Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vô tỉ và một số phương pháp giải

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Lĩnh vực: Môn Toán
Năm học 2014- 2015
Mục lục
Nội dung
Trang
A. Đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài 
3
2. Mục đích nghiên cứu 
3
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu 
3
3.1. Đối tượng nghiên cứu 
3
3.2. Khách thể nghiên cứu 
3
4. Phương pháp nghiên cứu 
4
4.1 Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý luận 
4
4.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
4
4.3. Nhóm các phương pháp hỗ trợ 
4
5. Phạm vi nghiên cứu 
4
B. Nội dung 
I. Cơ sở lí luận và thực tiến
4
 1 . Cơ sở khoa học
4
 2. Cơ sở thực tiến
5
II: Thực trạng
5
1. Thực trạng
5
2. Nguyên nhân của những hạn chế
5
3. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài
6
III. Nội dung nghiên cứu
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa
7
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
9
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
12
4. Phương pháp đưa về phương trình tích
15
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
17
6. Giải và biện luận phương trình vô tỉ
24
IV. Kết quả 
26
Tài liệu tham khảo
27
C. Kết luận và khuyến nghị
1. Kết luận
28
2. Khuyến nghị 
28
A: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
 Sau khi trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán lớp 9, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chương I Đại số 9 tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các phương trình vô tỉ. Khi học sinh không nắm vững kiến thức về căn bậc hai cũng như các phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản thì không biết giải hoặc hay mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi. Mà các kiến thức về căn bậc hai và các bài tập liên quan đến căn bậc hai là rất quan trọng trong chương trình, đặc biệt là chương trình toán 9 và toán cấp 3 sau này.
Vì sao học sinh thường không nắm vững các bước giải phương trình vô tỉ ?
 Bài toán giải phương trình vô tỷ là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiếu kiến thức như tính chất về thứ tự và các phép tính cộng, nhân, kiến thức về giá trị tuyệt đối, giải phương trình, giải bất phương trình. Khi gặp các bài toán về giải phương trình vô tỉ học sinh thường ngại khó do phải sử dụng nhiều lượng kiến thức vì vậy ít lưu tâm khi tiếp thu kiến thức cũng như vượt khó để giải thành thạo các dạng bài tập đó. Làm thế nào để học sinh dễ nắm được kiến thức, nắm vững phương pháp cũng như các bước giải phương trình vô tỉ . Trong các năm vừa qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và tham khảo các tài liệu tôi rút ra các dạng cơ bản thường gặp của phương trình vô tỉ, các phương pháp cơ bản để giải từng dạng cơ bản đó. Với hệ thống kiến thức này học sinh dễ tiếp thu và giải thành thạo các phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9
2. Mục đích nghiên cứu
- Kiến thức: Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về phương trình vô tỷ. biết kết hợp giải phương trình và bất phương trình vào giải phương trình vô tỉ, tránh những sai lầm khi giải dạng toán liến quan đến phương trình vô tỉ
- Kĩ năng: Học sinh biết giải các dạng phương trình vô tỉ
- Thái độ: Học sinh có khả năng nhận diện các dạng phương trình từ đó giải chính xác các dạng phương trình vô tỉ
 Học sinh cã kh¶ n¨ng tư duy, thµnh lËp c¸c bµi to¸n míi, tÝnh cÈn thËn trong tÝnh to¸n.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu 
3. 1. Đối tượng nghiên cứu
 - Phương pháp dạy học môn toán 9 (đại số).
 - Chương trình toán lớp 9 (đại số).
 - Một số dạng bài tập toán 9 (đại số) về phương trình vô tỷ
3. 2. Khách thể nghiên cứu
 - Học sinh học tập môn toán 9 (đại số) của một trường thuộc quận Đống Đa – Hà Nội.
4. Phương pháp nghiên cứu
4. 1. Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý luận
 Phương pháp phân tích và tổng hợp, phương pháp so sánh, khái quát hóa, hệ thống hóa.
4. 2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
 - Phương pháp điều tra xã hội học: Phỏng vấn và điều tra bằng phiếu để thu thập các thông tin.
 - Phương pháp chuyên gia.
 - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm trong dạy học trung học cơ sở.
4. 3. Nhóm các phương pháp hỗ trợ
Dùng phương pháp thống kê để tổng hợp số liệu.
5. Phạm vi nghiên cứu
Chương I phần đại số 9.
B.NỘI DUNG
I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1)Cơ sở khoa học:
Cùng với sự đổi mới phát triển của đất nước- Nền giáo dục của Việt Nam có những biến đổi sâu sắc về mục tiêu, nội dung sách giáo khoa và cả phương pháp giáo dục, một trong những đổi mới cơ bản hiện nay là đổi mới mục tiêu dạy học ở trường THCS, dạy theo hướng phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh.
Định hướng được thể chế hóa trong luật giáo dục điều 24.2: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, tự rèn lụyên kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. Là một giáo viên Toán khối THCS, tôi nhận thức được, bộ môn Toán THCS có vai trò quan trọng bởi các kiến thức kĩ năng có nhiều ứng dụng trong đời sống. Nó cung cấp những kiến thức Toán học phổ thông cơ bản có hệ thống và toàn diện, những kiến thức này phải phù hợp với trình độ hiểu biết hiện đại theo tinh thần kỹ thuật tổng hợp, tạo điều kiện hướng nghiệp gắn với cuộc sống. Nhằm chuẩn bị tốt cho các em tham gia vào lao động sản xuất hoặc tiếp tục học lên phổ thông trung học. Đồng thời môn Toán góp phần phát triển năng lực tư duy khoa học, rèn luyện kỹ năng cơ bản có tính chất kỹ thuật tổng hợp góp phần xây dựng thế giới quan khoa học rèn luyện phẩm chất đạo đức của người lao động mới.. Thực tế trong giảng dạy cho thấy, việc giải bài tập Toán cấp THCS là một vấn đề làm cho nhiều học sinh cảm thấy khó và sợ .
2)Cơ sở thực tiễn: 
 Vẫn còn nhiều học sinh chưa tổng hợp được kiến thức Toán từ lớp 6,7,8,9. Các em chưa hiểu sâu , hiểu kĩ các kiến thức Toán, còn thụ động lĩnh hội kiến thức . Trong khi chữa bài tập, nhiều học sinh vẫn còn thờ ơ, nhiều học sinh chỉ cần kết quả đối chiếu , thậm chí vẫn còn học sinh chưa biết tóm tắt bài toán bằng các kí hiệu, việc kết hợp nhiều lượng kiến thức vào giải một dạng toán đối với học sinh lại càng khó và dẫn đến việc các em lười suy nghĩ.
 Trong thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu
 Học sinh muốn tìm hiểu thêm đối với kiến thức khó còn lúng túng trong việc tìm tài liệu nghiên cứu.Việc tìm hiểu của giáo viên ở một số chuyên đề ở một số tài liệu còn chưa tập chung và còn mất nhiều thời gian. Vì vậy cần phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học toán được tốt hơn. Cần phát triển cao hơn , đầy đủ hoàn thiện hơn một số dạng toán cơ bản ở trường THCS
 II. Thực trạng 
1. Thực trạng:
 Bên cạnh một số học sinh giỏi khá vẫn còn nhiều em chưa tự mình giải được một bài tập toán hoặc có những học sinh nắm được lý thuyết nhưng kĩ năng vận dụng lý thuyết vào giải toán còn chậm và yếu. Nhiều học sinh chỉ cần kết quả đối chiếu , hay dựa vào bài tập mẫu của Thầy và giải một cách dập khuôn, thậm chí vẫn còn học sinh chưa biết tóm tắt bài toán bằng các kí hiệu. Nhiều học sinh đứng trước một bài toán không biết phải giải bài toán đó như thế nào, dùng những lượng kiến thức gì để giải quyết được bài toán đó.
2. Nguyên nhân của những hạn chế: 
 - Có nhiều bài tập học sinh về nhà làm mà không có sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên.
 - Tình trạng phổ biến hiện nay là học sinh học tập thụ động, máy móc, còn giáo viên chỉ chú trọng đến các bài toán thường gặp. Chưa dành thời gian phù hợp cho việc hướng dẫn học sinh khá, giỏi giải quyết những bài toán khó như phương trình vô tỉ.
- Khả năng tổng hợp nhiều lượng kiến thức vào giải một bài toán làm cho học sinh thường thấy khó dẫn đến một thực trạng là học sinh không ham học thường ngại khó đẫn đến việc các em bỏ khi gặp dạng toán này, đối với học sinh có ý thức học nhưng không biết cách phân ra các dạng cơ bản và rút ra các giải thường dùng với từng dạng đó nên các em dễ bị lúng túng hay nhầm lẫn khi giải toán về phương trình vô tỉ
* Về phía giáo viên: 
Vẫn còn một số giáo viên dạy theo phương pháp đổi mới chưa nhuần nhuyễn, dẫn đến học sinh lĩnh hội kiến thức còn thụ động, một số giờ học vẫn còn nghèo nàn, tẻ nhạt, chưa hiểu rõ, hiểu sâu ý đồ của sách giáo khoa.
 Bài tập chỉ yêu cầu các em giải một cách thụ động hoặc giáo viên giải hộ cho các em mà không hệ thống hóa, rút ra những kết luận hay nhân xét tổng hợp kiến thức cho học sinh, chưa phát huy tính tích cực, sáng tạo, tự lực của học sinh. 
Chính vì vậy mà một số giáo viên chưa thực sự chú trọng đến việc lập kế hoạch dạy chu đáo. Thông thường là rất đơn sơ, cho các em giải một số bài tập ở trong sách, không có bài tập điển hình và tổng hợp.
 * Về phía học sinh:
Vẫn còn nhiều học sinh chưa tổng hợp được kiến thức, các em chưa hiểu sâu, hiểu kĩ các kiến thức, còn thụ động lĩnh hội kiến thức. Trong khi chữa bài tập, nhiều học sinh vẫn còn thờ ơ, nhiều học sinh chỉ cần kết quả đối chiếu, thậm chí vẫn còn học sinh chưa biết tóm tắt bài toán bằng các kí hiệu.
3. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài.	
Trước khi thực hiện đề tài qua giảng dạy ở trường THCS, qua tìm hiểu và trao đổi với đồng nghiệp tôi nhận thấy:
	- Đa số học sinh thích học môn toán, nhưng khi làm các bài tập đặc biệt là bài tập cần tổng hợp nhiều lượng kiến thức như giải phương trình vô tỉ các em thường lúng túng trong việc định hướng giải, có thể nói hầu như các em chưa biết cách giải cũng như trình bày lời giải. 
 Theo tôi, thực trạng nêu trên có thể do một số nguyên nhân sau:
 + Học sinh chưa có phương pháp tổng quan để giải một bài tập về phương trình vô tỷ.
 + Học sinh chưa biết vận dụng nhiều lượng kiến thức một cách linh hoạt
 + Nội dung cấu trúc chương trình sách giáo khoa dành cho dạng toán này còn hạn chế.
*. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài.
Thái độ
Lớp
Tổng số học sinh
Thái độ
Yêu thích
Bình thường
Không yêu thích
9A
16
1
3
12
9B
18
1
4
13
Chất lượng học tập thông qua bài kiểm tra thử
Lớp
Tổng số HS
Khá, giỏi
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
9A
16
0
3
13
9B
18
0
3
15
III: Giải pháp
- Để giải được một phương trình đặc biệt là phương trình vô tỉ mà phương trình vô tỉ thì không chỉ có một dạng cơ bản. Vì vậy việc quan trọng đầu tiên đó là học sinh phân loại được các dạng cơ bản của phương trình vô tỉ. Thứ hai biết cách giải từng dạng phương trình vô tỉ đó. Vì vậy tôi xin đưa ra một số dạng cơ bản và phương pháp giải tưnggf dạng cơ bản đó như sau:
CÁC DẠNG CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 9
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa
	a) Dạng 1: 
*, Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Tách riêng căn thức về một vế 
- Tìm ĐK để cả hai vế của phương trình không âm
- Bình phương hai vế của phương trình
- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ. Giải phương trình: (1) 
Giải:
ĐKXĐ : x 
Với x – 1 ta có:
 Û ( Thỏa mãn)
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
* Lưu ý: Chúng ta thường chỉ tìm ĐKXĐ mà bỏ quên điều kiện để vế không chứa căn cũng không âm, như vậy rễ xuất hiện nghiệm ngoại lai
	b) Dạng 2: 
*, Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Tách riêng căn thức cộng căn thức về một vế 
- Tìm ĐK để cả hai vế của phương trình không âm
- Bình phương hai vế của phương trình
- Tiếp tục chuyển vế, tìm điều kiện rồi bình phương để tìm được x
- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
 Ví dụ 1 . Giải phương trình: (2)
Giải:
ĐKXĐ x ≥ 2
 Ta có: )	 
 Û 
	 Û 
	 Û 
	 Û ( thỏa mãn)
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
Ví dụ 2 . Giải phương trình: 
Giải:
ĐKXĐ x ≥ 
Ta có : 
Với x ≥ 4 bình phương hai vế của phương trình ta có:
 x2 – 8x + 16 = 4( 3x + 4)
x2 – 8x + 16 = 12x + 16
x2 – 20x = 0
x ( x – 20 ) = 0
x = 0 ( Không thỏa mãn) hoặc x = 20 ( thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 20
	c) Dạng 3: 
*, Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Chuyển vế sao cho hai vế nếu có phép tính thì chỉ có phép cộng
- Bình phương hai vế của phương trình
- Tiếp tục chuyển vế, tìm điều kiện để hai vế không âm rồi bình phương để tìm được x
- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ. Giải phương trình: (3)
Giải:
ĐKXĐ 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
 Û 
Bình phương hai vế của phương trình ta có: 
	 Û 
Vì hai vế không âm nên bình phương hai vế của phương trình ta được
	 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
	 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
	 Û 5x2 – 84x + 352 = 0
	 Û x1 = ( thỏa mãn) ; x2 = 8 ( thỏa mãn)
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8
	d) Dạng 4: 
*, Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Chuyển vế sao cho hai vế nếu có phép tính thì chỉ có phép cộng
- Bình phương hai vế của phương trình
- Tiếp tục chuyển vế, tìm điều kiện để hai vế không âm rồi bình phương ( nếu cần) để tìm được x
- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ. Giải phương trình: (4)
Giải:
ĐKXĐ x ≥ 4.
Ta có:
 Û 
	 Û 
	 Û 
	 Û 
	 Û 45 + 14x + 14 = 0
Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương
 Þ phương trình vô nghiệm
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
a. Dạng 1: 
* Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Đưa phương trình về dạng 
- Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm được
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Giải:
ĐKXĐ: x R
 Û 
	 Û |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
- Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 ( thỏa mãn)
- Nếu x > 8 thì vế trái không âm, còn vế phải âm nên phương trình vô ngiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5.
*. Lưu ý. Cần rất linh hoạt trong việc giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối kết hợp đánh giá các vế
a. Dạng 2: 
* Cách giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Đưa phương trình về dạng 
- Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm được
Ví dụ 2. Giải phương trình
 (2)
Giải:
ĐKXĐ: x -1
 Û 
	Û 
	Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành:
	– Nếu 0 ≤ y < 1 ta có : y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại)
	– Nếu 1 ≤ y ≤ 3 ta có : y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3
	– Nếu y > 3 ta có : y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
* Chú ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức . Dấu “=” sảy ra khi A 0
Ví dụ 3 . Giải phương trình: 
Giải:
ĐKXĐ: x 1
- Nếu x 2 ta có phương trình : 
 ( thỏa mãn)
- Nếu 1 ta có phương trình: ( luôn đúng)
Vậy phương trình có vô số nghiệm x thỏa mãn 
Cách 2. ĐKXĐ: x 1
Ta có 
Dấu “=” sảy ra khi 
Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của phương trình là 
 Ví dụ 4 . Giải phương trình: 
 Giải:
 ĐKXĐ : x -2
Ta có 
Dấu „=” sảy ra khi 
 Và 
Vậy nghiệm của phương trình là 
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 
a) Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì hai vế luôn không bằng nhau
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Giải:
ĐKXĐ: x 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm
	 Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương
	Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải:
Ta có (1) Û 
	Û 
Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1
	 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 
*, Dễ thấy với x= 2 thì VT = 
 VP = 
Vậy x = 2 là một nghiệm của phương trình
*, Nếu thì VT = và VP < 
*, Nếu x > 2 thì VP = 2x2 + > 2.22 + = và VT < 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải:
ĐK: x < 2.
*, Dễ thấy với x = thì VT = 2 + 4 = 6
 VP = 6
Vậy x = là nghiệm của phương trình.
*, Với x < thì và Þ .
*, Tương tự với < x < 2: 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 
Ví dụ 4. Giải phương trình: (1)
Giải:
 (1)	
*, Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. 
*, Với thì 3x < –( 2x + 1) < 0 
Þ (3x)2 > (2x + 1)2 Þ >0
Suy ra: 
Hay PT (1) không có nghiệm trong khoảng này.
*, Với thì –( 2x + 1) < 3x < 0 
Þ (3x)2 0
Suy ra: 
Hay PT (1) không có nghiệm trong khoảng này.
*, Với x > 0 thì VT > 0 và VP < 0 nên phương trình không có nghiệm
*, Với x 0 nên phương tronhf không có nghiệm
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
 Giải
 ĐKXĐ x > 
Với điều kiện . 
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số ta có :
	. 
Dấu “=” xảy ra Û 
Û 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2; x = -1
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Giải:
 ĐKXĐ: 
Với điều kiện . 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ta có :
	. 
Dấu “=” xảy ra Û 
Û 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 
4. Phương pháp đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Giải.
ĐKXĐ: x ≥ 2.
 Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. 
 Û 
Vì x = -3 < 2 ( không khỏa mãn)
Với x ≥ 2 thì > 1
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải.
ĐK: -1 ≤ x ≤ 1:
Ta có: 
TH1. 
 ( thỏa mãn)
TH2. 
Nếu - 4x – 5 ≥ 0 Û x , bình phương hai vế ta có:
 16x + 16 = 16 + 40x + 25x2
 Û 25x2 + 24 x = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 0; x2 = 
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Giải.
ĐKXĐ: x ≥ 1.
Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). 
Ta có : 
 Û 
TH1. 
TH2. 
Vậy phương trình có 2 ngiệm là: x = 2 và x = 0
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng một ẩn phụ
* Cách giải:
 - Tìm điều kiện xác định
- Đặt ẩn phụ bằng biểu thức chứa căn bậc hai, đặt điều kiện cho ẩn phụ
- Giải phương trình tìm ẩn phụ
- Thay trở lại tìm nghiệm của phương trình ban đầu
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Giải.
ĐKXĐ: x ≥ - 1.
Đặt = y (y ≥ 0) 
Þ x + 1= y2 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 
Ta có phương trình:
 (y2 – 1)2 + y – 1 = 0
 Û (y-1)2 ( y+1)2 + ( y-1) = 0
 Û ( y – 1) ( ( y-1)(y+1)2 + 1) = 0
 Û ( y – 1) ( (y-1) ( y2 + 2y + 1) + 1 = 0 
 Û ( y- 1) ( y3 + 2y2 + y – y2 – 2y -1 + 1) = 0
 Û ( y – 1) ( y3 + y2 – y) = 0 
Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. 
TH1. y = 0 ( thỏa mãn)
TH2. y – 1 = 0 Û y = 1 ( thỏa mãn)
TH3. y2 + y – 1= 0 Û ( y+ )2 - = 0
 Û y = ( thỏa mãn) hoặc y = ( loại)
*, Với y = 0 thì = 0 Û x + 1 = 0 Û x = -1 ( TM)
*, Với y = 1 thì = 1 Û x + 1 = 1 Û x = 0 ( TM)
*, Với y = thì = 
 Û x + 1 = 
 ( TM)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải:
ĐK: x ≥ 1.
Đặt = y ( y ≥ 1)
 Þ Û x – 1 = y2 – 2y + 1 Û x = y2 - 2y + 2
 Ta có phương trình: 
 y3 + 2( y – 1) = 2 – ( y2 – 2y + 2)
 Û y3 + 2y – 2 = 2 – y2 + 2y - 2
 Û y3 + 2y – 2 – 2 + y2 – 2y + 2 = 0
 Û y3 + y2 - 2 = 0
 Û ( y3 – 1) + ( y2 – 1) = 0
 Û ( y – 1)( y2 + y + 1) + ( y – 1)( y + 1) = 0
Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 
TH1: y – 1 = 0 Û y = 1 ( thỏa mãn) 
TH2. y2 + 2y + 2 = 0 Û ( y + 1)2 = - 1 ( vô lý)
*, Với y = 1 Û = 1
 Û = 0
 Û x – 1 = 0
 Û x = 1 ( TM)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1
b) Sử dụng hai ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3)
Giải.
ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0.
Đặt u = , v = . Khi đó:
 u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1
Þ u2 + v2 = x2 + 2
 u2 v2 = x3 + 1
Ta có phương trình: 
 2(u2 + v2) = 5uv
 Û 2u2 – 4uv + 2v2 – uv = 0
Û 2u ( u – 2v ) + v ( 2v – u) = 0
Û (2u - v)(u - 2v) = 0
Û 
TH1, ta có: 2 = 
 Û 4(x + 1) = x2 – x + 1
 Û x2 – 5x – 3 = 0
 Û ( thảo mãn)
TH2, u = 2v ta có = 2 
 Û x + 1 = 4( x2 – x + 1)
 Û 4x2 – 5x + 3 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm: x Î 
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải.
ĐK: x ≥ –2.
Û 
Đặt: = a, = b (a, b ≥ 0)
Þ a2 – b2 = 3.
Ta có phương trình:
 (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0
 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 
TH1, Nếu a = b ta có : = ( vô lí )
TH2, Nếu a = 1 ta có : = 1 Û x + 5 = 1 Û x = -4 ( KTM)
TH3, Nếu b = 1 ta có : = 1 Û