Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

MỤC LỤC
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
 	Trong trường THCS môn toán được xem là môn công cụ có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy, đặt nền móng và có sự hỗ trợ rất nhiều cho các môn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Vì vậy trong việc dạy toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức đồng thời sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư duy của học sinh. Cùng với việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải toán. 
	Tôi nhận thấy trong chương trình toán 9 ở chương 4 phần đại số thì khiến thức về hệ thức Vi-ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ, các đề thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi - ét trong sách giáo khoa có nội dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong quá trình dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 - 2017, 2017 - 2018 tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán còn rập khuôn chưa được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi-ét vào được vào nhiều loại toán.
 Đứng trước thực trạng này, tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí Vi-ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả năng tư duy phát triển các năng lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú học tập của học sinh. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình toán 9” 
II. Mục đích nghiên cứu: 
Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét sẽ giúp học sinh vận dụng thành thạo những ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao.
Trang bị cho học sinh một số kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và sử dụng các kiến thức đã học để là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan.
	Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
	+ Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
	+ Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 + Rèn luyện kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể.
	+ Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
	+ Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
	+ Đặt ra các tình huống có vấn đề nhằm giúp các em biết cách tìm tòi kiến thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và nhận dạng, hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
	Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị quyết số 29-NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao ở các lớp học dưới và phân hóa dần ở các lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị quyết thì Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành nghề và có ý thức hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động.
Nội dung của hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét : 
Hệ thức Vi-ét: 
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì: 
	Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)	
+ Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = 
 	Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = -
+ Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P ³ 0.
Nội dung của hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm ở chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: 
+ Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
+ Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
II. Thực trạng vấn đề: 
Theo chương trình học như trên, thì học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. 
Qua việc dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp tôi nhận thấy các em học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc hai có chứa tham số. 
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét rất đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi vào một số trường THPT...	 
Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số bài toán dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, ... thì với học sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải.
	Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi game, bi da, đánh bài ... Một số gia đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt.
	Kết quả bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong năm học 2016 - 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên đề:
Lớp
Sĩ số
học sinh
Điểm giỏi
TL %
Điểm khá
TL %
Điểm TB
TL %
Điểm dưới TB
TL %
9A5
40
02
5
07
17.5
11
27.5
19
47.5
9A6
35
02
5.7
05
14.3
13
37.1
15
42.9
9A7
36
04
11.1
05
13.9
07
19.4
20
55.6
	Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi-ét trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. 
	Rèn luyện các kỹ năng nhận dạng, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. 
	Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử dụng hệ thức Vi-ét từ đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
	Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo. Kết quả nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. 
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 
Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
Rèn kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể.
Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ thức trong giải toán về phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
	Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (*)
	Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 	Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
	a) Nếu a + b + c = 0 Þ phương trình (*) có nghiệm và 
	b) Nếu a b + c = 0 Þ phương trình (*) có nghiệm và 
Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2): 
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 	a) 35x2 - 37x + 2 = 0 	 ; c) x2 - 49 x - 50 = 0 	 
Giải:
 	a) Phương trình: 35x2 - 37x + 2 = 0.
Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:
x1 = 1, x2 = = 
 c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = 0
Ta có a - b + c = 1 - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= -1; x2 = = 50
 Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các hệ số a - b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? 
Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2): 
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	;	d) 
	Giải:
	 b) Phương trình: 
Ta có , nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= -1; x2 = = 
d) Phương trình: 
 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m0).
Ta có , nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= 1; 
	Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau:
Phương pháp: 
Bước 1: Tính và 
Bước 2: Nếu và thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt.
Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) 
Nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a) x2 - 7x + 12 = 0	;	b) x2 + 7x + 12 = 0
Giải:
a) Ta có: và .
Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. 
 b) Tương tự như câu a) ta có -3 + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12. 
 Ta nhẩm được hai nghiệm là 
Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1. 	
2. 	
3. 
Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.
Phương pháp: 
 + Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
 + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: 
Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7
Phương trình x2 - 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5
Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1)
Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được .
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : . Mà x1= 7 nên 
Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : 
 Mà x1 = 7 nên .
 	Mặt khác 
Đáp số : 
Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên với ví dụ 2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp.
	Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
Phương trình , biết nghiệm 
 Phương trình , biết nghiệm 
Hướng dẫn: 
c) Theo hệ thức Vi-ét: 
 Mà hay .
 Suy ra 
Đáp số : 
Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có nghiệm x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Toán 9_tập 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử
2x2 – 5x + 3	;	b) 3x2 + 8x + 2
 Giải:
Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 
Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 = , x2 = 
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 – 6x + 9	;	b) 2x2 + 5x + 3
Ứng dụng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. 
4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.
 	Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm.
Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học toán 9_tập 2,Nhà xuất bản GD)
 Cho phương trình x2 - 5x + 3 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:
 	a) ; b) B = x12 + x22	 ;	c) C = x13 + x23 	 
Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 	a) 
b) 
 	c) 
- Mở rộng bài toán: d) ; 	e) ; f) 
d) 
	e) 
f) 
4.2. Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức:
Phương pháp: 
 	 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)
	+Sử dụng một số hệ thức thường gặp:
 	Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 	 ; 	
;	
	 ; 
	+ Sử dụng các hệ thức trên biến đổi hệ thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số. 
+ Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho rồi kết luận.
Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 a) x12 + x22 = 8	 ;	 b) 	;	c) 
Giải: Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có 
 Để phương trình (1) có nghiệm thì D' 0 Û Û 
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 4 - 2m
 Để x12 + x22 = 8 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8 m = -2 
b) Ta có 
Để (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Ta có: 
 (t/m)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Nhận xét: 
Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình.
 Đối với loại hệ thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx1 nx2 = p) hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng xm - xn = p ) thì ta thường kết hợp với một trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của tham số.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 a) 3x1 + 2x2 = 1	 	;	 	 b) x12 - x22 = 6	 
Giải: Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có 
 Để phương trình có nghiệm thì D' 0 Û Û 
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: 
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = . Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện)
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 ( m là tham số) (1)
Tìm giá trị m để:
Phương trình (1) có nghiệm.
Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2
c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 2: Cho phương trình (2) ( m là tham số)
Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x1; x2 thoã mãn: .
4.3. Tìm điều kiện của tham số để biểu thức chứa hai nghiệm của phương trình đạt các giá trị cực trị:
 	Phương pháp: 
 +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
 + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).
 	Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 (m là tham số). 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức:
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải: 
Ta có , nên phương
trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) 
 = 4m2 - 10m +14 = 
Vì , nên 
Dấu “=” xảy ra khi (t/m)
	Vậy Amin = khi m = 
Ta có: 
Vì , nên 
Dấu “=” xảy ra khi (t/m)
Vậy 
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 2: Cho phương trình: (1)
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
 2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? 
Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
 	Phương pháp: 
 + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm. 
 + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.
 (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).
Các ví dụ: 
Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m = 0 (1).Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải: Ta có D' = 
 Vì hay D' > 0 
 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
 Theo hệ thức Vi-ét ta có 
 Từ (1) và (2) ta được là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ). Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải :
 	Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó 
 	Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
Ta có (2) Û 6x1x2 = 6 + (3).
Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Bài tập áp dụng : Cho phương trình . Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai:
Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (1). Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P ³ 0.
6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2:
Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.
 	- Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình 
Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6.
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có :. Vậy u; v là nghiệm của phương trình có dạng: .
Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3
Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) 
 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.
– 3 và 7 	b) 2 và 	c) và 	
Giải: 
Ta có :(– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng: .
b) Đán số: 
c) Ta có : và là nghiệm của phương trình: 
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
 a) -5 và 8	;	b) và 	;	c) và 
6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.
Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) 
Cho phương trình có nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
và 	;	b) và 
Giải: 
Phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
 và 
Ta có: ; 
Vậy là hai nghiệm của phương trình: hay 
Ta có: 
Vậy và là hai nghiệm của phương trình:
Bài tập áp dụn