Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm lời giải cho bài toán hình học Lớp 9

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành giáo dục và đào tạo Thị xã Bình Long, Tỉnh Bình Phước.
Tôi ghi tên dưới đây:
Tỷ lệ (%)
Số

Ngày tháng
Nơi công tác
Chức
Trình độ
đóng góp vào
Họ và tên
chuyên
việc tạo ra
TT
năm sinh

danh


môn
sáng kiến















Trường TH-

Đại học




THCS Thanh
Giáo

1
Vũ Trọng Đại
12/01/1989
Lương – Bình
sư phạm
100%
viên



Long - Bình
Toán









Phước




Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Phương pháp tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 9.
Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:Tác giả đồng thời là chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục ( Toán )
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 20/02/2020
Mô tả bản chất của sáng kiến:
5.1. Tính mới của sáng kiến
Một trong những yếu tố quyết định giải quyết một bài toán hình học là vẽ hình chính xác, phân tích giả thiết và kết luận của bài toán cũng như trình bày và khai thác bài toán thành các bài toán mới. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài toán tương đối là khó đối với học sinh, các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác, một số bài toán vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết quả. Nguyên nhân do học sinh chưa đọc kỹ đề bài, chưa xác định giả thiết và kết luận của bài toán. Học sinh thường khó khăn trong việc xây dựng phương pháp giải và trình bày bài toán.
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận thấy việc xây dựng cho học sinh“Phương pháp tìm lời giải cho bài toán hình học” là thực sự cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi lời giải trên cơ sở kiến thức đã học.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường trung học cơ sở, tôi thấy nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 9” là việc làm có ý nghĩa cả về lý luận cũng như thực tiễn. Thể hiện qua việc hình thành cho học sinh:
- Kỹ năng đọc hiểu đề bài để phân tích đề bài, vẽ hình.
2
Kỹ năng tư duy phân tích hình vẽ và đề bài để có hệ thống các câu hỏi, thông qua đó các em trình bày bài bài giải chính xác, logíc và chặt chẽ.
Kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để tìm lời giải và giải bài toán nhanh, ngắn gọn.
Có tư duy khai thác bài toán, tạo ra bài toán mới từ những bài toán trong sách giáo khoa. Từ đó nâng cao ý thức tự học, tự nghiên cứu.
Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi lời giải trên cơ sở kiến thức đã học.
5.2. Nội dung sáng kiến
5.2.1 Hướng dẫn kỹ năng vẽ hình:
Đối với học sinh lớp 9 rèn luyện cách vẽ hình rất quan trọng. Do vậy giáo viên cần khai thác tốt giờ luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xuôi ngược để rèn kỹ năng vẽ hình. Cần tập cho học sinh thói quen: muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm chắc yêu cầu của đề bài, phân biệt được rõ ràng giả thiết và kết luận của bài toán. Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình phác họa trước. Khi vẽ nên xét xem nên vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình vẽ chính xác, đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA = R2 Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O; R).
Chứng minh tứ giác AMON hình vuông.
Gọi H là trung điểm của dây MN, chứng minh rằng ba điểm A, H, O thẳng hàng.
* Gợi ý vẽ hình:
Ta vẽ gì trước? dụng cụ nào để vẽ?
Tiếp theo ta cần làm gì (điểm A với OA = R2 ) Tuy nhiên đối với học sinh để vẽ được điểm A
sao cho OA = R2
sẽ gặp nhiều khó khăn.
Giáo viên hướng dẫn: OA = R2 là đường chéo của hình vuông cạnh R, do vậy ta vẽ
0 với M, N thuộc (O; R), Từ M, N kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (O; R),
MON 90
hai tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm A.
Trong chương trình hình học nhiều bài toán đều có thể vẽ hình chính xác ngay khi đọc từng câu. Song có những bài học sinh phải học sinh phải đọc hết toàn bộ nội dung yêu cầu, thậm chí phải dựa vào kết luận của bài toán mới vẽ chính xác, học sinh cần phải vẽ hình phác họa sau đó tiến hành phân tích các số liệu rồi vẽ lần sau mới trọn vẹn.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D và C khác phía đối với AB), AB = AD. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B khác phía đối với
AC), AC = AE. Biết DE = BC, tính	.
BAC
Gợi ý vẽ hình: không nhiều học sinh vẽ chính xác của bài toán yêu cầu, mốt chốt của
0
để vẽ hình chính xác phải tính được BAC 90


3
Thật vậy, từ hình vẽ phác họa ta chứng minh được	ABC	ADE ( c.c.c ) từ đó suy ra
0

0
BAC DAE mà BAD CAE 90

nên ta có được BAC 90


*Kết luận 1: Để vẽ hình được nhanh và chính xác học sinh cần:
Đọc kỹ đề bài một lượt, phải hiểu rõ được nghĩa của các từ, cụm từ thể hiện các khái niệm hình học trong đề bài.
Cần phân biệt rõ giả thiết và kết luận của bài toán.
Không nên vẽ các trường hợp đặc biệt của hình (Đế bài cho tam giác ABC thì không nên vẽ trường hợp tam giác cân, tam giác đều) để tránh ngộ nhận một số yếu tố mà giả thiết không cho khi giải quyết bài toán.
Trên thực tế còn những bài toán còn nhiều cách vẽ, mỗi một hình cho ta một đáp số. Với loại bài toán này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
5.2.2 Xây dựng kế hoạch giải:
a) Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải:
Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ, trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt của thầy cô giáo bằng hệ thống câu hỏi.
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R.
Vẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB.
Gọi C là điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE
với nửa đường tròn ( E là tiếp điểm khác A), CE cắt By tại D.
a) Chứng minh

0
. Từ đó suy ra
DOC 90

CE.ED	R2 .
b) Chứng minh	AEB #	COD .

x	y
 D
E
C 
A B
O
Hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi
4






















Giáo viên





Học sinh




0
.Từđó











Chứng minh DOC 90





suy ra CE .ED R2 .




C1: Chứng minh
0




OCD ODC 90













C2: CM cho OC, OD là hai tia phân giác





của hai góc kề bù.








? Để chứng minh DOC
90
0
ta cần chứng




















minh điều gì






















ACE








OCD

























2









ACE và BDE :

















BDE

? OCD và ODC liên hệ với các góc nào















ODC














2









Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để suy























ra CO, DO là hai tia phân giác của ACE























và BDE










? Vận dụng yếu tố nào của đề bài để tính


0
( hai góc trong cùng






ACE +
BDE = 180

OCD và ODC





phía, AC // BD).






























COD vuông tại O, OE là đường cao ứng

Tổng hai gócvàbằng bao với cạnh CD.
ACEBDE
nhiêu? Vì sao?
? Khi

0
thì COD là tam giác
2
2
DOC 90

CE.ED = OE
= R .
gì? OE là gì của COD



Hệ thức nào trong COD có chứa tích CE. DE, đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và liên hệ với tích CE.ED
Chứng minh AEB # COD .

? Hai tam giác cần chứng minh đồng dạng
Hai tam giác cần chứng minh đồng dạng
là tam giác gì

là tam giác vuông
? Với giả thiết đã cho của bài toán ta cần

CDO ABE
chỉ ra thêm yếu tố nào nữa.

? áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau




ta có CDO BDO , vì vậy để chứng minh




CDO ABE ta chứng minh BDO ABE

? Vậy để chứng minh


BDO ABE ta thực

hiện như thế nào


Gợi ý: BE và DO có quan hệ gì?


b) Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình THCS, giải bài toán hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán một cách hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả. Nếu giáo viên kiên trì sử dụng phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng
5
minh, cùng các em giải bài tập từ dễ tới khó thì tôi tin rằng các em sẽ hứng thú với môn Hình học và kết quả sẽ cao hơn. Có thể hiểu phương pháp phân tích đi lên là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn đến vấn đề đã cho trong một bài toán. Thông thường chứng minh trong một bài toán ta phải suy xuôi theo sơ đồ A A0 A1 ......... An B . Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích
đi lên có thể khái quát như sau B	A0	A1	A2 .......	An	A. Trong mỗi bước suy
luận đều dựa trên cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể nếu có An đúng thì ta sẽ có An-1 đúng  dẫn đến giả thiết của bài toán, phương pháp này tác động mạnh mẽ đến tư duy phân tích và tư duy tổng hợp của học sinh từ đó giúp các em hệ thống và nhớ các kiến thức đã học. Để thực hiện tốt phương pháp này trong giảng dạy, giáo viên cần có sự chuẩn bị chi tiết về khâu soạn bài và phương tiện dạy học. Thường xuyên tập cho học sinh khả năng dự đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp . Và khả năng suy luận lô gíc
Ví dụ 4: (Bài 13 SGK/106 Toán 9 tập 1) Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
EH=EK
EA=EC
Để học sinh vẽ hình chính xác trong bài toán này giáo viên cần lưu ý các tia AB và CD cắt nhau tại E chứ không phải đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại E để học sinh lấy các điểm A, B, C, D trên đường tròn cho phù hợp
Giải:
Lập sơ đồ chứng minh

Chứng minh
a) Chứng minh:
Ta có: H là trung điểm của AB nên
EH=EK
OH AB hay

90
0
OHE




0

Tương tự OKE 90


OEK OEH
Vì AB = CD nên OH = OK

Xét OEK và OEH có:



0


OHE OKE , OH OK , OE : chung




OHE OHE 90



OH = OK (chứng minh trên)
AB=CD
OE: cạnh chung








Suy ra: OEK =
OEH (c/h - cgv)

EK EH




b) Chứng minh
b) vì AB = CD (gt)



6
EA EC



AH = ½ AB (H là trung điểm của AB)







CK = ½ CD (K là trung điểm của CD)
AH + HE=CK+EK


Suy ra: AH = CK







Mặt khác EH = EK (cmt)
AH = CK, EH = EK(cmt)


Nên AH + EH = CK + EK







Hay EA = EC
AB = CD(gt); AH =
AB
; CK
CD







2
2



Ví dụ 5: (Bài 30 SGK/116 Toán 9 tập 1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB(Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A, B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , nó cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng:
0
b) CD = AC +
a) COD 90

BD

y
x	 D
M
C
A	O	B
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm di chuyển trên nửa đường tròn.
Lập sơ đồ chứng minh
Chứng minh




0

a) Ta có AC, MC là hia tiếp tuyến của
COD 90







đường tròn tâm O nên AOC
MOC
OC OD






Tương tự: BOD MOD






Ta lại có:





0



0


AOC MOC MOD BOD 180

COM MOD 90










1800

0



Suyra : COM MOD


90









2




AOC COM ; MOD BOD















AC, MC là các tiếp tuyến







BD, MD là hai tiếp tuyến







CD = AC+BD


b) Ta có AC, MC là hia tiếp tuyến của



đường tròn tâm O nên AC = MC
CD= CM + MD


tương tự: BD = MD






mà CD = CM + MD



CM = AC; MD=BD

suy ra: CD = AC + BD












(AC, MC là các tiếp tuyến); (BD, MD






là hai tiếp tuyến)









7
AC.BD = cosnt



c) Tam giác COD vuông tại O đường cao








2
AB
2
CM .MD=cosnt



OM nên ta có CM . MD OM




suy











2








ra CM.MD không đổi (do AB không đổi)
CM = AC; MD=BD



mà ta có: AC = MC, BD = MD (câu a)







suy ra AC. BD = MC. MD






2
AB 2
cos nt
vậy AC. BD không đổi khi M di chuyển
CM.MD=OM





trên nửa đường tròn.







2




























Tam giác COD vuông tại O đường cao






OM













*Chú ý: có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh một bài toán, do đó có nhiều cách trình bày lời giải một bài toán. Ở nội dung đề tài này chỉ trình bày một cách.
Ví dụ 6: Cho hai đường tròn bằng nhau
và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt
và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
Tam giác AMN là tam giác gì? Vì sao?
Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? Vì sao

A


O


O'
N
C
B
D
M


Q


P


Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh




Chứng minh

Học sinh quan sát hình và dự đoán tam







giác AMN cân tại A.










AMN cân tại A














a) Trong đường tròn (O) AMB là góc nội





tiếp
chắn cung nhỏ
AB nên





1



AMB ANB














AMB
2
sd AB






















1


1


1







AMB

sd AB ; ANB

sd AB
tương tự ta cũng có: ANB
sd AB






2









2


2










do hai đường tròn (O ) và (O’) bằng nhau





(Góc nội tiếp)
(Góc nội tiếp)
nên suy ra


AMB ANB hay
AMN ANM







AMN cân tại A

? Để chứng minh tứ giác ACPD nội








8
tiếp ta cần chứng minh điều gì
bằng với góc nào. Từ đó ta
ACP
phải chứng minh như thế nào
Chứng minh: tứ giác ACPD nội tiếp













b)Trong đường tròn (O)




0

ACP là góc nội


tiếp chắn cung AM



ACP ADP 180









Trong đường tròn (O’)



0
ADN là góc nội
tiếp chắn cung AN



ACP ADP
ADN ADP 180








Mà AN = AM ( AMN cân tại A)








ACP ADN









Suy ra: ACP =
ADN













nên tứ









Xét tứ giác ACPD có ACP = ADN
AM=ANAM AN

giác ACPD nội tiếp.




















AMN cân tại A











Tứ giác BCPQ là hình gì? Vì sao?










Học sinh quan sát hình và dự đoán (Tứ









giác BCPQ là hình thang)










Chứng minh: tứ giác BCPQ là hình
c) Tứ giác ACPD nội tiếp


thang





1












APC ADC



sd AC








2



BQ / /CP


mặt khác ta lại có:
















1








AQB ADC
2
sd AB










AQB APC










mà hai góc này ở vị



suy ra: AQB APC


trí đồng vị nên BQ//PC


AQB
ADC ; APC ADC

vậy tứ giác BCPQ là hình thang






Tứ giác ACPD nội tiếp










*Chú ý:













Sau khi giải xong bài toán này giáo viên cho học sinh nhắc lại yêu cầu từng phần, cách chứng minh và mục đích.
Cần hướng dẫn học sinh xem các kết luận của câu trước là giả thiết cho các câu sau.
* Cũng cố kiến thức:
- Trong hai đường tròn bằng nhau, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
9
* Cũng cố phương pháp:
Phương pháp chứng minh tam giác cân.
Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
Chứng minh hai đường thẳng song bằng cách sử dụng dấu hiệu nhận biết.
c) Kẻ thêm yếu tố phụ trong chứng minh bài toán hình.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay cho một bài toán hình học việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận của bài toán được dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm hình phụ như thế nào để có được lời giải đẹp là vấn đề khiến chúng ta đau đầu suy nghĩ. Vẽ thêm yếu tố phụ là sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu của một bài toán cụ thể. Bởi vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện đề bài toán thuận lợi hơn chứ không tùy tiện.
Một số yếu tố phụ thường vẽ như sau:
Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Vẽ thêm đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước.
Dựng phân giác của một góc.
Dựng một góc có thể biểu diễn qua một góc cho trước.
Vẽ tiếp tuyến của một đường tròn từ một điểm cho trước.
Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm của hai đường tròn.
Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều.
Vẽ thêm hình bình hành, vẽ thêm đường tròn.
Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại





hai điểm A và B. Vẽ các đường kính AOC và AO’D





của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D





thẳng hàng.










A

Phân tích: Để chứng minh ba điểm C, B, D










0
.





thẳng hàng ta cần chứng minh CBD 180






Do đó ta có thể từ B kẻ BA và chứng minh hai góc
C

B
D


























CBA và
DBA kề bù.












Giải: Nối A với B.
























0

Trong đường tròn (O), ABC là góc nội tiếp chắn nủa đường tròn nên
ABC 90





0










Tương tự ta cũng có ABD 90












0
90
0
180
0







Ta có CBD CBA ABD 90











Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng.
10
Ví dụ 8: Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Các điểm M, N
lần lượt trên các đoạn thẳng HB, HC sao cho = AN.
0 . Chứng minh rằng AM
AMC ANB 90
Phân tích: Vì H là trực tâm của tam giác ABC gợi cho ta nghỉ tới các giao điểm D của BM và AC, giao điểm E của CN và AB.
Giải: Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là giao điểm của
A

CH và AB.
D
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BD AC ; CE AB


Xét	ADB và	AEC có:
: Chung
BAD
0 ADB AEC 90
Suy ra	ADB # AEC ( g . g ) AD AB AE . AB AD. AC AE AC
AMC vuông tại M, đường cao MD AM 2 AD. AC Chứng minh tương tự ta có: AN 2 AB. AE .
Suy ra: AM 2	AN 2	AM	AN . Vậy AM = AN.

E H
M N
B	C
*Kết luận 2: Thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng kế hoạch giải giáo viên rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau:
Kỹ năng tự mình tìm thấy được vấn đề cần giải quyết và tự mình giải quyết vấn đề đó, độc lập suy nghỉ, độc lập tư duy.
Có khả năng đánh giá và tự đánh giá.
Biết tìm phương pháp ngắn gọn nhất, hay nhất để giải bài toán.
Rèn luyện cho học sinh nhanh chóng chuyển tứ tư duy thuận sang tư duy nghịch.
Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách đã học.
5.2.3 Hướng dẫn suy luận và khai thác bài toán:
Như ta đã biết, học sinh đã làm quen với các bài toán chứng minh hình học ngay từ lớp 7 nhưng việc trình bày lời giải bài toán của học sinh còn nhiều thiếu sót. Theo tôi giáo viên cần phải đặc biệt coi trọng các tiết luyện tập để uốn nắn, tập luyện cho các em cách trình bày bài toán chứng minh chặt chẽ, khoa học: các khẳng định phải có căn cứ, sử dụng các ký hiệu quy ước cho đúng,
Trong dạy học môn Toán, ngoài giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng, khai thác thêm bài toán là rất cần thiết. Đây là một cách nâng cao khả năng tư duy, suy luận cho học sinh.
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
DE < BC.
11
Phân tích bài toán: Đây là bài toán thuộc


A
Chương II “Đường tròn” của chương trình Hình






học 9. Là bài tập nhằm củng cố lại định nghĩa


D
đường tròn và mối liên hệ giữa đường kính và


E




dây của đường tròn, nên để giải bài tập ta cần




chỉ rõ cho học sinh phương pháp. Cụ thể:




a) Để chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc




B
C
một đường tròn ta có thể:





Chỉ ra một điểm cách đều cả 4 điểm B, E, C, D (đó là trung điểm I của đoạn BC) hoặc
Chỉ ra có một đường tròn đi qua cả 4 điểm B, E, C, D là đường tròn đường kính BC.
Từ kết quả chứng minh ở câu a) là đường kính của đường tròn đó kính).

ED và BC là hai dây của một đường tròn và BC ED < BC (Định lí liên hệ giữa dây và đường
Từ đó ta có cách giải bài toán như sau:
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của đoạn BC.
A







∆ BEC vuông tại E (gt) trung tuyến

D
EI=IB=IC=
1


BC
E















2








∆ BDC vuông tại D (gt) trung tuyến




DI=IB=IC=
1

BC














2






















C
Do đó IE = ID = IB = IC 4 điểm B, C, D, E B
I


cùng thuộc một đường tròn, đó là đường tròn




tâm I, bán kính
1
BC.













2






Cách 2:















90
0
=> E thuộc đường tròn đường kính BC




BEC







90
0
=> D thuộc đường tròn đường kính BC




BDC






Do đó E, D thuộc đường tròn đường kính BC 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b. Trong đường tròn đường kính BC: ED là dây, BC là đường kính
ED < BC (liên hệ giữa dây và đường kính trong một đường tròn).
*Nhận xét:
- Kết quả bài toán trên luôn đúng với mọi tam giác ABC.
12
Nếu bài tập này được đưa ra sau bài “Tứ giác nội tiếp” của Chương III, Hình học 9, ta có thể phát biểu kết quả câu a) dưới hình thức khác: Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp và dấu hiệu được sử dụng là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau hoặc tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Từ bài toán này ta có thể khai thác thành một số bài toán nhằm củng cố các kiến thức về góc với đường tròn và phát triển tư duy cho học sinh. Cụ thể:
Đối với học sinh trung bình có thể cho học sinh nêu kết quả tương tự
Nếu gọi H là giao điểm của B