tơ này không thể ngược hướng ( vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức : AB + AC > BC
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Ví dụ 3:
Cho a,b,c > 0 và ab +bc + ca = abc . Chứng minh rằng: 
Giải: 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
+ + 3
Trong mặt phẳng tọa độ xOy xét 3 véc tơ: =( ; ) ; =( ; ) ;
 =( ; ) khi đó: + + = (++; (++)) = ( 1; ) 
 	(vì: ++ = 1)
Từ bất đẳng thức : + + suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Giả sử hệ: có nghiệm. 
Chứng minh rằng : xy + yz + xz 8
Giải: Gọi = ( ; ) ; = (z ; ) thì: 
 = = = 
= = = 4
Ta có: = ( xy + yz + xz) 
Từ: suy ra : xy + yz + xz 8
Ví dụ 5: Cho x,y,z là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh bất đẳng thức sau: + > 
Giải: 
 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dưới dạng tương đương sau:
 	 + > 
+ > 
 	 > (1)
Trên hệ tọa độ Đề Các lấy ba điểm A,B,C với tọa độ như sau:
A(x, yz) ; B( y, zx) ; C ( z, xy) 
Khi đó (1) AB + BC > AC (2)
Hiển nhiên ta có : AB + BC AC (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra các véc tơ , cùng hướng tức là 
( x- y; zx – yz) = k ( z-y ; xy – zx) với k > 0 
 = > 0
(5)
(4)
Hệ (4), (5) không thể xảy ra vì x z . Vậy trong (3) không thể có dấu bằng. Tức là AB + BC > AC, Như thế (2) đúng và đó là đ.p.c.m.
Ví dụ 6: 
Chứng minh với mọi x ta có : -1 < - < 1
Giải:
 	Ta có : = 
 	Trên mặt phẳng tọa độ xét các điểm X( x;0) ; A(;) ; B(-;)
 	Khi đó : XA = ; XB = ;
 	Mà AB = 
 	Đẳng thức không thể xảy ra vì OX//AB . Suy ra <1 suy ra đpcm.
(1)
(2)
Ví dụ 7: Biết rằng a, b, c, d thỏa mãn : 
 Chứng minh: 2
Giải: 
Trên mặt phẳng tọa độ xét hai điểm M(a;b) và N(c;d)
 	Ta có: (1) (a - )2 + (b - )2 = Do đó M nằm trên đường tròn tâm I(;) bán kính R = . 
 Tương tự: (2) (c - )2 + (d - )2 = Do đó N nằm trên đường tròn tâm 
K(-;-) bán kính R = . 
Nối KI cắt hai đường tròn tại hai giao điểm xa nhất là là M* và N* . 
Do đó MN M*N* 2(đpcm)
K
I
M
N
y
x
O
1
-1
-1
1
M*
N*
* Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức đại số
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: 
Ta có : 
Trên mặt phẳng tọa độ lấy hai điểm A(p;q) ; B (q;q). Bài toán trở thành : Tìm M(x;0) thuộc Ox sao cho ( MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất .
 Xét hai trường hợp:
 - Nếu pq < 0 thì A hoặc B trùng với O , hoặc A,B nằm về hai phía đối với O . Khi đó 
( MA + MB) nhỏ nhất M trùng với O , tức là : 
 đạt được khi x = 0 .
 - Nếu pq > 0 thí A,B nằm cùng phía đối với O ( đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’( p;-p ) , đồng thời :
Đẳng thức xảy ra A’ , M , B thẳng hàng.
A
A’
B
M
O
x
y
Đạt được khi x = 2pq/(p + q)
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 y = + 4
Giải: 
Trong mặt phẳng xOy , chọn : = (1;2) ; = (;) ,
với 0 x 2 ta có: OA = = 3 ; OM = = và 
O
M
1
 I
K
x
A
y
2
J
. = OA.OM . cos (;)
Suy ra : 1 + 2 = 3.cos , 
từ đó : y = 3.cos
Vì M nằm trong hình vuông OIJK cạnh là nên:
 00 AÔK cos AÔK = = 
 cos 1
Vậy: max y = 3 ; min y = .
Ví dụ3: Biết rằng a + b + c = 2 và ax + by + cz = 6 với ( a,b,c 0). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 
Giải:
Ta xét 3 véc tơ sau: = (4a; ax) ; = (4b; by) ; = (4c; cz) 
Suy ra : + + = ( 4a + 4b + 4c ; ax + by + cz) = (8; 6) 
Từ đó: = = 10 
Do: = ; = ; = 
Và + + 
Nên suy ra: P = + + 10
Dấu (( = )) xảy ra khi : 
Vậy: minP = 10 ,giá trị này đạt được khi : 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 y = .+ 
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng: y = + 
 = +
Xét các điểm : A(-1;-2); B(3;2) ; và M(x;2x), khi đó :
AM = ; MB = 
Suy ra : y = AM + BM AB = 4.
Vậy: yMIN = 4, đạt được khi A,B,M thẳng hàng // 
 x = -1
 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
S = + 
Giải: 
Viết lại biểu thức dưới dạng: S = + 
Xét điểm A(-1;2) ; B(3;2); và M(x;y) , khi đó: 
AM = ; MB = 
Suy ra: S = AM + MB AB = 4
Vậy: S MIN = 4 , đạt được khi A,B,M thẳng hàng // 
 y = 2 và khi đó: 
S = + = + = 4
Dấu (( = )) xảy ra khi : (x+1)(3 – x) 0 -1 x 3 
Vậy: SMIN = 4 ,đạt được khi : 
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
 T = + - 
Giải: 
Với điều kiện -3 x 6 ta tìm m để phương trình :
 + - = m có nghiệm .
Đặt X = ; Y = thì ta cóa hệ: với X,Y 0
Suy ra : (X+Y) – 2(X+Y) +2m – 9 = 0 
 Từ đó ta được : X+Y = 1 + ( vì X,Y 0 nên X+Y 3)
Trong mặt phẳng xOy : X2 +Y2 =9 là phương trình đường tròn tâm O bán kính 
R = 3 ; X + Y = 1 + là phương trình các đường thẳng song song với đường X + Y = 0 . Và do X,Y 0 nên ta giới hạn việc khảo sát trong góc phần tư thứ nhất . 
Điều kiện có nghiệm : -3 1 + 3
Vậy: Max T = 3; minT = 
 * Bài toán 3: Giải phương trình và bất phương trình đại số chứa căn bậc hai:
Ví dụ1: Giải bất phương trình: 
Giải: Điều kiện: x 1.
Xét mặt phẳng tọa độ Oxy , các véc tơ: 
Suy ra bất phương trình (1) tương đương với : 
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất:
Ví dụ 2: Giải phương trình: (1)
Giải: Trong mặt phẳng tọa độ xOy xét các véc tơ: 
Suy ra phương trình (1) tương đương với: 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là: x = 7/2
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Giải: Đặt 
Phương trình đã cho trở thành : 
Phương trình (1) biểu thị một đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai , phương trình (2) biểu diễn một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính = 3.
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thỏa mãn điều kiện (3).
 Vậy phương trình có nghiệm khi: 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
 + = 5
Giải: Đưa phương trình về dạng tương đương sau:
 + =5 (1)
Xét các véc tơ: = (x +3; 2y) ; = (1- x; 3 - 2y)
Khi đó : + = ( 4; 3) 
Vậy (1) tương đương với : 
Mà + . Dấu (( = )) xảy ra khi: = k với k > 0 hoặc là một trong hai véc tơ , là véc tơ không .
Vậy: (2) tương đương với hai khả năng sau:
 (I) 0
Hoặc (II) 1- x = 3 – 2y = 0 
Dễ thấy (II) tương đương với : x = 1; y = 3/2
O
1
-3
3/2
 y
 3x-8y +9 = 0 
 x
 B
 A
-1
-2
1
 (I) 
Kết hợp lại ta thấy các nghiệm (x;y) của 
phương trình đã cho có dạng sau:
x = a; y = (3a+9) với -3 
Nếu biểu diễn trên mặt phẳng 
tọa độ thì các nghiệm đó là
 đoạn thẳng AB của đường 
thẳng 3x – 8y +9 = 0 
với A(-3;0) và B (1; 3/2)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
1/ Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải những dạng bài tập như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2/Kết quả thực nghiệm:
- Với phương pháp này được dạy ở lớp 10C1,10C2,10C3
 Cứ mỗi phần thế này tôi lại tiến hành kiểm tra 10 em trong thời gian 5 phút. Tôi đã nhiệt tình giảng dạy và truyền thụ đầy đủ các phần kiến thức tổng quát và phương pháp giải cho học sinh. 
- Để được kiểm tra công bằng khách quan, tôi đã coi kiểm tra chặt chẽ và đưa đề chẵn lẻ có phần kiến thức tương đương nhau cho hai hoc sinh ngồi cạnh nhau, để tránh hiện tượng sao chép nhìn bài nhau, việc chấm bài nhanh chóng khách quan .
 	 - Đối với phương pháp này tôi thấy mức độ nhận thức của các em về các bài toán đã trình bày ở trên là rất thông thạo so với phương pháp thông dụng mà các em từng áp dụng.
 	- Chính vì vậy tôi thấy khi tôi đưa ra phương pháp vec tơ và tọa độ trong phẳng vào giái các bài toán trên giúp các em thấy được nếu ta lựa chọn được phương pháp giải bài toán phù hợp với từng dạng thí bài toán đó trở nên rất đơn giản.
Thông qua tiến hành nghiên cứu và thực hiện trên ba lớp với đề tài trên tôi đã thu được kết quả theo bảng số liệu sau:
Bảng số liệu so sánh sau khi tiến hành vận dụng đề tài
Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10C1
43
17
39,5
19
44,2
7
16,3
0
0
0
0
10C2
43
9
20,9
20
46,5
13
30,2
1
2,4
0
0
10C3
42
2
4,8
11
26,2
18
42,9
10
23,8
1
2,3
Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy sau khi đưa vào vận dụng đề tài thì kết quả thật khả quan, cụ thể là không những học sinh yếu trung bình sẽ giảm đi rõ rệt mà số học sinh khá, giỏi còn tăng lên rất nhều, còn đối với lớp không áp dụng thì số lượng học sinh khá, giỏi giảm, trung bình giảm, yếu và kém thì lại tăng lên.
Ngoài ra khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú , hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
III.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Đối với giáo viên
 	Đê tài này giúp cho việc hướng dẫn được một số dạng bài toán “chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trình đại số 10 THPT” và hướng dẫn cho học sinh các phương pháp làm các bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán học theo phương pháp đổi mới. 
2. Đối với học sinh
Qua việc nghiên cứu, giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải quyết được các bài tập đơn giản và nâng cao, liên hệ, biết cạch suy luận lôgíc, tự tin vào bản thân khi đứng trước một bài tập, có cách suy nghĩ để giải quyết vấn đề một cách đúng đắn nhất.
3. Một số kiến nghị
Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới. 
Xin chấn thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 29 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết đề tài
 Lê Thị Thúy