Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng hệ thống bài tập “Đường tròn” theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 10 THPT

Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Điểm mới của sáng kiến
1
1
1
1
1
1
2. NỘI DUNG 
2
2.1. Cơ sở lý luận 
2
2.2. Thực trạng vấn đề 
2
2.3. Giải quyết vấn đề
3
2.3.1. Câu hỏi và mức độ nhận biết
3
2.3.2. Câu hỏi ở mức độ thông hiểu
6
2.3.3. Câu hỏi ở mức độ vận dụng
10
2.3.4. Câu hỏi ở mức độ vận dụng cao
12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến 
2.4.1. Kết quả thực nghiệm
2.4.2. Kết quả chung
17
17
17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
18
18
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài 
	Trong chương trình Giáo dục phổ thông (2006) đã đề ra mục tiêu môn Toán cấp trung học phổ thông (THPT) là: “Giúp học sinh giải toán và vận dụng kiến thức toán học trong đời sống”. Trong phần chuẩn kiến thức và kỹ năng đã xác định kỹ năng đối với học sinh (HS) cấp THPT về môn toán là: “Có khả năng suy luận loogic và khả năng tự học, có trí tưởng tượng không gian. Vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn và các môn học”. Tuy nhiên mục tiêu đề ra đã không được thể hiện nhiều trong sách giáo khoa (SGK) và phương pháp dạy học (PPDH) môn toán ở trường phổ thông hiện nay.
	Qua nghiên cứu thực tế dạy học cho thấy việc rèn luyện phương pháp học tập cho HS không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là mục tiêu dạy học. Hiện nay, một số HS học rất chăm chỉ nhưng vẫn học chưa tốt, nhất là ở các môn tự nhiên như: toán, lí, hóa, những em này thường học bài nào biết bài đấy, học phần sau đã quên phần trước và không biết liên kết các kiến thức với nhau, không biết vận dụng kiến thức đã học trước đó vào những phần sau. Phần lớn số HS này khi đọc sách hoặc nghe giảng trên lớp không biết cách tự ghi chép để lưu thông tin, lưu kiến thức trọng tâm vào trí nhớ của mình. 
	Do vậy “Dạy học theo định hướng phát triển năng lực” HS sẽ học được phương pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư duy. Cách học này còn phát triển được năng lực riêng của từng học sinh không chỉ về trí tuệ, hệ thống hóa kiến thức (huy động những điều đã học trước đó để chọn lọc các ý để ghi) mà còn là sự vận dụng kiến thức được học qua sách vở vào cuộc sống. Trong năm học này, hình thức Dạy học theo định hướng phát triển năng lực đã tập huấn đến toàn bộ giáo viên. Phương pháp có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của HS, phát triển năng khiếu. Tất cả những điều đó làm học sinh giảm áp lực trong học tập.
	Với các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài:“Xây dựng hệ thống bài tập “Đường tròn” theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 10 THPT”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 - Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và vận dụng toán vào đời sống.
 - Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồng thời hình thành cho các em thói quen tự học, tự nghiên cứu.
 - Giúp các em thấy được mối liên hệ giữa các mảng kiến thức toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Học sinh các lớp 10 Trường THPT Nguyễn Hoàng
 - Giáo viên giảng dạy môn Toán cấp THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Trước hết tôi nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng một số bài toán cơ bản mà học sinh dễ dàng giải quyết được. Sau đó tùy theo năng lực của học sinh và mức độ của mỗi dạng bài tôi đưa ra các bài tập phát triển dần. Cuối cùng triển khai dạy trên lớp và trao đổi với đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Hoàng.
1.5. Điểm mới của đề tài
Đây là đề tài đầu tiên về nội dung "Đường tròn", nên tôi xin phép để lần sau khi phát triển thêm về nó tôi sẽ có những điểm mới để đề tài được bao quát hơn, không chỉ dừng lại đối tượng là học sinh lớp 10 mà còn là học sinh lớp 11, 12.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Khái niệm về năng lực
	Theo nhà tâm lí học người Nga thì: “Năng lực được hiểu như là: một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.
	Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá được nó thông qua kết quả của hoạt động.
	Thông thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn, tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện tương đương.
2.1.2. Năng lực Toán học
	Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học và năng lực học tập toán học.
	Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được các yêu của của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện ngang nhau.
	Cấu trúc của năng lực toán học:
	- Về mặt thu nhập thông tin.
	- Chế biến các thông tin đó.
	- Lưu trữ thông tin.
	- Thành phần tổng hợp chung.
Các mức độ năng lực: Nhận biết - Thông hiểu - Vận dụng - Vận dụng cao.
2.2. Thực trạng của đề tài.
2.2.1. Thuận lợi
- Bản thân tôi luôn cố gắng tìm tòi, sáng tạo, tự học và tự nghiên cứu.
- Có một số học sinh chăm ngoan chăm học có tố chất, tư duy, nhiệt tình mong muốn tìm hiểu khám phá những vấn đề mới của toán học.
2.2.2. Khó khăn
Đặc thù môn Toán là rất trừu tượng nên học sinh có phần e ngại khi học môn Toán, đặc biệt là môn hình chứ chưa nói gì đến việc tìm tòi sáng tạo, tự nghiên cứu về toán.
2.2.3. Thực trạng của đề tài.
 - Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quên đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
 - Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên không hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của toán học.
2.3. Giải quyết vấn đề
Bảng mô tả các mức yêu cầu cần đạt cho mỗi loại bài tập trong đề tài
Nội dung
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng 
Vận dụng cao
Phương trình đường tròn
Nhận biết được phương trình đường tròn.
Trong các phương trình đã cho, biết được phương trình nào là phương trình đường tròn.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp một tam giác cho trước.
Sử dụng các bài toán hình học cơ bản ở lớp 9 để giải bài tập.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Biết được đường thẳng có là tiếp tuyến của đường tròn không?
Viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm.
Viết được phương trình tiếp tuyến biết phương của tiếp tuyến, biết đi qua 1 điểm.
Viết phương trình tiếp tuyến chung, các bài toán tổng hợp liên quan đến tiếp tuyến.
Các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn.
Xét được vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, 2 đường tròn.
Viết được phương trình đường tròn có yếu tố vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, 2 đường tròn.
Sử dụng các bài toán hình học cơ bản ở lớp 9 để giải bài tập.
Biện luận số nghiệm của hệ phương trình, tìm điều kiện để hệ có nghiệm,
2.3.1. Câu hỏi mức độ nhận biết 
2.3.1.1. Phương trình đường tròn:
Bài 1. Xác định tâm và bán kính các đường tròn sau:
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 1	Tâm I(-3; 2), bán kính R = 1.
b. (x - 7)2 + y2 = 5	Tâm I(7; 0), bán kính 
c. x2 + y2 -4x – 2y – 3 = 0 	Tâm I(2; 1), bán kính R = 2 
Bài 2. Trong các phương trình sau, phương trình đường tròn là 
I. x2 + y2 +2x - 4y + 9 = 0
II. x2 + y2 - 2x -2y - 3 = 0
III. x2 + y2 - 6x + 4y + 3 = 0
 A. I và II B. I và III 	C. Tất cả 	D. II và III 
Hướng dẫn: I. A2 + B2 = 1 + 4 = 5 < C = 9 Þ I. không phải là đường tròn
II. A2 + B2 = 1 + 1 = 2 > C = -3 Þ II. là phương trình đường tròn tâm 
I(1; 1), R = 
III. A2 + B2 = 9 + 4 = 13 > C = 3 Þ III. là phương trình đường tròn tâm 
I (3; -2), R = (Chọn D)
Bài 3. Tìm điều kiện để phương trình sau đây là phương trình của đường tròn: 
x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0
A. 1 < m <2 	B. –1 < m < 1 C. D. 	
Hướng dẫn
a2 + b2 - c > 0 m2 + 4(m - 2)2 - 6 + m > 0m2 - 3m + 2 > 0 (Chọn C) 
2.3.1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn: x2 + y2 + 4x+4y – 17 = 0 tại điểm
M(2; 1) là:
A. 4x + 3y - 11 = 0 B. 3x + 4y + 11 = 0 C. 5x - 2y + 3 = 0 D. 8x + 6y - 11 = 0
Hướng dẫn
x2 + y2 + 4x – 17 = 0 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 (C)
Tâm I (-2; -2), (4; 3). 
Tiếp tuyến với (C) tại M nhận làm véc tơ pháp tuyến 
 phương trình là: 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 4x + 3y - 11 = 0 (Chọn A).
Nhận xét: Ta có thể viết theo cách phân đôi tọa độ như sau
Ta viết phương trình thành: x.x + y.y + 2( x+x ) + 2( y+y ) - 17 = 0
Sau đó thay x = 2, y = 1 được: 2x + y + 2(x+2) + 2(y+1) - 17 = 0
 4x + 3y - 11 = 0
Chú ý: Luôn sử dụng tính chất bán kính tại tiếp điểm vuông góc với đường tiếp tuyến để lấy véc tơ pháp tuyến là 
2.3.1.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1. Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 4x - 4y + 7 = 0.
Tìm mệnh đề sai:
A. (C) có tâm (2; 2) bán kính R = 1
B. (C) nằm trong góc phần tư thứ nhất
C. (C) không tiếp xúc với các trục toạ độ
D. (C) cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại 2 điểm.
Hướng dẫn
(C) (x - 2)2 + (y - 2)2 = 1 nên tâm I(2; 2), R = 1 Þ (C) nằm trong góc phần tư thứ nhất và (C) không tiếp xúc với các trục toạ độ
 do đó (Chọn D).
Bài 2. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào biểu diễn đường tròn đi qua M (4; 2) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ:
A. x2 + y2 - 2x - 2y + 8 = 0	B. x2 + y2 - 4x - 4y + 8 = 0
C. x2 + y2 - 8x - 8y + 2 = 0	D. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
Nhận xét:Đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ nên có tâm thuộc đường thẳng y = x hoặc y = –x.
 Hướng dẫn: Điểm M Î góc phần tư thứ nhất nên loại trường hợp y = -x. 
I (a; a), R = a: (x - a)2 + (y - a)2 = a2 (C)
(C) qua M(4; 2) (4 - a)2 + (2 - a)2 = a2 a1 = 10 , a2 = 2
 (C): (Chọn D)
Bài 3. Cho (C): x2 + y2 + 6x + 4y + 9 = 0,: x - y + 2 = 0. Tìm mệnh đề sai:
A. (C) có tâm I (-3; -2), R = 2.
B. cắt (C) tại 2 điểm
C. (C) tiếp xúc với 1 trục toạ độ
D. M là một giao điểm của (C) và 
Hướng dẫn
(C) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4.Tâm I (-3; -2), R = 2 Þ (C) tiếp xúc với Oy
Hệ có hai nghiệm
 (Chọn D)
Nhận xét: Ta cũng có thể tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng để suy ra chúng cắt nhau tại hai điểm vì khoảng cách này nhỏ hơn bán kính.
Bài 4. Cho (C1): (x + 4)2 + (y + 1)2 = 25, (C2): x2 + y2 - 6x + 4y - 23 = 0. Tìm mệnh đề đúng
A. (C1) (C2) = 
B. (C1) tiếp xúc trong với (C2)
C. (C1) tiếp xúc ngoài với (C2)
D. : 7x + 24y + 177 = 0 là một tiếp tuyến chung của (C1), (C2)
Hướng dẫn
(C1) có I1(- 4; -1) R1 = 5, (C2) (x - 3)2 + (y + 2)2 = 36 có tâm I2 (3; -2), R2 = 6
d(I1, I2) = , R2 - R1 < d < R1 + R2 (C1) cắt (C2) tại 2 điểm
d(I1; 1) = , d(I2; ) = = 6 = R2 
 (Chọn D )
Bài 5. Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng 
 : x + y – 2 = 0.
Hướng dẫn
Bán kính đường tròn là .
Do đó đường tròn cần tìm có phương trình: .
Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc đường tròn là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
2.3.2. Câu hỏi mức độ thông hiểu
2.3.2.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. Xác định tâm và bán kính đường tròn 3x2 + 3y2 + 4x + 1 = 0
Viết lại PT đường tròn 
Bài 2. Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 1), B(7; 5) là
A. x2 + y2 - 6x - 8y + 12 = 0	B. x2 + y2 - 4x - 6y + 10 = 0
C. x2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0	D. x2 + y2 - 2x - 4y + 7 = 0
Hướng dẫn
Tâm I = (4; 3), R = IA = 
Phương trình đường tròn: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 x2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0 
 (Chọn C).
Bài 3. Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(3; 1) và B(2; -2). 
ĐS: 
Bài 4. Phương trình đường tròn qua ba điểm M(6; –2), N(–2; 4) ,P(5; 5) là
A. x2 + y2 - 6x - 8y + 20 = 0	 B. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
C. x2 + y2 - 2x + 6y - 10 = 0	 D. x2 + y2 - 8x - 4y + 7 = 0
Hướng dẫn
Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 đk 
Cho (C) qua 3 điểm M, N, P
Giải hệ phương trình ta được (C) : x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0. (Chọn B)
Chú ý: Lựa chọn phương trình đường tròn ở dạng 2.
 x+ y+ 2ax + 2by + c = 0
Bài 5. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1; 2), N(5; 2) , P(1; -3)
Cách 1: Sử dụng kiến thức ở bài cũ
Gọi và R là tâm và bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P
Từ điều kiện IM = IN = IP ta có hệ:
Nghiệm của hệ 
Vậy PT là .
Cách 2: 
Thay tọa độ M, N, P vào phương trình ta có hệ 3 phương trình 3 ẩn và tìm được . 
Vậy phương trình là .
Bài 6. Viết phương trình đường tròn có bán kính 5, tâm thuộc Ox và qua A(2; 4)
Hướng dẫn:
Vì tâm I thuộc Ox nên I(h; 0). 
Ta có .
Do đó đường tròn cần tìm có phương trình: .
Bài 7. Viết phương trình đường tròn qua A(0; 2), B(-1; 1) và có tâm trên đường thẳng d:2x + 3y = 0
Hướng dẫn:
Phương trình đường tròn có dạng: (C): 
(C) qua A(0; 2): 
(C) qua B(-1; 1): 
Tâm I(- a; - b) ÎD: 2a + 3b = 0
Giải hệ ta được a = - 3, b = 2, c = - 12. 
Phương trình đường tròn là: .
Nhận xét: Ta có thể làm như sau:
Gọi I(a;b). Do I thuộc d nên IA = IB = R, có hệ phương trình
2a + 3b = 0 và a + (2 - b) = (a + 1) + (1 - b) 
Giải hệ tìm ra kết quả.
2.3.2.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 tại điểm nằm trên đường tròn có hoành độ – 1.
Hướng dẫn 
Đường tròn có tâm I(3 ; -1), bán kính R = 5
Tiếp điểm có x0 = - 1 nên y0 = 2 hoặc y0 = -4
Với T(-1 ; 2), tiếp tuyến vuông góc với 
 nên có pt là -4(x + 1) + 3(y – 2) = 0 hay - 4x + 3y – 10 = 0.
Với T(-1 ; -4), tiếp tuyến vuông góc với 
 nên có pt là 4(x + 1) + 3(y +4) = 0 hay 4x + 3y + 16 = 0.
Bài 2. Viết PTTT với đường tròn x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0 tại giao điểm của đường tròn với trục Ox.
Hướng dẫn
 Đường tròn có tâm I(-2 ; 1)
 Tiếp điểm có tung độ y0 = 0 nên x0 = 1 hoặc x0 = -5
 Tiếp tuyến tại T(1 ; 0) vuông góc với có PT: 3x – y – 3 = 0
 Tiếp tuyến tại T(-5 ; 0) vuông góc với có PT: 3x + y +15 = 0.
Bài 3. Viết PTTT với đường tròn x2 + y2 = 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1.
Hướng dẫn
 Đường tròn đã cho có tâm O(0 ; 0), bán kính . 
 Đường thẳng d có hệ số góc 1 nên có PT: x – y + m = 0
 d tiếp xúc (C) 
 Vậy phương trình d là x - y + 2 = 0, x – y – 2 = 0
Bài 4 . Viết PTTT với đường tròn (C) : x2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0.
Hướng dẫn
 Đường tròn có tâm I(0 ; 1), R = 5.
 d vuông góc 3x – 4y = 0 nên có pt 4x + 3y + m = 0.
 d tiếp xúc (C) 
 .
Vậy có hai PTTT là 4x + 3y + 22 = 0, 4x + 3y – 28 = 0.
Bài 5. Viết PTTT với đường tròn (C) : x2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2.
ĐS: .
Chú ý: HS hay dùng điều kiện song song, vuông góc theo hệ số góc k, nhưng cách giải đó không tổng quát vì HS sẽ gặp khó khăn khi làm bài 6. GV nên hướng dẫn HS viết phương trình theo véc tơ pháp tuyến (VTPT) hoặc véc tơ chỉ phương (VTCP).
Bài 6. Viết PTTT với đường tròn (C): x2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2.
ĐS: 
Bài 7. Cho đường tròn đường tròn x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, điểm A(-1 ; 2).
a. Chứng minh rằng điểm A nằm ngoài đường tròn.
b. Kẻ tiếp tuyến AT với đường tròn, T là tiếp điểm. Tính độ dài AT. 
c. Viết PTTT AT kẻ từ A với đường tròn. 
d. Gọi T ,T là các tiếp điểm của tiếp tuyến qua A, tính đoạn TT. 
Hướng dẫn
a. do đó A nằm ngoài đường tròn.
b.
c. Phương trình d qua A(-1 ; 2) có dạng a(x+1) + b(y – 2) = 0 
hay ax + by + a – 2b = 0
 d tiếp xúc (C) 
 +) b = 0 PTTT là x = - 1.
 +) thì PTTT là 4x – 3y + 10 = 0.
d. suy ra TH = suy ra TT = 
Bài 8. Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (C’): (x - 2)2 + (y – 3)2 = 4. 
Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn.
Hướng dẫn 
 (C) có tâm O, R = 1. (C’) có tâm I(2 ; 3), bán kính R’ = 2
 PTTT chung D có dạng : ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) thỏa mãn các điều kiện:
 Từ (2) thế vào (1) và bình phương:
 Vậy có 2 PTTT cần tìm là: y – 1 = 0 và 12x + 5y - 13 = 0.
2.3.2.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9
Đường tròn trên có tâm K(5;3), bán kính r = 3
Đường tròn (I; R) cần tìm tiếp xúc ngoài với (K) khi và chỉ khi IK = R + r
Mà 
Vậy PT đường tròn (I) là .
Bài 2. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đường thẳng 2x – y – 3 = 0
Hướng dẫn
Gọi I(h ; k) là tâm và R là bán kính đường tròn. Ta có (I) tiếp xúc với Ox, Oy nên: 
Mặt khác . Do đó: 
PT đường tròn cần tìm là: .
2.3.3. Câu hỏi mức độ vận dụng.
2.3.3.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. Viết phương trình đường tròn qua A(5; 3) và tiếp xúc đường thẳng 
d : x + 3y + 2 = 0 tại điểm T(1; -1)
Hướng dẫn
Phương trình đường tròn: 
(C ) qua A(5; 3): 10a + 6b + c = - 34
(C ) qua T(1; -1): 2a – 2b + c = - 2
Tâm I (- a; - b) thuộc đường thẳng vuông góc với d: x + 3y + 2 =0 tại T (1; -1) có PT 
Giải hệ ta được: a = b = - 2, c = - 2.
Vậy phương trình đường tròn 
Nhận xét: Một lần nữa ta thấy hiệu quả của tính chất bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.
Bài 2. Cho d: x – 7y + 10 = 0, (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và A(1 ; -2). 
Lập phương trình (C1) đi qua giao điểm của d và (C) và A.
Hướng dẫn
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ 
Vậy có 2 giao điểm .
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm là:
 hay .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . CMR điểm nằm trong (C). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.
Hướng dẫn
+ (C) có tâm .
+ nên điểm M nằm trong (C).
+ cân tại I có M là trung điểm AB nên do đó PT .
2.3.3.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm và đường thẳng . Lập phương trình đường tròn có tâm I sao cho cắt d theo dây cung ? Viết phương trình các tiếp tuyến của tại A và tại B 
Hướng dẫn
Kẻ 
Vậy phương trình là 
Hay .
A, B là giao điểm của và d nên .
 là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại A nên có PT: 
 hay .
Tương tự có tiếp tuyến tại B là .
2.3.3.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
 Cho đường tròn (x - 3)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(1 ; 1)
a. CMR M nằm trong đường tròn.
b. Kẻ dây cung AB qua M và vuông góc với IM. Tính độ dài AB.
Hướng dẫn
a. .
b. Cách 1. Phương trình đường thẳng AB qua M và nhận IM là véc tơ pháp tuyến là: . .
Cách 2. Toạ độ A, B thoả mãn hệ: 
Vậy .
2.3.4. Câu hỏi mức độ vận dụng cao:
2.3.4.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. (ĐH B – 2005). 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,cho hai điểm . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của đến điểm B bằng 5.
Hướng dẫn
 do đó 
Với PT đường tròn là 
Với PT đường tròn là 
Bài 2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường thẳng qua cắt (C ) tại B, C sao cho . 
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm BC, (C ) có tâm 
Lập PT đường thẳng qua (7; 3) có cách I một đoạn bằng 4. 
 .
.
Vậy phương trình là .
Bài 3. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường thẳng qua cắt (C ) tại B, C sao cho . 
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm BC.(C ) có tâm 
Có 
Lập PT đường thẳng qua (7; 3) có cách I một đoạn bằng 4. 
 .
.
Vậy phương trình là .
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
Hướng dẫn
 (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Î Oy Þ M(0;m)
 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
 Vậy Vì MI là phân giác của 
(1) Û = 300 Û MI = 2R Û
(2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm
 Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-).
2.3.4.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
 Tìm m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
Để hệ có hai nghiệm thì (Cm) phải tiếp xúc với d1, d2
Nhận xét: Đây là bài toán khéo léo chuyển về sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.
2.3.4.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1.(ĐH D–2003). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn và đường thẳng . Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua d. Tìm toạ